V234.XGP[TEX,DEK] - www.SailDart.org

perm filename V234.XGP[TEX,DEK] blob sn#407112 filedate 1979-01-01 generic text, type T, neo UTF8
/LMAR=50/TMAR=50/RMAR=4095/BMAR=1/PMAR=0/XLINE=0/FONT#0=NGR13/USETI=0000255*TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX*

␈β	←␈↓ α6␈εαSECTION␈α3.4␈αof␈αTHE␈αAR␈α⎇T␈αOF␈αCOMPUTER␈αPR␈α␈OGRAMMING
␈β

␈↓ β%␈ε⊗⎇␈εα␈α1978␈αAddison↑Wesley␈αPublishing␈αCompan␈α␈y,␈αInc.
␈β⊃L␈↓ ε2␈ε∧0
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα112␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
}3.4
␈βα(␈↓ ↓H␈ε≥3␈α␈.4.␈α
OTHER␈α
TYPES␈α
OF␈α
RANDOM␈α
QUANTITIES
␈βαj␈↓ ↓H␈εαW␈↓ ∧ ␈εαho␈α␈w␈α
to␈α
mak␈α␈e␈α
a␈α
computer␈αgenerate␈α
a␈α
sequence␈α
of␈α
n␈α␈um␈α␈bers
␈βαo␈↓ ↓l␈ε∧E␈αHA␈α|VE␈αN␈α␈O␈α␈W␈αSEE␈α↓N
␈ββ∃␈↓ ↓H␈ελU␈↓ ↓m␈εα,␈↓ αε␈ελU␈↓ α,␈εα,␈↓ αE␈ελU␈↓ αj␈εα,␈↓ β∧␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β<␈εαthat␈α∂behav␈α␈es␈α∞as␈α∂if␈α∞each␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α∂w␈α␈ere␈α∞independen␈α␈tly␈α∂selected␈α∞at
␈ββ"␈↓ ↓←␈ε¬0␈↓ α≥␈ε¬1␈↓ α\␈ε¬2
␈ββ@␈↓ ↓H␈εαrandom␈α⊂bet␈α␈w␈α␈een␈α∂zero␈α⊂and␈α⊂one␈α⊂with␈α⊂the␈α⊂uniform␈α⊂distribution.␈α_Applications␈α∂of
␈ββk␈↓ ↓H␈εαrandom␈αλn␈α␈um␈α␈bers␈α	often␈α	call␈α	for␈αλother␈α	kinds␈α	of␈α	distributions,␈α	ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er;␈α
for␈αλexample,
␈β∧⊗␈↓ ↓H␈εαif␈α⊃w␈α␈e␈α⊃wan␈α␈t␈α⊃to␈α⊃mak␈α␈e␈α⊃a␈α⊃random␈α⊃choice␈α⊃from␈α⊂among␈↓ λ␈ελk␈↓ λ/␈εαalternativ␈α␈es,␈α∩w␈α␈e␈α⊃wan␈α␈t␈α⊃a
␈β∧B␈↓ ↓H␈εαrandom␈ε∂␈α
in␈α␈teger␈εα␈αbet␈α␈w␈α␈een␈α
1␈α
and␈↓ ¬5␈ελk␈↓ ¬G␈εα.␈α∞If␈α
some␈α
sim␈α␈ulation␈α
process␈α
calls␈α
for␈α
a␈αrandom
␈β∧m␈↓ ↓H␈εαwaiting␈α
time␈αbet␈α␈w␈α␈een␈α
occurrences␈αof␈α
independen␈α␈t␈αev␈α␈en␈α␈ts,␈αa␈α
random␈αn␈α␈um␈α␈ber␈α
with
␈β¬_␈↓ ↓H␈εαthe␈α∂\exponen␈α␈tial␈α∞distribution"␈α∂is␈α∂desired.␈α∃Sometimes␈α∂w␈α␈e␈α∂don't␈α∂ev␈α␈en␈α∂wan␈α␈t␈α∞ran-
␈β¬C␈↓ ↓H␈εαdom␈ε∂␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈↓ β∨␈εα←w␈α␈e␈α∂wan␈α␈t␈α∞a␈α∂random␈α∂perm␈α␈uation␈α∂(i.e.,␈α∂a␈α∂random␈α∂arrangemen␈α␈t␈α∞of
␈β¬n␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓k␈εαobjects)␈α∞or␈α∞a␈α∞random␈α∞com␈α␈bination␈α
(i.e.,␈α∂a␈α∞random␈α
choice␈α∞of␈↓ 	'␈ελk␈↓ 	G␈εαobjects␈α∞from␈α
a
␈βε~␈↓ ↓H␈εαcollection␈αof␈↓ β∩␈ελn␈↓ β'␈εα).
␈βεE␈↓ α␈εαIn␈α
principle,␈α
an␈α␈y␈α
of␈α
these␈α
other␈α
random␈α
quan␈α␈tities␈α
may␈α
be␈α
obtained␈α
from␈α
the
␈βεp␈↓ ↓H␈εαuniform␈α∞deviates␈↓ βa␈ελU␈↓ ∧ε␈εα,␈↓ ∧∨␈ελU␈↓ ∧E␈εα,␈↓ ∧↑␈ελU␈↓ ¬β␈εα,␈↓ ¬≤␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬R␈εα.␈α∀People␈α∞hav␈α␈e␈α∂devised␈α∞a␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∂of␈α∞importan␈α␈t
␈βε}␈↓ βx␈ε¬0␈↓ ∧6␈ε¬1␈↓ ∧u␈ε¬2
␈βπ≠␈↓ ↓H␈εα\random␈αλtricks"␈α	that␈α	may␈αλbe␈α	used␈α	to␈αλperform␈α	these␈αλmanipulations␈α	e}cien␈α␈tly␈α	on␈αλa
␈βπG␈↓ ↓H␈εαcomputer,␈α
and␈α	a␈α
study␈α	of␈α
these␈α	techniques␈α
also␈α	giv␈α␈es␈α
some␈α	insigh␈α␈t␈α	in␈α␈to␈α
the␈α	proper
␈βπr␈↓ ↓H␈εαuse␈αof␈αrandom␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αin␈αan␈α␈y␈αMon␈α␈te␈αCarlo␈αapplication.
␈βλ≥␈↓ α␈εαIt␈αis␈αconceivable␈αthat␈αsomeday␈αsomebody␈αwill␈αin␈α␈v␈α␈en␈α␈t␈αa␈αrandom-n␈α␈um␈α␈ber␈α
gen-
␈βλH␈↓ ↓H␈εαerator␈α∞that␈α∂produces␈α∂one␈α∂of␈α∂these␈α∂other␈α∞random␈α∂quan␈α␈tities␈ε∂␈α∂directly␈εα,␈α⊂instead␈α∞of
␈βλt␈↓ ↓H␈εαgetting␈α∞it␈α∞indirectly␈α∂via␈α∞the␈α∞uniform␈α∞distribution.␈α∪But␈α∂ex␈α␈cept␈α∞for␈α∞the␈α∞\random
␈β	∨␈↓ ↓H␈εαbit"␈αgenerator␈α
described␈α
in␈α
Section␈α
3.2.2,␈α
no␈αdirect␈α
methods␈α
hav␈α␈e␈α
so␈α
far␈αpro␈α␈v␈α␈ed
␈β	J␈↓ ↓H␈εαto␈αbe␈αpractical.
␈β	u␈↓ α␈εαThe␈α∞discussion␈α∞in␈α
the␈α∞follo␈α␈wing␈α∞section␈α∞assumes␈α
the␈α∞existence␈α∞of␈α∞a␈α
random
␈β
 ␈↓ ↓H␈εαsequence␈α∂of␈α∂uniformly␈α∂distributed␈α∂real␈α∂n␈α␈um␈α␈bers␈α∂bet␈α␈w␈α␈een␈α∂zero␈α∂and␈α∂one.␈α∀A␈α∂new
␈β
L␈↓ ↓H␈εαuniform␈αdeviate␈↓ βK␈ελU␈↓ βt␈εαis␈αgenerated␈αwhenev␈α␈er␈α
w␈α␈e␈αneed␈αit.␈αThese␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αare␈α
usually
␈β
w␈↓ ↓H␈εαrepresen␈α␈ted␈αin␈αa␈αcomputer␈αw␈α␈ord␈αwith␈αthe␈αdecimal␈αpoin␈α␈t␈αassumed␈αat␈αthe␈αleft.
␈β{␈↓ ↓H␈ε≥3␈α␈.4.1.␈α
Nu␈α↓me␈α␈rical␈α
Dis␈α↓tr␈α␈i␈α↓butions
␈β<␈↓ ↓H␈εαThis␈α
section␈αsummarizes␈α
the␈αbest␈αtechniques␈α
kno␈α␈wn␈αfor␈α
producing␈αn␈α␈um␈α␈bers␈α
from
␈βg␈↓ ↓H␈εαvarious␈αimportan␈α␈t␈αdistributions.␈αMan␈α␈y␈αof␈αthe␈αmethods␈αw␈α␈ere␈αoriginally␈αsuggested
␈β
∪␈↓ ↓H␈εαby␈αλJohn␈αλv␈α␈on␈αλNeumann␈αλin␈αλthe␈α	early␈αλ1950s,␈α	and␈αλthey␈αλhav␈α␈e␈αλgradually␈αλbeen␈αλimpro␈α␈v␈α␈ed
␈β
>␈↓ ↓H␈εαupon␈αby␈αother␈αpeople,␈αnotably␈αGeorge␈αMarsaglia,␈αJ.␈αH.␈αAhrens,␈αand␈αU.␈αDieter.
␈β∞␈↓ ↓H␈ε∩A.␈α
Random␈α∞choices␈α∞from␈α
a␈α∞|nite␈α
set.␈εα␈α≥The␈α
simplest␈α∞and␈α∞most␈α
common␈α∞type␈α
of
␈β∞+␈↓ ↓H␈εαdistribution␈αrequired␈α
in␈α
practice␈αis␈α
a␈αrandom␈ε∂␈α
in␈α␈teger␈εα.␈α∞An␈α
in␈α␈teger␈αbet␈α␈w␈α␈een␈α
0␈αand
␈β∞V␈↓ ↓H␈εα7␈α
can␈α∞be␈α
extracted␈α∞from␈α
three␈α∞bits␈α
of␈↓ ε&␈ελU␈↓ εQ␈εαon␈α∞a␈α
binary␈α∞computer;␈α∞in␈α
such␈α∞a␈α
case,
␈β∂↓␈↓ ↓H␈εαthese␈α
bits␈α
should␈α
be␈α
extracted␈α
from␈α∞the␈ε∂␈α
most␈α
signi|can␈α␈t␈εα␈α
(left-hand)␈α
part␈α
of␈α
the
␈β∂-␈↓ ↓H␈εαcomputer␈αλw␈α␈ord,␈α	since␈αλthe␈αλleast␈αλsigni|can␈α␈t␈αλbits␈αλproduced␈αλby␈αλman␈α␈y␈αλrandom-n␈α␈um␈α␈ber
␈β∂X␈↓ ↓H␈εαgenerators␈αare␈αnot␈αsu}cien␈α␈tly␈αrandom.␈α→(See␈αthe␈αdiscussion␈αin␈αSection␈α3.2.1.1.)
␈β⊂β␈↓ α␈εαIn␈αgeneral,␈αto␈αget␈α
a␈αrandom␈αin␈α␈teger␈↓ ε7␈ελX␈↓ ε←␈εαbet␈α␈w␈α␈een␈α0␈αand␈↓ λI␈ελk␈↓ λb␈ε⊗␈␈εα␈αε1,␈αw␈α␈e␈αcan␈ε∂␈α
m␈α␈ultiply
␈β⊂.␈↓ ↓H␈εαby␈↓ ↓|␈ελk␈↓ α
␈εα,␈αand␈αlet␈↓ β≥␈ελX␈↓ βE␈εα=␈ε⊗␈α
b␈↓ ∧↓␈ελk␈↓ ∧∪␈ελU␈↓ ∧1␈ε⊗c␈εα.␈αOn␈ε∃␈αMI␈α␈X␈εα,␈αw␈α␈e␈αw␈α␈ould␈αwrite
␈β⊂|␈↓ ¬X␈ε∃LD␈α␈A␈↓ ε?␈ε∃U
␈β⊃∞␈↓ α␈εα(1)
␈β⊃#␈↓ ¬X␈ε∃MU␈α␈L␈↓ ε?␈ε∃K
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.4.1␈ε∞␈↓ π+NUMERICAL␈α	DIST␈α␈RIBUT␈α␈IONS␈↓ 
v␈εα113
␈βα(␈↓ ↓H␈εαand␈απafter␈αλthese␈απt␈α␈w␈α␈o␈αλinstructions␈απhav␈α␈e␈αλbeen␈απex␈α␈ecuted␈αλthe␈απdesired␈απin␈α␈teger␈αλwill␈απappear
␈βαS␈↓ ↓H␈εαin␈αregister␈αA.␈αIf␈αa␈αrandom␈αin␈α␈teger␈αbet␈α␈w␈α␈een␈α1␈αand␈↓ πG␈ελk␈↓ πe␈εαis␈αdesired,␈αw␈α␈e␈αadd␈αone␈αto␈αthis
␈βα←␈↓ αC␈ε↓␈␈↓ λβ␈ε↓↓
␈βα}␈↓ ↓H␈εαresult.␈↓ αQ␈εαThe␈αinstruction␈α\␈↓ ∧c␈ε∃IN␈α␈CA␈α∀1␈↓ ¬←␈εα"␈αw␈α␈ould␈αfollo␈α␈w␈α(1).
␈ββ+␈↓ α␈εαThis␈α
method␈α∞giv␈α␈es␈α
each␈α∞in␈α␈teger␈α
with␈α∞nearly␈α
equal␈α∞probability.␈α≤(There␈α
is␈α
a
␈ββV␈↓ ↓H␈εαsligh␈α␈t␈αerror␈αbecause␈αthe␈αcomputer␈αw␈α␈ord␈αsize␈αis␈α
|nite;␈αsee␈αex␈α␈ercise␈α2.␈αThe␈αerror␈αis
␈β∧α␈↓ ↓H␈εαquite␈αnegligible␈αif␈↓ βb␈ελk␈↓ β␈␈εαis␈αsmall,␈αfor␈αexample␈αif␈↓ εp␈ελk␈↓ πα␈εα/␈↓ π∀␈ελm␈↓ π?␈εα<␈α1/10000.)␈α_In␈αa␈αmore␈αgeneral
␈β∧-␈↓ ↓H␈εαsituation␈αw␈α␈e␈α
migh␈α␈t␈α
wan␈α␈t␈α
to␈αgiv␈α␈e␈α
di{eren␈α␈t␈α
w␈α␈eigh␈α␈ts␈α
to␈αdi{eren␈α␈t␈α
in␈α␈tegers.␈α∞Suppose
␈β∧X␈↓ ↓H␈εαthat␈α
the␈α
value␈↓ β7␈ελX␈↓ βa␈εα=␈↓ ∧⊂␈ελx␈↓ ∧<␈εαis␈α∞to␈α
be␈α
obtained␈α
with␈α
probability␈↓ λc␈ελp␈↓ 	α␈εα,␈α∞and␈↓ 	a␈ελX␈↓ 
␈εα=␈↓ 
:␈ελx␈↓ 
f␈εαwith
␈β∧e␈↓ ∧!␈ε¬1␈↓ λt␈ε¬1␈↓ 
K␈ε¬2
␈β¬β␈↓ ↓H␈εαprobability␈↓ β¬␈ελp␈↓ β%␈εα,␈↓ β@␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βp␈εα,␈↓ ∧␈ελX␈↓ ∧9␈εα=␈↓ ∧m␈ελx␈↓ ¬≤␈εαwith␈α⊂probability␈↓ π0␈ελp␈↓ πO␈εα.␈α_We␈α⊂can␈α⊂generate␈α⊂a␈α∂uniform
␈β¬⊃␈↓ β⊗␈ε¬2␈↓ ∧}␈εk␈↓ πA␈εk
␈β¬.␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈↓ αJ␈ελU␈↓ αs␈εαand␈αlet
␈β¬a␈↓ ∧⊃␈ε↓8
␈βε␈↓ ∧)␈ελx␈↓ ∧H␈εα,␈↓ ¬~␈εαif␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ εε␈ελU␈↓ ε.␈εα<␈↓ ε\␈ελp␈↓ ε{␈εα;
␈βε↓␈↓ ∧⊃␈ε↓>
␈βε␈↓ ∧⊃␈ε↓>
␈βε∞␈↓ ∧9␈ε¬1␈↓ εm␈ε¬1
␈βε↔␈↓ ∧⊃␈ε↓<
␈βε,␈↓ ∧)␈ελx␈↓ ∧H␈εα,␈↓ ¬~␈εαif␈↓ ¬<␈ελp␈↓ ¬e␈ε⊗∀␈↓ ε∪␈ελU␈↓ ε;␈εα<␈↓ εi␈ελp␈↓ π⊂␈εα+␈↓ π<␈ελp␈↓ π\␈εα;
␈βε9␈↓ ∧9␈ε¬2␈↓ ¬M␈ε¬1␈↓ εz␈ε¬1␈↓ πM␈ε¬2
␈βεA␈↓ β;␈ελX␈↓ βc␈εα=␈↓ α␈εα(2)
␈βεW␈↓ ∧)␈εα.␈αε.␈αε.
␈βεX␈↓ ∧⊃␈ε↓>
␈βεb␈↓ ∧⊃␈ε↓>
␈βεm␈↓ ∧⊃␈ε↓:
␈βπα␈↓ ∧)␈ελx␈↓ ∧H␈εα,␈↓ ¬~␈εαif␈↓ ¬<␈ελp␈↓ ¬c␈εα+␈↓ ε∂␈ελp␈↓ ε7␈εα+␈↓ εc␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π∃␈εα+␈↓ πA␈ελp␈↓ λ⊗␈ε⊗∀␈↓ λD␈ελU␈↓ λk␈εα<␈α
1.
␈βπ∂␈↓ ∧9␈εk␈↓ ¬M␈ε¬1␈↓ ε ␈ε¬2␈↓ πR␈εk␈↓ π`␈ε→␈␈ε¬1
␈βπ]␈↓ ↓H␈εα(Note␈αthat␈↓ αz␈ελp␈↓ β!␈εα+␈↓ βM␈ελp␈↓ βt␈εα+␈↓ ∧ ␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧R␈εα+␈↓ ∧}␈ελp␈↓ ¬(␈εα=␈α
1.)
␈βπk␈↓ β␈ε¬1␈↓ β↑␈ε¬2␈↓ ¬∂␈εk
␈βλ
␈↓ α␈εαThere␈α
is␈α
a␈α
\best␈αpossible"␈α
way␈α
to␈α
do␈α
the␈αcomparisons␈α
of␈↓ 	∪␈ελU␈↓ 	>␈εαagainst␈αvarious
␈βλ5␈↓ ↓H␈εαvalues␈α	of␈↓ αZ␈ελp␈↓ α⎇␈εα+␈↓ β%␈ελp␈↓ βI␈εα+␈↓ βq␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧∨␈εα+␈↓ ∧G␈ελp␈↓ ∧d␈εα,␈α
as␈α	implied␈α	in␈α	(2);␈α
this␈α	situation␈α	is␈α	discussed␈α	in␈α	Section
␈βλB␈↓ αk␈ε¬1␈↓ β6␈ε¬2␈↓ ∧X␈εs
␈βλ`␈↓ ↓H␈εα2.3.4.5.␈αSpecial␈αcases␈αcan␈αbe␈αhandled␈αby␈αmore␈αe}cien␈α␈t␈αmethods;␈αfor␈αexample,␈αto
␈β	␈↓ ↓H␈εαobtain␈απone␈αλof␈απthe␈απelev␈α␈en␈αλvalues␈απ2,␈α	3,␈↓ ¬j␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε~␈εα,␈αλ12␈αλwith␈απthe␈αλrespectiv␈α␈e␈απ\dice"␈απprobabilities
␈β	3␈↓ ↓S␈ε¬1␈↓ α∞␈ε¬2␈↓ β∞␈ε¬6␈↓ ∧∂␈ε¬2␈↓ ∧J␈ε¬1
␈β	7␈↓ ↓l␈εα,␈↓ α'␈εα,␈↓ α=␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ αm␈εα,␈↓ β(␈εα,␈↓ β>␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βn␈εα,␈↓ ∧)␈εα,␈↓ ∧d␈εα,␈αw␈α␈e␈αcould␈αcompute␈αt␈α␈w␈α␈o␈αindependen␈α␈t␈αrandom␈αin␈α␈tegers
␈β	G␈↓ ↓L␈∧	G↓Lα≥␈↓ αε␈∧	Gαεα≥␈↓ βπ␈∧	Gβπα≥␈↓ ∧λ␈∧	G∧λα≥␈↓ ∧C␈∧	G∧Cα≥
␈β	I␈↓ ↓L␈ε¬36␈↓ αε␈ε¬3␈α↓6␈↓ βπ␈ε¬3␈α↓6␈↓ ∧λ␈ε¬36␈↓ ∧C␈ε¬36
␈β	b␈↓ ↓H␈εαbet␈α␈w␈α␈een␈α1␈αand␈α6␈αand␈αadd␈αthem␈αtogether.
␈β
∂␈↓ α␈εαHo␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α∞none␈α
of␈α∞the␈α
abo␈α␈v␈α␈e␈α
techniques␈α∞is␈α
really␈α∞the␈α
fastest␈α∞general␈α
way␈α
to
␈β
:␈↓ ↓H␈εαselect␈↓ α)␈ελx␈↓ αH␈εα,␈↓ α]␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β
␈εα,␈↓ β"␈ελx␈↓ βL␈εαwith␈αthe␈αcorrect␈αprobabilities.␈αAn␈αingenious␈αway␈αto␈α
do␈αthe␈αtrick
␈β
G␈↓ α9␈ε¬1␈↓ β3␈εk
␈β
e␈↓ ↓H␈εαhas␈α
been␈α∞disco␈α␈v␈α␈ered␈α
by␈α∞A.␈α∞J.␈α
Walk␈α␈er␈α∞[␈ε∂Electronics␈α
Letters␈ε∩␈α∞10␈εα,8␈α
(1974),␈α∞127↑128;
␈β⊂␈↓ ↓H␈ε∂A␈α␈CM␈αTrans.␈α
Math.␈αSoft␈α␈ware␈ε∩␈α3␈εα␈α
(1976),␈α253↑256].␈α∞Suppose␈αw␈α␈e␈α
form␈↓ 	h␈ελk␈↓ 	z␈ελU␈↓ 
$␈εαand␈αcon-
␈β;␈↓ ↓H␈εαsider␈α
the␈α
in␈α␈teger␈α
part␈↓ ∧&␈ελK␈↓ ∧O␈εα=␈ε⊗␈α
b␈↓ ¬∞␈ελk␈↓ ¬∨␈ελU␈↓ ¬=␈ε⊗c␈εα␈α
and␈α
fraction␈α∞part␈↓ πv␈ελV␈↓ λ≤␈εα=␈α(␈↓ λX␈ελk␈↓ λj␈ελU␈↓ 	π␈εα)␈↓ 	→␈εαmod␈↓ 	c␈εα1␈α
separately;
␈βg␈↓ ↓H␈εαfor␈αexample,␈αafter␈αthe␈αcode␈α(1)␈αw␈α␈e␈αwill␈αhav␈α␈e␈↓ ε⎇␈ελK␈↓ π&␈εαin␈αregister␈αA␈αand␈↓ 	:␈ελV␈↓ 	`␈εαin␈αregister␈αX.
␈β∩␈↓ ↓H␈εαThen␈αw␈α␈e␈αcan␈αalways␈αobtain␈αthe␈αdesired␈αdistribution␈αby␈αdoing␈αthe␈αoperations
␈βm␈↓ β
␈εαif␈↓ βG␈ελV␈↓ βk␈εα<␈↓ ∧→␈ελP␈↓ ∧j␈εαthen␈↓ ¬T␈ελX␈↓ ¬|␈ε⊗ ␈↓ ε*␈ελx␈↓ π"␈εαotherwise␈↓ λZ␈ελX␈↓ 	α␈ε⊗ ␈↓ 	0␈ελY␈↓ 	]␈εα,␈↓ α␈εα(3)
␈βz␈↓ ∧.␈εK␈↓ ε;␈εK␈↓ εS␈ε¬+␈α␈1␈↓ 	E␈εK
␈β
H␈↓ ↓H␈εαfor␈αsome␈α
appropriate␈αtables␈α
(␈↓ ¬∩␈ελP␈↓ ¬5␈εα,␈↓ ¬E␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬u␈εα,␈↓ ε¬␈ελP␈↓ εT␈εα)␈α
and␈α(␈↓ π?␈ελY␈↓ πc␈εα,␈↓ πs␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ#␈εα,␈↓ λ3␈ελY␈↓ 	↓␈εα).␈α∞Ex␈α␈ercise␈α
7␈αsho␈α␈ws
␈β
U␈↓ ¬'␈ε¬0␈↓ ε~␈εk␈↓ ε)␈ε→␈␈ε¬1␈↓ πT␈ε¬0␈↓ λH␈εk␈↓ λV␈ε→␈␈ε¬1
␈β
s␈↓ ↓H␈εαho␈α␈w␈αsuch␈αtables␈αcan␈αbe␈αcomputed␈αin␈αgeneral.
␈β∞ ␈↓ α␈εαOn␈α∞a␈α∞binary␈α∞computer␈α∞it␈α∞is␈α
usually␈α∞helpful␈α∞to␈α∞assume␈α∞that␈↓ 	?␈ελk␈↓ 	←␈εαis␈α∞a␈α∞po␈α␈w␈α␈er␈α
of
␈β∞K␈↓ ↓H␈εα2,␈α
so␈α∞that␈α
m␈α␈ultiplication␈α∞can␈α
be␈α∞replaced␈α
by␈α∞shifting;␈α∞this␈α
can␈α∞be␈α
done␈α
without
␈β∞v␈↓ ↓H␈εαloss␈αof␈αgenerality␈αby␈αin␈α␈troducing␈αadditional␈↓ εv␈ελx␈↓ π	␈εα's␈αthat␈αoccur␈αwith␈αprobability␈αzero.
␈β∂"␈↓ ↓H␈εαFor␈α
example,␈α
let's␈α
consider␈α
dice␈α
again;␈α
suppose␈α
w␈α␈e␈α
wan␈α␈t␈↓ λ2␈ελX␈↓ λZ␈εα=␈↓ 	λ␈ελj␈↓ 	#␈εαto␈α
occur␈α	with␈α
the
␈β∂M␈↓ ↓H␈εαfollo␈α␈wing␈α16␈αprobabilities:
␈β⊂(␈↓ β¬␈ελj␈↓ β ␈εα=␈↓ βN␈εα0␈↓ βr␈εα1␈↓ ∧∨␈εα2␈↓ ∧V␈εα3␈↓ ¬
␈εα4␈↓ ¬D␈εα5␈↓ ¬z␈εα6␈↓ ε1␈εα7␈↓ εh␈εα8␈↓ π∨␈εα9␈↓ πM␈εα10␈↓ λβ␈εα11␈↓ λ:␈εα12␈↓ λq␈εα13␈↓ 	'␈εα14␈↓ 	]␈εα15
␈β⊂↑␈↓ ∧!␈ε¬1␈↓ ∧X␈ε¬2␈↓ ¬∂␈ε¬3␈↓ ¬E␈ε¬4␈↓ ¬|␈ε¬5␈↓ ε3␈ε¬6␈↓ εj␈ε¬5␈↓ π!␈ε¬4␈↓ πW␈ε¬3␈↓ λ∞␈ε¬2␈↓ λE␈ε¬1
␈β⊂a␈↓ αx␈ελp␈↓ β ␈εα=␈↓ βN␈εα0␈↓ βr␈εα0␈↓ λz␈εα0␈↓ 	0␈εα0␈↓ 	f␈εα0
␈β⊂o␈↓ β	␈εj
␈β⊂r␈↓ ∧~␈∧⊂r∧~α≥␈↓ ∧Q␈∧⊂r∧Qα≥␈↓ ¬π␈∧⊂r¬πα≥␈↓ ¬>␈∧⊂r¬>α≥␈↓ ¬u␈∧⊂r¬uα≥␈↓ ε,␈∧⊂rε,α≥␈↓ εc␈∧⊂rεcα≥␈↓ π→␈∧⊂rπ→α≥␈↓ πP␈∧⊂rπPα≥␈↓ λπ␈∧⊂rλπα≥␈↓ λ>␈∧⊂rλ>α≥
␈β⊂t␈↓ ∧~␈ε¬36␈↓ ∧Q␈ε¬36␈↓ ¬π␈ε¬3␈α↓6␈↓ ¬>␈ε¬3␈α↓6␈↓ ¬u␈ε¬36␈↓ ε,␈ε¬36␈↓ εc␈ε¬36␈↓ π→␈ε¬3␈α↓6␈↓ πP␈ε¬3␈α↓6␈↓ λπ␈ε¬36␈↓ λ>␈ε¬36
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα114␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.4.1
␈βα∨␈↓ ↓H␈εαWe␈αcan␈α
do␈αthis␈αusing␈α(3),␈αif␈↓ ∧z␈ελk␈↓ ¬⊗␈εα=␈α
16␈αand␈↓ ε8␈ελx␈↓ ε`␈εα=␈↓ π∞␈ελj␈↓ π)␈εαfor␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ λ*␈ελj␈↓ λD␈εα<␈α
16,␈αand␈αif␈αthe␈↓ 
N␈ελP␈↓ 
r␈εαand
␈βα,␈↓ εH␈εj
␈βαJ␈↓ ↓H␈ελY␈↓ ↓o␈εαtables␈αare␈αset␈αup␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈ββ_␈↓ ∧!␈ε¬4␈↓ ∧X␈ε¬8␈↓ ¬E␈ε¬7␈↓ π!␈ε¬7␈↓ πW␈ε¬7␈↓ λ∞␈ε¬8␈↓ λE␈ε¬4
␈ββ≤␈↓ αt␈ελP␈↓ β ␈εα=␈↓ βN␈εα0␈↓ βr␈εα0␈↓ ¬
␈εα1␈↓ ¬z␈εα1␈↓ ε1␈εα1␈↓ εh␈εα1␈↓ λz␈εα0␈↓ 	0␈εα0␈↓ 	f␈εα0
␈ββ)␈↓ β	␈εj
␈ββ,␈↓ ∧!␈∧β,∧!α∂␈↓ ∧X␈∧β,∧Xα∂␈↓ ¬E␈∧β,¬Eα∂␈↓ π!␈∧β,π!α∂␈↓ πW␈∧β,πWα∂␈↓ λ∞␈∧β,λ∞α∂␈↓ λE␈∧β,λEα∂
␈ββ.␈↓ ∧!␈ε¬9␈↓ ∧X␈ε¬9␈↓ ¬E␈ε¬9␈↓ π!␈ε¬9␈↓ πW␈ε¬9␈↓ λ∞␈ε¬9␈↓ λE␈ε¬9
␈ββU␈↓ αt␈ελY␈↓ β ␈εα=␈↓ βN␈εα5␈↓ βr␈εα9␈↓ ∧∨␈εα7␈↓ ∧V␈εα4␈↓ ¬
␈ε⊗β␈↓ ¬D␈εα6␈↓ ¬z␈ε⊗β␈↓ ε1␈ε⊗β␈↓ εh␈ε⊗β␈↓ π∨␈εα8␈↓ πV␈εα4␈↓ λ␈εα7␈↓ λ:␈εα10␈↓ λz␈εα6␈↓ 	0␈εα7␈↓ 	f␈εα8
␈ββc␈↓ β	␈εj
␈β∧'␈↓ ↓H␈εα(When␈↓ α:␈ελP␈↓ αf␈εα=␈α
1,␈↓ β;␈ελY␈↓ βh␈εαis␈α
not␈αused.)␈αFor␈αexample,␈αthe␈α
value␈α7␈α
occurs␈αwith␈α
probability
␈β∧2␈↓ αλ␈ε↓␈␈↓ π↓␈ε↓↓
␈β∧4␈↓ αO␈εj␈↓ βP␈εj
␈β∧N␈↓ ↓S␈ε¬1␈↓ πV␈ε¬6
␈β∧R␈↓ ↓u␈ε⊗↓␈↓ α⊗␈εα(1␈ε⊗␈α	␈␈↓ αj␈ελP␈↓ β
␈εα)␈α	+␈↓ βO␈ελP␈↓ β{␈εα+␈α	(1␈ε⊗␈α	␈␈↓ ∧|␈ελP␈↓ ¬.␈εα)␈α	+␈αλ(1␈ε⊗␈α	␈␈↓ εC␈ελP␈↓ εu␈εα)␈↓ π≠␈εα=␈↓ π⎇␈εαas␈α∞required.␈α⊂It␈α
is␈α
a␈α
peculiar
␈β∧←␈↓ α␈␈ε¬2␈↓ βd␈ε¬7␈↓ ¬⊃␈ε¬11␈↓ εX␈ε¬1␈α↓4
␈β∧b␈↓ ↓L␈∧∧b↓Lα≥␈↓ πO␈∧∧bπOα≥
␈β∧e␈↓ ↓L␈ε¬16␈↓ πO␈ε¬3␈α↓6
␈β∧⎇␈↓ ↓H␈εαway␈αto␈αthro␈α␈w␈αdice,␈αbut␈αthe␈αresults␈αare␈αindistinguishable␈αfrom␈αthe␈αreal␈αthing.
␈β¬;␈↓ ↓H␈ε∩B.␈αGeneral␈αmethods␈αfor␈αcon␈α␈tin␈α␈uous␈αdistributions.␈εα␈α~The␈αmost␈αgeneral␈αreal-valued
␈β¬g␈↓ ↓H␈εαdistribution␈α	may␈α
be␈α
expressed␈α
in␈α
terms␈α
of␈α
its␈α	\distribution␈α
function"␈↓ 	x␈ελF␈↓ 
⊃␈εα(␈↓ 
≥␈ελx␈↓ 
0␈εα),␈α
which
␈βε∩␈↓ ↓H␈εαspeci|es␈α	the␈α
probability␈α	that␈α
a␈α	random␈α
quan␈α␈tity␈↓ π9␈ελX␈↓ πa␈εαwill␈α	be␈α
less␈α
than␈α	or␈α
equal␈α	to␈↓ ⊂␈ελx␈↓ "␈εα;
␈βεc␈↓ ∧9␈ελF␈↓ ∧R␈εα(␈↓ ∧↑␈ελx␈↓ ∧q␈εα)␈α
=␈↓ ¬5␈εαprobability␈αthat␈↓ π1␈εα(␈↓ π=␈ελX␈↓ πe␈ε⊗∀␈↓ λ∪␈ελx␈↓ λ%␈εα).␈↓ α␈εα(4)
␈βπ5␈↓ ↓H␈εαThis␈αfunction␈αalways␈αincreases␈αmonotonically␈αfrom␈αzero␈αto␈αone:
␈βλε␈↓ αH␈ελF␈↓ αa␈εα(␈↓ αm␈ελx␈↓ β␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ βP␈ελF␈↓ βi␈εα(␈↓ βu␈ελx␈↓ ∧∀␈εα),␈↓ ∧T␈εαif␈↓ ∧v␈ελx␈↓ ¬∨␈ε⊗∀␈↓ ¬M␈ελx␈↓ ¬l␈εα;␈↓ εD␈ελF␈↓ ε]␈εα(␈ε⊗␈1␈εα)␈α
=␈α
0,␈↓ λ←␈ελF␈↓ λx␈εα(+␈ε⊗1␈εα)␈α
=␈α
1.␈↓ α␈εα(5)
␈βλ∪␈↓ α⎇␈ε¬1␈↓ ∧ε␈ε¬2␈↓ ¬π␈ε¬1␈↓ ¬↑␈ε¬2
␈βλW␈↓ ↓H␈εαExamples␈α
of␈α
distribution␈α∞functions␈α
are␈α∞giv␈α␈en␈α
in␈α∞Section␈α
3.3.1,␈α∞Fig.␈α
3.␈α⊃If␈↓ 
C␈ελF␈↓ 
\␈εα(␈↓ 
h␈ελx␈↓ 
{␈εα)␈α
is
␈β	α␈↓ ↓H␈εαcon␈α␈tin␈α␈uous␈α
and␈αstrictly␈α
increasing␈α(so␈α
that␈↓ εc␈ελF␈↓ ε|␈εα(␈↓ πλ␈ελx␈↓ π'␈εα)␈α
<␈↓ πk␈ελF␈↓ λ∧␈εα(␈↓ λ⊂␈ελx␈↓ λ/␈εα)␈αwhen␈↓ 	"␈ελx␈↓ 	K␈εα<␈↓ 	y␈ελx␈↓ 
_␈εα),␈αit␈α
tak␈α␈es
␈β	⊂␈↓ π→␈ε¬1␈↓ λ!␈ε¬2␈↓ 	3␈ε¬1␈↓ 

␈ε¬2
␈β	)␈↓ 
¬␈ε→␈␈ε¬1
␈β	.␈↓ ↓H␈εαon␈α
all␈α
values␈αbet␈α␈w␈α␈een␈α
zero␈αand␈α
one,␈αand␈α
there␈αis␈α
an␈ε∂␈αin␈α␈v␈α␈erse␈α
function␈↓ 	k␈ελF␈↓ 
0␈εα(␈↓ 
<␈ελy␈↓ 
P␈εα)␈α
such
␈β	Y␈↓ ↓H␈εαthat,␈αfor␈α0␈α
<␈↓ β"␈ελy␈↓ β@␈εα<␈α
1,
␈β
$␈↓ λ2␈ε→␈␈ε¬1
␈β
*␈↓ β`␈ελy␈↓ β}␈εα=␈↓ ∧,␈ελF␈↓ ∧F␈εα(␈↓ ∧R␈ελx␈↓ ∧d␈εα)␈↓ ¬8␈εαif␈αand␈αonly␈αif␈↓ πN␈ελx␈↓ πk␈εα=␈↓ λ→␈ελF␈↓ λ↑␈εα(␈↓ λj␈ελy␈↓ λ}␈εα).␈↓ α␈εα(6)
␈β
{␈↓ ↓H␈εαIn␈α∞general␈α∞w␈α␈e␈α∞can␈α∞compute␈α∞a␈α∞random␈α∞quan␈α␈tity␈↓ π<␈ελX␈↓ πh␈εαwith␈α∞the␈α∞con␈α␈tin␈α␈uous,␈α∞strictly
␈β'␈↓ ↓H␈εαincreasing␈αdistribution␈↓ ∧4␈ελF␈↓ ∧M␈εα(␈↓ ∧Y␈ελx␈↓ ∧l␈εα)␈αby␈αsetting
␈βr␈↓ εA␈ε→␈␈ε¬1
␈βx␈↓ ¬R␈ελX␈↓ ¬z␈εα=␈↓ ε(␈ελF␈↓ εl␈εα(␈↓ εx␈ελU␈↓ π⊗␈εα)␈↓ α␈εα(7)
␈βI␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α4␈ελU␈↓ αc␈εαis␈α⊃uniform;␈α∪for␈α⊃the␈α⊃probability␈α⊂that␈↓ π6␈ελX␈↓ πf␈ε⊗∀␈↓ λ≤␈ελx␈↓ λ@␈εαis␈α⊃the␈α⊃probability␈α⊂that
␈βo␈↓ ↓a␈ε→␈␈ε¬1
␈βu␈↓ ↓H␈ελF␈↓ α␈εα(␈↓ α_␈ελU␈↓ α6␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ αz␈ελx␈↓ β
␈εα,␈αi.e.,␈αthe␈αprobability␈αthat␈↓ ε-␈ελU␈↓ εT␈ε⊗∀␈↓ πα␈ελF␈↓ π≠␈εα(␈↓ π'␈ελx␈↓ π:␈εα),␈αand␈αthis␈αis␈↓ 	␈ελF␈↓ 	%␈εα(␈↓ 	1␈ελx␈↓ 	D␈εα).
␈β
 ␈↓ α␈εαThe␈αproblem␈αno␈α␈w␈αreduces␈αto␈αone␈αof␈αn␈α␈umerical␈αanalysis,␈αnamely␈αto␈α|nd␈αgood
␈β
F␈↓ ∧W␈ε→␈␈ε¬1
␈β
K␈↓ ↓H␈εαmethods␈αfor␈αevaluating␈↓ ∧>␈ελF␈↓ ¬α␈εα(␈↓ ¬∞␈ελU␈↓ ¬,␈εα)␈αto␈αthe␈αdesired␈αaccuracy.␈αNumerical␈αanalysis␈αlies
␈β
v␈↓ ↓H␈εαoutside␈αλthe␈αλscope␈α	of␈αλthis␈αλsemin␈α␈umerical␈α	book;␈α	y␈α␈et␈α	there␈αλare␈αλa␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈αλof␈αλimportan␈α␈t
␈β∞!␈↓ ↓H␈εαshortcuts␈α
available␈α
to␈αspeed␈α
up␈α
this␈α
general␈αapproach,␈α
and␈αw␈α␈e␈α
will␈α
consider␈α
them
␈β∞M␈↓ ↓H␈εαhere.
␈β∞x␈↓ α␈εαIn␈α∞the␈α∞|rst␈α∞place,␈α∂if␈↓ ∧S␈ελX␈↓ ¬	␈εαis␈α∞a␈α∞random␈α∞variable␈α∞having␈α∞the␈α∞distribution␈↓ 
←␈ελF␈↓ α␈εα(␈↓ ∞␈ελx␈↓  ␈εα)
␈β∂¬␈↓ ∧l␈ε¬1␈↓ 
s␈ε¬1
␈β∂#␈↓ ↓H␈εαand␈αif␈↓ α0␈ελX␈↓ αc␈εαis␈αan␈αindependen␈α␈t␈αrandom␈αvariable␈αwith␈αthe␈αdistribution␈↓ 	f␈ελF␈↓ 
λ␈εα(␈↓ 
∀␈ελx␈↓ 
'␈εα),␈αthen
␈β∂0␈↓ αI␈ε¬2␈↓ 	z␈ε¬2
␈β∂q␈↓ α&␈εαmax␈↓ αj␈εα(␈↓ αv␈ελX␈↓ β≡␈εα,␈↓ β.␈ελX␈↓ βU␈εα)␈↓ ∧)␈εαhas␈αthe␈αdistribution␈↓ π'␈ελF␈↓ πI␈εα(␈↓ πU␈ελx␈↓ πh␈εα)␈↓ πt␈ελF␈↓ λ↔␈εα(␈↓ λ#␈ελx␈↓ λ5␈εα),
␈β∂}␈↓ β∂␈ε¬1␈↓ βG␈ε¬2␈↓ π;␈ε¬1␈↓ λλ␈ε¬2
␈β⊂
␈↓ α␈εα(8)
␈β⊂#␈↓ α.␈εαmin␈↓ αj␈εα(␈↓ αv␈ελX␈↓ β≡␈εα,␈↓ β.␈ελX␈↓ βU␈εα)␈↓ ∧)␈εαhas␈αthe␈αdistribution␈↓ π'␈ελF␈↓ πI␈εα(␈↓ πU␈ελx␈↓ πh␈εα)␈αλ+␈↓ λ(␈ελF␈↓ λK␈εα(␈↓ λW␈ελx␈↓ λi␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ 	)␈ελF␈↓ 	L␈εα(␈↓ 	X␈ελx␈↓ 	k␈εα)␈↓ 	w␈ελF␈↓ 
→␈εα(␈↓ 
%␈ελx␈↓ 
8␈εα).
␈β⊂1␈↓ β∂␈ε¬1␈↓ βG␈ε¬2␈↓ π;␈ε¬1␈↓ λ<␈ε¬2␈↓ 	=␈ε¬1␈↓ 
␈ε¬2
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εα(See␈α	ex␈α␈ercise␈α	4.)␈αFor␈α
example,␈α
the␈α	uniform␈α	deviate␈↓ πY␈ελU␈↓ λ␈εαhas␈α
the␈α	distribution␈↓ 
:␈ελF␈↓ 
T␈εα(␈↓ 
`␈ελx␈↓ 
r␈εα)␈α
=
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓Z␈εα,␈α⊃for␈α⊂0␈ε⊗␈α⊃∀␈↓ βλ␈ελx␈↓ β,␈ε⊗∀␈εα␈α⊂1;␈α∩if␈↓ ∧4␈ελU␈↓ ∧Y␈εα,␈↓ ∧t␈ελU␈↓ ¬~␈εα,␈↓ ¬4␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬d␈εα,␈↓ ¬␈␈ελU␈↓ ε1␈εαare␈α⊂independen␈α␈t␈α⊂uniform␈α⊂deviates,␈α⊂then
␈β⊃)␈↓ ∧K␈ε¬1␈↓ ¬␈ε¬2␈↓ ε⊗␈εt
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.4.1␈ε∞␈↓ π+NUMERICAL␈α	DIST␈α␈RIBUT␈α␈IONS␈↓ 
v␈εα115
␈βα!␈↓ λT␈εt
␈βα&␈↓ ↓H␈εαmax␈↓ α␈εα(␈↓ α_␈ελU␈↓ α=␈εα,␈↓ αM␈ελU␈↓ αr␈εα,␈↓ βα␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β2␈εα,␈↓ βB␈ελU␈↓ βd␈εα)␈αhas␈α
the␈αdistribution␈αfunction␈↓ πE␈ελF␈↓ π↑␈εα(␈↓ πj␈ελx␈↓ π⎇␈εα)␈α
=␈↓ λA␈ελx␈↓ λ←␈εα,␈α
for␈α0␈α
<␈↓ 	t␈ελx␈↓ 
⊃␈ε⊗∀␈εα␈α
1.␈αThis
␈βα4␈↓ α/␈ε¬1␈↓ αd␈ε¬2␈↓ βY␈εt
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαis␈α∞the␈α∂basis␈α∂of␈α∞the␈α∂\maxim␈α␈um␈α∂of␈↓ ¬a␈ελt␈↓ ¬o␈εα"␈α∞test␈α∂giv␈α␈en␈α∂in␈α∞Section␈α∂3.3.2.␈α∀Note␈α∂that␈α∞the
␈βαx␈↓ ¬K␈ε→␈␈ε¬1
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαin␈α␈v␈α␈erse␈αfunction␈α
in␈α
this␈αcase␈α
is␈↓ ¬2␈ελF␈↓ ¬v␈εα(␈↓ εα␈ελy␈↓ ε⊗␈εα)␈α=␈↓ π␈ελy␈↓ π∀␈εα.␈α∞In␈α
the␈α
special␈αcase␈↓ 	Y␈ελt␈↓ 	q␈εα=␈α2,␈α
w␈α␈e␈αsee
␈βα}␈↓ π␈∧α}πα∃
␈βα␈␈↓ ε\␈ε⊗p␈↓ εg␈ε
t
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαtherefore␈αthat␈αthe␈αt␈α␈w␈α␈o␈αform␈α␈ulas
␈ββy␈↓ ∧⎇␈∧βy∧⎇α≡
␈ββz␈↓ ∧Y␈ε⊗p
␈β∧↓␈↓ ∧β␈ελX␈↓ ∧+␈εα=␈↓ ∧⎇␈ελU␈↓ ¬b␈εαand␈↓ εd␈ελX␈↓ π␈εα=␈↓ π:␈εαmax␈↓ π}␈εα(␈↓ λ
␈ελU␈↓ λ0␈εα,␈↓ λ@␈ελU␈↓ λe␈εα)␈↓ α␈εα(9)
␈β∧∞␈↓ λ!␈ε¬1␈↓ λW␈ε¬2
␈β∧Z␈↓ ↓H␈εαwill␈αgiv␈α␈e␈αequivalen␈α␈t␈αdistributions␈αto␈αthe␈αrandom␈αvariable␈↓ λG␈ελX␈↓ λe␈εα,␈αalthough␈αthis␈αis␈αnot
␈β¬¬␈↓ ↓H␈εαobvious␈αat␈α|rst␈αglance.␈αWe␈αneed␈αnot␈αtak␈α␈e␈αthe␈αsquare␈αroot␈αof␈αa␈αuniform␈αdeviate.
␈β¬1␈↓ α␈εαThe␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α	of␈αλtricks␈α	lik␈α␈e␈α	this␈α	is␈α	endless:␈ε∂␈α
an␈α␈y␈εα␈α	algorithm␈α	that␈α	emplo␈α␈ys␈αλrandom
␈β¬\␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈bers␈αas␈αinput␈αwill␈αgiv␈α␈e␈αa␈αrandom␈αquan␈α␈tity␈αwith␈ε∂␈αsome␈εα␈αdistribution␈αas␈αoutput.
␈βεπ␈↓ ↓H␈εαThe␈α
problem␈α
is␈α	to␈α
|nd␈α
general␈α
methods␈α
for␈α
constructing␈α
the␈α
algorithm,␈α
giv␈α␈en␈α
the
␈βε2␈↓ ↓H␈εαdistribution␈α
function␈α
of␈α	the␈α
output.␈αInstead␈α
of␈α
discussing␈α
such␈α
methods␈α	in␈α
purely
␈βε↑␈↓ ↓H␈εαabstract␈αterms,␈αw␈α␈e␈αshall␈αstudy␈αho␈α␈w␈αthey␈αcan␈αbe␈αapplied␈αin␈αimportan␈α␈t␈αcases.
␈βπ$␈↓ ↓H␈ε∩C.␈αλThe␈αλnormal␈αλdistribution.␈εα␈α⊃Perhaps␈αλthe␈αλmost␈αλimportan␈α␈t␈αλnon␈α␈uniform,␈α	con␈α␈tin␈α␈uous
␈βπO␈↓ ↓H␈εαdistribution␈α∂is␈α∂the␈α∂so-called␈ε∂␈α⊂normal␈α∂distribution␈α∂with␈α⊂mean␈α∂zero␈α∂and␈α∂standard
␈βπz␈↓ ↓H␈ε∂deviation␈αone:
␈βλ␈↓ ε3␈ε↓Z
␈βλ∀␈↓ εW␈εx
␈βλ!␈↓ ¬{␈εα1
␈βλ/␈↓ π<␈επ2
␈βλ2␈↓ π∃␈ε→␈␈↓ π2␈εt␈↓ πG␈ε¬/␈α↓2
␈βλ8␈↓ ∧←␈ελF␈↓ ∧x␈εα(␈↓ ¬∧␈ελx␈↓ ¬↔␈εα)␈α
=␈↓ ππ␈ελe␈↓ πj␈ελd␈↓ π}␈ελt␈↓ λ␈εα.␈↓ 
p␈εα(10)
␈βλI␈↓ ¬←␈∧λI¬←αK
␈βλZ␈↓ εβ␈∧λZεβα'
␈βλ[␈↓ ¬←␈ε⊗p
␈βλ\␈↓ εG␈ε→␈1
␈βλ`␈↓ εβ␈εα2␈↓ ε∃␈ελ→
␈β	≤␈↓ ↓H␈εαThe␈α
signi|cance␈α∞of␈α
this␈α
distribution␈α∞was␈α
indicated␈α∞in␈α
Section␈α∞1.2.10.␈α⊂Note␈α
that
␈β	B␈↓ ∧ ␈ε→␈␈ε¬1
␈β	G␈↓ ↓H␈εαthe␈α
in␈α␈v␈α␈erse␈αfunction␈↓ ∧π␈ελF␈↓ ∧V␈εαis␈αnot␈α
especially␈αeasy␈α
to␈α
compute;␈αbut␈αw␈α␈e␈α
shall␈αsee␈α
that
␈β	s␈↓ ↓H␈εαsev␈α␈eral␈αother␈αtechniques␈αare␈αavailable.
␈β
~␈↓ 
j␈ε↓␈
␈β
9␈↓ ↓H␈εα(␈ελ1␈↓ ↓k␈εα)␈ε∂␈α	The␈α
polar␈α	method␈εα,␈α
due␈α	to␈α	G.␈α
E.␈α	P.␈α
Bo␈α␈x,␈α	M.␈α
E.␈α	Muller,␈α
and␈α	G.␈α
Marsaglia.␈↓ 
x␈εαSee
␈β
d␈↓ ↓H␈ε∂Annals␈α
Math.␈α
Stat.␈ε∩␈α
28␈εα␈α
(1958),␈α610;␈αand␈α
Boeing␈α
Scien␈α␈ti|c␈α
Res.␈α
Lab.␈α
report␈α
D1-82-
␈β
p␈↓ βε␈ε↓↓
␈β⊂␈↓ ↓H␈εα0203␈α(1962).
␈βV␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈αP␈εα␈α(␈ε∂Polar␈αmethod␈αfor␈αnormal␈αdeviates␈↓ π/␈εα)␈ε∩.␈εα␈α_This␈αalgorithm␈αcalculates␈αt␈α␈w␈α␈o
␈β↓␈↓ ↓H␈εαindependen␈α␈t␈αnormally␈αdistributed␈αvariables,␈↓ π¬␈ελX␈↓ π8␈εαand␈↓ π}␈ελX␈↓ λ%␈εα.
␈β∂␈↓ π≡␈ε¬1␈↓ λ↔␈ε¬2
␈β:␈↓ ↓N␈ε∩P1.␈↓ α␈εα[Get␈αλuniform␈αλvariables.]␈α∞Generate␈αλt␈α␈w␈α␈o␈αλindependen␈α␈t␈αλrandom␈απvariables,␈↓ 
E␈ελU␈↓ 
j␈εα,␈↓ 
⎇␈ελU␈↓ "␈εα,
␈βH␈↓ 
\␈ε¬1␈↓ ∀␈ε¬2
␈βf␈↓ α␈εαuniformly␈αλdistributed␈αλbet␈α␈w␈α␈een␈αλzero␈αλand␈αλone.␈α
Set␈↓ πv␈ελV␈↓ λ"␈ε⊗ ␈εα␈α
2␈↓ λb␈ελU␈↓ 	
␈ε⊗␈␈εα␈αβ1,␈↓ 	V␈ελV␈↓ 
α␈ε⊗ ␈εα␈α
2␈↓ 
B␈ελU␈↓ 
j␈ε⊗␈␈εα␈αα1.
␈βs␈↓ λ
␈ε¬1␈↓ λy␈ε¬1␈↓ 	j␈ε¬2␈↓ 
Y␈ε¬2
␈β
⊃␈↓ α␈εα(No␈α␈w␈↓ αm␈ελV␈↓ β≡␈εαand␈↓ βf␈ελV␈↓ ∧↔␈εαare␈α∞uniformly␈α∞distributed␈α∞bet␈α␈w␈α␈een␈ε⊗␈α∞␈␈εα1␈α∂and␈α∞+1.␈α∩On␈α∞most
␈β
≡␈↓ β↓␈ε¬1␈↓ βz␈ε¬2
␈β
<␈↓ α␈εαcomputers␈α∂it␈α∂will␈α∂be␈α∂preferable␈α∂to␈α∂hav␈α␈e␈↓ π⊂␈ελV␈↓ πA␈εαand␈↓ λ
␈ελV␈↓ λ<␈εαrepresen␈α␈ted␈α∞in␈α∂⎇oating-
␈β
I␈↓ π$␈ε¬1␈↓ λ≡␈ε¬2
␈β
g␈↓ α␈εαpoin␈α␈t␈αform␈αat␈αthis␈αpoin␈α␈t.)
␈β∞≠␈↓ ¬≡␈ε¬2␈↓ ¬z␈ε¬2
␈β∞!␈↓ ↓N␈ε∩P2.␈↓ α␈εα[Compute␈↓ β4␈ελS␈↓ βJ␈εα.]␈α→Set␈↓ ∧5␈ελS␈↓ ∧V␈ε⊗ ␈↓ ¬∧␈ελV␈↓ ¬4␈εα+␈↓ ¬`␈ελV␈↓ ελ␈εα.
␈β∞2␈↓ ¬≡␈ε¬1␈↓ ¬z␈ε¬2
␈β∞Z␈↓ ↓N␈ε∩P3.␈↓ α␈εα[Is␈↓ α;␈ελS␈↓ α[␈ε⊗∃␈εα␈α
1?]␈α_If␈↓ βn␈ελS␈↓ ∧∞␈ε⊗∃␈εα␈α
1,␈αreturn␈αto␈αstep␈αP1.␈α↔(Steps␈αP1␈αthrough␈αP3␈αare␈αex␈α␈ecuted
␈β∂¬␈↓ α␈εα1.27␈α	times␈α	on␈α	the␈α	av␈α␈erage,␈α
with␈α	a␈α	standard␈α	deviation␈α	of␈αλ0.587;␈α
see␈α	ex␈α␈ercise␈α	6.)
␈β∂>␈↓ ↓N␈ε∩P4.␈↓ α␈εα[Compute␈↓ β4␈ελX␈↓ β[␈εα,␈↓ βk␈ελX␈↓ ∧∪␈εα.]␈α→Set␈↓ ∧}␈ελX␈↓ ¬%␈εα,␈↓ ¬;␈ελX␈↓ ¬o␈εαaccording␈αto␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αt␈α␈w␈α␈o␈αequations:
␈β∂L␈↓ βM␈ε¬1␈↓ ∧∧␈ε¬2␈↓ ¬↔␈ε¬1␈↓ ¬T␈ε¬2
␈β⊂∃␈↓ ¬	␈ε↓r␈↓ ¬-␈∧⊂∃¬-α␈␈↓ λ¬␈ε↓r␈↓ λ)␈∧⊂∃λ)α␈
␈β⊂∨␈↓ ¬1␈ε⊗␈␈εα2␈↓ ¬m␈εαln␈↓ ε⊃␈ελS␈↓ λ-␈ε⊗␈␈εα2␈↓ λi␈εαln␈↓ 	
␈ελS
␈β⊂6␈↓ ∧π␈ελX␈↓ ∧9␈εα=␈↓ ∧g␈ελV␈↓ ε+␈εα,␈↓ πβ␈ελX␈↓ π5␈εα=␈↓ πc␈ελV␈↓ 	'␈εα.␈↓ 
p␈εα(11)
␈β⊂C␈↓ ∧ ␈ε¬1␈↓ ∧{␈ε¬1␈↓ π≤␈ε¬2␈↓ πw␈ε¬2
␈β⊂F␈↓ ¬1␈∧⊂F¬1αw␈↓ λ-␈∧⊂Fλ-αw
␈β⊂N␈↓ ¬a␈ελS␈↓ λ]␈ελS
␈β⊃≤␈↓ α␈εαThese␈αare␈αthe␈αnormally␈αdistributed␈αvariables␈αdesired.
␈β⊃!␈↓ λv␈∧⊃!λv≠∂
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα116␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.4.1
␈βα(␈↓ α␈εαTo␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αthe␈αvalidity␈αof␈αthis␈αmethod,␈αw␈α␈e␈αuse␈αelemen␈α␈tary␈αanalytic␈αgeometry
␈βαS␈↓ ↓H␈εαand␈α
calculus:␈α⊂If␈↓ βK␈ελS␈↓ βn␈εα<␈α
1␈α∞in␈α∞step␈α∞P3,␈α∞the␈α∞poin␈α␈t␈α
in␈α∞the␈α∞plane␈α∞with␈α∞Cartesian␈α
coor-
␈βα}␈↓ ↓H␈εαdinates␈α∂(␈↓ αS␈ελV␈↓ αu␈εα,␈↓ β¬␈ελV␈↓ β(␈εα)␈α∂is␈α∂a␈ε∂␈α∂random␈α∂poin␈α␈t␈α⊂uniformly␈α∂distributed␈α∂inside␈α∂the␈α∂unit␈α∂circle.
␈ββ␈↓ αg␈ε¬1␈↓ β→␈ε¬2
␈ββ%␈↓ ∀␈ε¬2
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαTransforming␈αto␈αpolar␈αcoordinates␈↓ ¬p␈ελV␈↓ ε≤␈εα=␈ελ␈αR␈↓ εj␈εαcos␈↓ π ␈εαα,␈↓ πR␈ελV␈↓ π}␈εα=␈ελ␈α
R␈↓ λK␈εαsin␈↓ λ⎇␈εαα,␈αw␈α␈e␈α|nd␈↓ 
-␈ελS␈↓ 
M␈εα=␈↓ 
{␈ελR␈↓ "␈εα,
␈ββ7␈↓ ε∧␈ε¬1␈↓ πf␈ε¬2
␈ββO␈↓ αS␈∧βOαSαw␈↓ ¬D␈∧βO¬Dαw
␈ββP␈↓ α/␈ε⊗p␈↓ ¬ ␈ε⊗p
␈ββU␈↓ ↓H␈ελX␈↓ ↓⎇␈εα=␈↓ αS␈ε⊗␈␈εα2␈↓ β∂␈εαln␈↓ β3␈ελS␈↓ βO␈εαcos␈↓ ∧¬␈εαα,␈↓ ∧:␈ελX␈↓ ∧o␈εα=␈↓ ¬D␈ε⊗␈␈εα2␈↓ ε␈εαln␈↓ ε$␈ελS␈↓ εA␈εαsin␈↓ εs␈εαα.␈α∩Using␈α∂also␈α∞the␈α∞polar␈α∞coordinates
␈ββb␈↓ ↓a␈ε¬1␈↓ ∧S␈ε¬2
␈ββz␈↓ 	⎇␈∧βz	⎇αw
␈ββ{␈↓ αJ␈ε→0␈↓ β)␈ε→0␈↓ ∧M␈ε→0␈↓ ¬(␈ε→0␈↓ π9␈ε→0␈↓ 	⊂␈ε→0␈↓ 	Y␈ε⊗p
␈β∧␈↓ ↓H␈ελX␈↓ ↓}␈εα=␈↓ α1␈ελR␈↓ αW␈εαcos␈↓ β
␈εαα␈↓ β1␈εα,␈↓ βJ␈ελX␈↓ ∧↓␈εα=␈↓ ∧4␈ελR␈↓ ∧Z␈εαsin␈↓ ¬␈εαα␈↓ ¬/␈εα,␈α⊂w␈α␈e␈α∂|nd␈α∂that␈↓ π≥␈εαα␈↓ πP␈εα=␈α∂α␈α∂and␈↓ λw␈ελR␈↓ 	&␈εα=␈↓ 	⎇␈ε⊗␈␈εα2␈↓ 
9␈εαln␈↓ 
]␈ελS␈↓ 
s␈εα.␈α∃It
␈β∧
␈↓ ↓a␈ε¬1␈↓ βc␈ε¬2
␈β∧&␈↓ β/␈ε→0␈↓ ∧)␈ε→0
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαis␈α∞clear␈α∞that␈↓ β⊗␈ελR␈↓ βD␈εαand␈↓ ∧
␈εαα␈↓ ∧>␈εαare␈α∞independen␈α␈t,␈α∂since␈ελ␈α∞R␈εα␈α∞and␈α∞α␈α∞are␈α∞independen␈α␈t␈α∞inside
␈β∧Q␈↓ ∧K␈ε→0
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαthe␈α⊂unit␈α⊂circle.␈α~Also,␈↓ ∧/␈εαα␈↓ ∧c␈εαis␈α⊂uniformly␈α⊃distributed␈α⊂bet␈α␈w␈α␈een␈α⊂0␈α⊃and␈α⊂2␈↓ 	␈␈ελ→␈↓ 
∪␈εα;␈α∪and␈α⊂the
␈β∧⎇␈↓ βe␈ε→0␈↓ λ]␈ε¬2
␈β¬α␈↓ ↓H␈εαprobability␈α
that␈↓ βL␈ελR␈↓ βv␈ε⊗∀␈↓ ∧$␈ελr␈↓ ∧=␈εαis␈α
the␈α
probability␈α
that␈ε⊗␈α
␈␈εα2␈↓ π[␈εαln␈↓ π␈␈ελS␈↓ λ ␈ε⊗∀␈↓ λN␈ελr␈↓ λl␈εα,␈α
i.e.,␈α
the␈α
probability
␈β¬$␈↓ β≡␈επ2␈↓ ε≠␈επ2
␈β¬(␈↓ αt␈ε→␈␈↓ β⊃␈εr␈↓ β)␈ε¬/␈α↓2␈↓ ¬q␈ε→␈␈↓ ε∞␈εr␈↓ ε&␈ε¬/␈α↓2␈↓ λ≠␈ε¬2
␈β¬-␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α⊗␈ελS␈↓ α7␈ε⊗∃␈↓ αf␈ελe␈↓ βF␈εα.␈α
This␈α
equals␈α1␈ε⊗␈α	␈␈↓ ¬c␈ελe␈↓ εC␈εα,␈α
since␈↓ π2␈ελS␈↓ πS␈εα=␈↓ λα␈ελR␈↓ λ6␈εαis␈αuniformly␈αdistributed
␈β¬S␈↓ π∞␈ε→0
␈β¬X␈↓ ↓H␈εαbet␈α␈w␈α␈een␈α
zero␈α
and␈α
one.␈αThe␈α
probability␈α
that␈↓ εu␈ελR␈↓ π ␈εαlies␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈↓ λd␈ελr␈↓ λ}␈εαand␈↓ 	B␈ελr␈↓ 	W␈εα+␈↓ 
␈ελd␈↓ 
∃␈ελr␈↓ 
.␈εαis␈α
there-
␈β¬{␈↓ ¬"␈επ2␈↓ π1␈επ2
␈β¬}␈↓ ∧x␈ε→␈␈↓ ¬∃␈εr␈↓ ¬-␈ε¬/␈α↓2␈↓ ππ␈ε→␈␈↓ π$␈εr␈↓ π=␈ε¬/2
␈βεβ␈↓ ↓H␈εαfore␈αthe␈α
derivativ␈α␈e␈αof␈α
1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ∧j␈ελe␈↓ ¬J␈εα,␈α
namely,␈↓ εi␈ελr␈↓ εy␈ελe␈↓ π`␈ελd␈↓ πt␈ελr␈↓ λβ␈εα.␈α∞Similarly,␈α
the␈αprobability
␈βε)␈↓ α0␈ε→0
␈βε.␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α∀␈εαα␈↓ αA␈εαlies␈α	bet␈α␈w␈α␈een␈↓ ∧∧␈ελ∩␈↓ ∧≡␈εαand␈↓ ∧b␈ελ∩␈↓ ∧v␈εα+␈↓ ¬∨␈ελd␈↓ ¬3␈ελ∩␈↓ ¬M␈εαis␈α
(1/2␈↓ ε1␈ελ→␈↓ εE␈εα)␈↓ εW␈ελd␈↓ εk␈ελ∩␈↓ εz␈εα.␈αThe␈α	join␈α␈t␈α
probability␈α
that␈↓ 
.␈ελX␈↓ 
←␈ε⊗∀␈↓ 
␈ελx
␈βε<␈↓ 
G␈ε¬1␈↓ ≡␈ε¬1
␈βεZ␈↓ ↓H␈εαand␈αthat␈↓ α\␈ελX␈↓ β
␈ε⊗∀␈↓ β;␈ελx␈↓ βf␈εαno␈α␈w␈αcan␈αbe␈αcomputed,␈αit␈αis
␈βεg␈↓ αu␈ε¬2␈↓ βL␈ε¬2
␈βπ→␈↓ ↓u␈ε↓Z
␈βπ0␈↓ ∧{␈εα1
␈βπ=␈↓ ¬S␈επ2
␈βπ@␈↓ ¬)␈ε→␈␈↓ ¬F␈εr␈↓ ¬↑␈ε¬/␈α↓2
␈βπF␈↓ ¬≠␈ελe␈↓ ε↓␈ελr␈↓ ε↔␈ελd␈↓ ε+␈ελr␈↓ εA␈ελd␈↓ εU␈ελ∩
␈βπW␈↓ ∧q␈∧πW∧qα'
␈βπ←␈↓ ∧q␈εα2␈↓ ¬β␈ελ→
␈βπj␈↓ α	␈ε→f␈ε¬(␈↓ α!␈εr␈↓ α.␈ε¬,␈↓ α6␈ε∩␈↓ αC␈ε¬)␈ε→␈α∧j␈↓ α↑␈εr␈↓ αp␈ε¬cos␈↓ β≠␈ε∩␈↓ β(␈ε→∀␈↓ βE␈εx␈↓ β↑␈ε¬,␈↓ βk␈εr␈↓ β⎇␈ε¬sin␈↓ ∧%␈ε∩␈↓ ∧2␈ε→∀␈↓ ∧O␈εx␈↓ ∧h␈ε→g
␈βπs␈↓ βS␈επ1␈↓ ∧]␈επ2
␈βπu␈↓ ¬Y␈ε↓Z
␈βλ␈↓ ¬3␈εα1
␈βλ→␈↓ λ;␈επ2␈↓ λs␈επ2
␈βλ≤␈↓ λ∧␈ε→␈␈ε¬(␈↓ λ+␈εx␈↓ λF␈ε¬+␈↓ λc␈εy␈↓ λ}␈ε¬)/2
␈βλ"␈↓ ∧w␈εα=␈↓ πv␈ελe␈↓ 	+␈ελd␈↓ 	?␈ελx␈↓ 	X␈ελd␈↓ 	l␈ελy
␈βλ2␈↓ ¬)␈∧λ2¬)α'
␈βλ;␈↓ ¬)␈εα2␈↓ ¬;␈ελ→
␈βλF␈↓ ¬m␈ε→f␈ε¬(␈↓ ε¬␈εx␈↓ ε∃␈ε¬,␈↓ ε≥␈εy␈↓ ε-␈ε¬)␈ε→␈α∧j␈↓ εH␈εx␈↓ εX␈ε→∀␈↓ εu␈εx␈↓ π∞␈ε¬,␈↓ π≠␈εy␈↓ π,␈ε→∀␈↓ πH␈εx␈↓ πb␈ε→g
␈βλO␈↓ πβ␈επ1␈↓ πW␈επ2
␈βλ←␈↓ ε∪␈ε↓Z␈↓ λz␈ε↓Z
␈βλh␈↓ ε7␈εx␈↓ 	≡␈εx
␈βλl␈↓ ¬;␈ε↓r␈↓ ¬←␈∧λl¬←α/␈↓ λ"␈ε↓r␈↓ λF␈∧λlλFα/
␈βλp␈↓ εE␈επ1␈↓ 	,␈επ2
␈βλr␈↓ ¬%␈ε↓∩␈↓ πv␈ε↓∪␈↓ λ␈ε↓∩␈↓ 
←␈ε↓∪
␈βλv␈↓ ¬m␈εα1␈↓ λT␈εα1
␈β	β␈↓ π!␈επ2␈↓ 
	␈επ2
␈β	ε␈↓ εu␈ε→␈␈↓ π⊃␈εx␈↓ π,␈ε¬/␈α↓2␈↓ 	\␈ε→␈␈↓ 	y␈εy␈↓ 
∀␈ε¬/␈α↓2
␈β	␈↓ ∧w␈εα=␈↓ εf␈ελe␈↓ πO␈ελd␈↓ πc␈ελx␈↓ 	N␈ελe␈↓ 
7␈ελd␈↓ 
K␈ελy␈↓ 
u␈εα.
␈β	≥␈↓ ¬c␈∧	≥¬cα'␈↓ λJ␈∧	≥λJα'
␈β	%␈↓ ¬c␈εα2␈↓ ¬u␈ελ→␈↓ λJ␈εα2␈↓ λ\␈ελ→
␈β	0␈↓ ε'␈ε→␈1␈↓ 	∞␈ε→␈1
␈β	w␈↓ ↓H␈εαThis␈α	pro␈α␈v␈α␈es␈α	that␈↓ βO␈ελX␈↓ β␈␈εαand␈↓ ∧B␈ελX␈↓ ∧s␈εαare␈α	independen␈α␈t␈α	and␈α	normally␈α	distributed,␈α	as␈α	desired.
␈β
¬␈↓ βh␈ε¬1␈↓ ∧[␈ε¬2
␈β
;␈↓ ↓H␈εα(␈ελ2␈↓ ↓k␈εα)␈ε∂␈αλThe␈αλrectangle-w␈α␈edge-tail␈αλmethod␈εα,␈αλin␈α␈troduced␈αλby␈αλG.␈αλMarsaglia.␈α⊂In␈αλthis␈απmethod
␈β
f␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αuse␈αthe␈αdistribution
␈β&␈↓ ¬]␈ε↓Z
␈β.␈↓ ε↓␈εx
␈β3␈↓ ¬⊗␈ε↓r␈↓ ¬:␈∧3¬:α≥
␈β<␈↓ ¬?␈εα2
␈βI␈↓ εL␈επ2
␈βM␈↓ ε$␈ε→␈␈↓ εA␈εt␈↓ εW␈ε¬/2
␈βS␈↓ ∧~␈ελF␈↓ ∧4␈εα(␈↓ ∧@␈ελx␈↓ ∧R␈εα)␈α
=␈↓ ε⊗␈ελe␈↓ εz␈ελd␈↓ π∞␈ελt␈↓ π≠␈εα,␈↓ πs␈ελx␈↓ λ⊂␈ε⊗∃␈εα␈α
0,␈↓ 
p␈εα(12)
␈βc␈↓ ¬>␈∧c¬>α∃
␈βk␈↓ ¬>␈ελ→
␈βw␈↓ ¬q␈ε¬0
␈β:␈↓ ↓H␈εαso␈αλthat␈↓ α:␈ελF␈↓ αS␈εα(␈↓ α←␈ελx␈↓ αr␈εα)␈αλgiv␈α␈es␈α	the␈αλdistribution␈αλof␈αλthe␈ε∂␈α	absolute␈αλvalue␈εα␈αλof␈αλa␈αλnormal␈α	deviate.␈α
After
␈βe␈↓ ↓H␈ελX␈↓ ↓t␈εαhas␈α∂been␈α∞computed␈α∂according␈α∂to␈α∞this␈α∂distribution,␈α∂w␈α␈e␈α∂will␈α∞attach␈α∂a␈α∞random
␈β
⊂␈↓ ↓H␈εαsign␈αto␈αits␈αvalue,␈αand␈αthis␈αwill␈αmak␈α␈e␈αit␈αa␈αtrue␈αnormal␈αdeviate.
␈β
<␈↓ α␈εαThe␈α⊃rectangle-w␈α␈edge-tail␈α∩approach␈α⊃is␈α∩based␈α⊃on␈α∩sev␈α␈eral␈α⊃importan␈α␈t␈α⊃general
␈β
g␈↓ ↓H␈εαtechniques␈αthat␈αw␈α␈e␈αshall␈αexplore␈αas␈αw␈α␈e␈αdev␈α␈elop␈αthe␈αalgorithm.␈αThe␈α|rst␈αk␈α␈ey␈αidea
␈β∞∩␈↓ ↓H␈εαis␈αto␈αregard␈↓ βλ␈ελF␈↓ β!␈εα(␈↓ β-␈ελx␈↓ β@␈εα)␈αas␈αa␈ε∂␈αmixture␈εα␈αof␈αsev␈α␈eral␈αother␈αfunctions,␈αnamely␈αto␈αwrite
␈β∞j␈↓ βn␈ελF␈↓ ∧π␈εα(␈↓ ∧∪␈ελx␈↓ ∧&␈εα)␈α
=␈↓ ∧j␈ελp␈↓ ¬	␈ελF␈↓ ¬+␈εα(␈↓ ¬7␈ελx␈↓ ¬J␈εα)␈αλ+␈↓ ε
␈ελp␈↓ ε*␈ελF␈↓ εL␈εα(␈↓ εX␈ελx␈↓ εk␈εα)␈αλ+␈↓ π+␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π]␈εα+␈↓ λ	␈ελp␈↓ λ,␈ελF␈↓ λR␈εα(␈↓ λ↑␈ελx␈↓ λp␈εα),␈↓ 
p␈εα(13)
␈β∞w␈↓ ∧{␈ε¬1␈↓ ¬≥␈ε¬1␈↓ ε≠␈ε¬2␈↓ ε>␈ε¬2␈↓ λ~␈εn␈↓ λ@␈εn
␈β∂A␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α1␈ελF␈↓ αT␈εα,␈↓ αl␈ελF␈↓ β∂␈εα,␈↓ β'␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βW␈εα,␈↓ βo␈ελF␈↓ ∧#␈εαare␈α∞appropriate␈α∞distributions␈α
and␈↓ λ@␈ελp␈↓ λ`␈εα,␈↓ λx␈ελp␈↓ 	↔␈εα,␈↓ 	0␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	`␈εα,␈↓ 	x␈ελp␈↓ 
)␈εαare␈α
non-
␈β∂N␈↓ αE␈ε¬1␈↓ β␈ε¬2␈↓ ∧β␈εn␈↓ λQ␈ε¬1␈↓ 		␈ε¬2␈↓ 
	␈εn
␈β∂l␈↓ ↓H␈εαnegativ␈α␈e␈α∂probabilities␈α∂that␈α⊂sum␈α∂to␈α⊂1.␈α⊗If␈α∂w␈α␈e␈α⊂generate␈α∂a␈α∂random␈α⊂variable␈↓ 
W␈ελX␈↓ ∧␈εαby
␈β⊂↔␈↓ ↓H␈εαchoosing␈α∞distribution␈↓ ∧"␈ελF␈↓ ∧Q␈εαwith␈α∞probability␈↓ εb␈ελp␈↓ π␈εα,␈α∞it␈α∂is␈α∞easy␈α∞to␈α∞see␈α∞that␈↓ 	q␈ελX␈↓ 
≥␈εαwill␈α∞hav␈α␈e
␈β⊂%␈↓ ∧6␈εj␈↓ εs␈εj
␈β⊂C␈↓ ↓H␈εαdistribution␈↓ β␈ελF␈↓ β0␈εαo␈α␈v␈α␈erall.␈αSome␈αof␈αthe␈αdistributions␈↓ πF␈ελF␈↓ πh␈εα(␈↓ πt␈ελx␈↓ λε␈εα)␈αmay␈αbe␈αrather␈αdi}cult␈αto
␈β⊂P␈↓ πZ␈εj
␈β⊂n␈↓ ↓H␈εαhandle,␈αev␈α␈en␈αharder␈αthan␈↓ ∧\␈ελF␈↓ ¬↓␈εαitself,␈αbut␈αw␈α␈e␈αcan␈αusually␈αarrange␈αthings␈αso␈αthat␈αthe
␈β⊃→␈↓ ↓H␈εαprobability␈↓ ββ␈ελp␈↓ β.␈εαis␈α∞v␈α␈ery␈α
small␈α
in␈α
this␈α
case.␈α⊂Most␈α
of␈α∞the␈α
distributions␈↓ 	j␈ελF␈↓ 
␈εα(␈↓ 
↔␈ελx␈↓ 
*␈εα)␈α
will␈α
be
␈β⊃&␈↓ β∀␈εj␈↓ 	}␈εj
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.4.1␈ε∞␈↓ π+NUMERICAL␈α	DIST␈α␈RIBUT␈α␈IONS␈↓ 
v␈εα117
␈βπ∧␈↓ ↓H␈ε∪Fig.␈α9.␈εβ␈α≤Th␈α␈e␈αde␈α␈nsity␈αfu␈α␈nction␈αdivid␈α␈ed␈αin␈α␈to␈α3␈α␈1␈αpa␈α␈rts.␈α∂The␈αa␈α␈rea␈αof␈αea␈α␈ch␈αp␈α␈art␈αrep␈α␈resen␈α␈t␈α␈s
␈βπ,␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αav␈α}erag␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αof␈αtimes␈αa␈αra␈α␈nd␈α␈om␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αwith␈αth␈α␈at␈αde␈α␈nsity␈αis␈αto␈αb␈α␈e␈αcom␈α␈pu␈α␈ted.
␈βλ-␈↓ ↓H␈εαquite␈αλeasy␈α	to␈α	accommodate,␈α	since␈α	they␈αλwill␈α	be␈α	trivial␈αλmodi|cations␈α	of␈α	the␈αλuniform
␈βλX␈↓ ↓H␈εαdistribution.␈α∂The␈α
resulting␈α
method␈α
yields␈α
an␈α
extremely␈α
e}cien␈α␈t␈α
program,␈α
since
␈β	∧␈↓ ↓H␈εαits␈ε∂␈αav␈α␈erage␈εα␈αrunning␈αtime␈αis␈αv␈α␈ery␈αsmall.
␈β	/␈↓ α␈εαIt␈αis␈αeasier␈αto␈αunderstand␈αthe␈αmethod␈αif␈αw␈α␈e␈αw␈α␈ork␈αwith␈αthe␈ε∂␈αderivativ␈α␈es␈εα␈αof␈αthe
␈β	[␈↓ ↓H␈εαdistributions␈αinstead␈αof␈αthe␈αdistributions␈αthemselv␈α␈es.␈αLet
␈β
+␈↓ πv␈ε→0
␈β
-␈↓ ¬P␈ε→0
␈β
3␈↓ ∧B␈ελf␈↓ ∧T␈εα(␈↓ ∧`␈ελx␈↓ ∧r␈εα)␈α
=␈↓ ¬6␈ελF␈↓ ¬W␈εα(␈↓ ¬c␈ελx␈↓ ¬v␈εα),␈↓ εZ␈ελf␈↓ εr␈εα(␈↓ ε}␈ελx␈↓ π⊃␈εα)␈α
=␈↓ πU␈ελF␈↓ π⎇␈εα(␈↓ λ	␈ελx␈↓ λ≤␈εα);
␈β
@␈↓ εe␈εj␈↓ πi␈εj
␈β␈↓ ↓H␈εαthese␈αare␈αcalled␈αthe␈ε∂␈α
density␈εα␈αfunctions␈αof␈αthe␈α
probability␈αdistributions.␈αEquation
␈β6␈↓ ↓H␈εα(13)␈αbecomes
␈βc␈↓ β␈␈ελf␈↓ ∧⊂␈εα(␈↓ ∧≤␈ελx␈↓ ∧/␈εα)␈α
=␈↓ ∧s␈ελp␈↓ ¬∪␈ελf␈↓ ¬,␈εα(␈↓ ¬8␈ελx␈↓ ¬K␈εα)␈αλ+␈↓ ε␈ελp␈↓ ε*␈ελf␈↓ εD␈εα(␈↓ εP␈ελx␈↓ εb␈εα)␈αλ+␈↓ π"␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πT␈εα+␈↓ λ␈ελp␈↓ λ#␈ελf␈↓ λ@␈εα(␈↓ λL␈ελx␈↓ λ←␈εα).␈↓ 
p␈εα(14)
␈βq␈↓ ¬∧␈ε¬1␈↓ ¬≡␈ε¬1␈↓ ε≤␈ε¬2␈↓ ε5␈ε¬2␈↓ λ⊃␈εn␈↓ λ.␈εn
␈β*␈↓ ↓H␈εαEach␈↓ α$␈ελf␈↓ α<␈εα(␈↓ αH␈ελx␈↓ α[␈εα)␈α∞is␈ε⊗␈α∞∃␈εα␈α∞0,␈α∂and␈α∞the␈α∞total␈α∞area␈α∂under␈α∞the␈α∞graph␈α∞of␈↓ λe␈ελf␈↓ λ}␈εα(␈↓ 	
␈ελx␈↓ 	≤␈εα)␈α∂is␈α∞1;␈α∂so␈α∞there␈α∞is
␈β7␈↓ α/␈εj␈↓ λp␈εj
␈βU␈↓ ↓H␈εαa␈α
con␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈α
graphical␈α
way␈α∞to␈α
display␈α
the␈α∞relation␈α
(14):␈α∞The␈α∞area␈α
under␈↓ 
K␈ελf␈↓ 
\␈εα(␈↓ 
h␈ελx␈↓ 
{␈εα)␈α
is
␈β
␈↓ ↓H␈εαdivided␈α∞in␈α␈to␈↓ β⊗␈ελn␈↓ β:␈εαparts,␈α⊂with␈α∞the␈α∂part␈α∂corresponding␈α∞to␈↓ λ!␈ελf␈↓ λ9␈εα(␈↓ λE␈ελx␈↓ λX␈εα)␈α∂having␈α∞area␈↓ 
<␈ελp␈↓ 
Z␈εα.␈α∀See
␈β

␈↓ λ,␈εj␈↓ 
M␈εj
␈β
+␈↓ ↓H␈εαFig.␈α⊂9,␈α⊃which␈α⊂illustrates␈α⊂the␈α⊂situation␈α⊂in␈α⊂the␈α⊂case␈α⊂of␈α⊂in␈α␈terest␈α∂to␈α⊂us␈α⊂here,␈α⊃with
␈β
5␈↓ βP␈ε↓p
␈β
N␈↓ ∧l␈επ2
␈β
P␈↓ βt␈∧
Pβtα9
␈β
Q␈↓ α]␈ε→0␈↓ ∧@␈ε→␈␈↓ ∧]␈εx␈↓ ∧x␈ε¬/2
␈β
V␈↓ ↓H␈ελf␈↓ ↓Y␈εα(␈↓ ↓e␈ελx␈↓ ↓x␈εα)␈α∞=␈↓ αD␈ελF␈↓ αe␈εα(␈↓ αq␈ελx␈↓ ββ␈εα)␈α∂=␈↓ βt␈εα2/␈↓ ∧_␈ελ→␈↓ ∧2␈ελe␈↓ ¬∃␈εα;␈α∂the␈α∂area␈α∞under␈α∂this␈α∞curv␈α␈e␈α∂has␈α∞been␈α∂divided␈α∞in␈α␈to
␈β∞α␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓l␈εα=␈α∂31␈α∂parts.␈α∀There␈α∂are␈α∂15␈α∂rectangles,␈α⊂which␈α∞represen␈α␈t␈↓ λ[␈ελp␈↓ λ{␈ελf␈↓ 	∀␈εα(␈↓ 	 ␈ελx␈↓ 	3␈εα),␈↓ 	X␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
λ␈εα,␈↓ 
"␈ελp␈↓ 
P␈ελf␈↓ 
x␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ⊗␈εα);
␈β∞∂␈↓ λl␈ε¬1␈↓ 	ε␈ε¬1␈↓ 
3␈ε¬15␈↓ 
[␈ε¬15
␈β∞-␈↓ ↓H␈εαthere␈α∞are␈α∞15␈α∞w␈α␈edge-shaped␈α∞pieces,␈α∂which␈α∞represen␈α␈t␈↓ πw␈ελp␈↓ λ%␈ελf␈↓ λM␈εα(␈↓ λY␈ελx␈↓ λl␈εα),␈↓ 	⊂␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	@␈εα,␈↓ 	Y␈ελp␈↓ 
π␈ελf␈↓ 
.␈εα(␈↓ 
:␈ελx␈↓ 
M␈εα);␈α∂and
␈β∞:␈↓ λλ␈ε¬1␈α↓6␈↓ λ0␈ε¬16␈↓ 	j␈ε¬30␈↓ 
∩␈ε¬30
␈β∞X␈↓ ↓H␈εαthe␈απremaining␈απpart␈↓ βm␈ελp␈↓ ∧≠␈ελf␈↓ ∧C␈εα(␈↓ ∧O␈ελx␈↓ ∧a␈εα)␈απis␈αλthe␈απ\tail,"␈αλnamely␈απthe␈απen␈α␈tire␈απgraph␈απof␈↓ 	O␈ελf␈↓ 	a␈εα(␈↓ 	m␈ελx␈↓ 	␈␈εα)␈αλfor␈↓ 
F␈ελx␈↓ 
b␈ε⊗∃␈εα␈α
3.
␈β∞e␈↓ β}␈ε¬31␈↓ ∧&␈ε¬31
␈β∂∧␈↓ α␈εαThe␈α
rectangular␈αparts␈↓ ∧r␈ελf␈↓ ¬␈εα(␈↓ ¬↔␈ελx␈↓ ¬*␈εα),␈↓ ¬M␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬⎇␈εα,␈↓ ε∪␈ελf␈↓ ε;␈εα(␈↓ εG␈ελx␈↓ εZ␈εα)␈α
represen␈α␈t␈ε∂␈αuniform␈α
distributions.␈εα␈α
For
␈β∂⊃␈↓ ∧⎇␈ε¬1␈↓ ε≡␈ε¬1␈α↓5
␈β∂,␈↓ 
W␈ε¬2
␈β∂/␈↓ ↓H␈εαexample,␈↓ α]␈ελf␈↓ αw␈εα(␈↓ ββ␈ελx␈↓ β∃␈εα)␈α
represen␈α␈ts␈α	a␈α	random␈α	variable␈α	uniformly␈α	distributed␈α	bet␈α␈w␈α␈een␈↓ 
r␈εαand
␈β∂<␈↓ αh␈ε¬3
␈β∂?␈↓ 
W␈∧∂?
Wα∂
␈β∂B␈↓ 
W␈ε¬5
␈β∂W␈↓ ↓L␈ε¬3
␈β∂Z␈↓ ↓↑␈εα.␈αThe␈αaltitude␈αof␈↓ βn␈ελp␈↓ ∧␈ελf␈↓ ∧$␈εα(␈↓ ∧0␈ελx␈↓ ∧C␈εα)␈αis␈↓ ∧␈␈ελf␈↓ ¬⊃␈εα(␈↓ ¬≥␈ελj␈↓ ¬-␈εα/5),␈αhence␈αthe␈αarea␈αof␈αthe␈↓ λK␈ελj␈↓ λ[␈εαth␈αrectangle␈αis
␈β∂h␈↓ β␈␈εj␈↓ ∧↔␈εj
␈β∂j␈↓ ↓L␈∧∂j↓Lα∂
␈β∂m␈↓ ↓L␈ε¬5
␈β⊂3␈↓ ¬'␈ε↓r␈↓ ¬K␈∧⊂3¬KαA
␈β⊂<␈↓ ¬b␈εα2
␈β⊂I␈↓ εI␈επ2
␈β⊂M␈↓ ε∨␈ε→␈␈↓ ε<␈εj␈↓ εT␈ε¬/␈α↓50
␈β⊂P␈↓ β␈␈ε¬1
␈β⊂S␈↓ β$␈ελp␈↓ βM␈εα=␈↓ ∧⊃␈ελf␈↓ ∧"␈εα(␈↓ ∧.␈ελj␈↓ ∧?␈εα/5)␈α
=␈↓ ε⊃␈ελe␈↓ ε␈␈εα,␈↓ πW␈εαfor␈↓ λ∂␈εα1␈ε⊗␈α
∀␈↓ λY␈ελj␈↓ λt␈ε⊗∀␈εα␈α
15.␈↓ 
p␈εα(15)
␈β⊂`␈↓ β5␈εj
␈β⊂c␈↓ β␈␈∧⊂cβ␈α∂␈↓ ¬O␈∧⊂c¬Oα9
␈β⊂f␈↓ β␈␈ε¬5
␈β⊂k␈↓ ¬O␈εα25␈↓ ¬s␈ελ→
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα118␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.4.1
␈β¬j␈↓ ↓H␈ε∪Fig.␈α
10.␈εβ␈α↔F␈α↓re␈α␈qu␈α␈ency␈α	f␈α↓u␈α␈nc␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α
for␈α
which␈α
Algo␈α␈ri␈α↓t␈α␈hm␈α
L␈αm␈α␈ay␈α
be␈α
u␈α␈sed␈α
to␈α
ge␈α␈nera␈α␈te␈α
rand␈α␈om
␈βε∩␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈ers.
␈βε|␈↓ ↓H␈εαIn␈α⊂order␈α⊂to␈α⊂generate␈α⊃such␈α⊂rectangular␈α⊂portions␈α⊂of␈α⊃the␈α⊂distribution,␈α⊃w␈α␈e␈α⊂simply
␈βπ'␈↓ ↓H␈εαcompute
␈βπO␈↓ ε%␈ε¬1
␈βπR␈↓ ¬K␈ελX␈↓ ¬s␈εα=␈↓ ε7␈ελU␈↓ ε]␈εα+␈↓ π	␈ελS␈↓ π∨␈εα,␈↓ 
p␈εα(16)
␈βπc␈↓ ε%␈∧πcε%α∂
␈βπe␈↓ ε%␈ε¬5
␈βλ⊃␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α1␈ελU␈↓ α\␈εαis␈α
uniform␈α
and␈↓ ∧Q␈ελS␈↓ ∧u␈εαtak␈α␈es␈α
the␈α
value␈α
(␈↓ ε␈␈ελj␈↓ π_␈ε⊗␈␈εα␈α	1)/5␈α
with␈α
probability␈↓ 
#␈ελp␈↓ 
A␈εα.␈α∂Since
␈βλ∨␈↓ 
4␈εj
␈βλ=␈↓ ↓H␈ελp␈↓ ↓p␈εα+␈↓ α≥␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ αP␈εα+␈↓ α⎇␈ελp␈↓ β8␈εα=␈α.9183,␈α∞w␈α␈e␈α∞can␈α
use␈α∞simple␈α∞uniform␈α
deviates␈α∞lik␈α␈e␈α
this␈α∞about␈α
92
␈βλJ␈↓ ↓Y␈ε¬1␈↓ β∞␈ε¬1␈α↓5
␈βλh␈↓ ↓H␈εαpercen␈α␈t␈αof␈αthe␈αtime.
␈β	∪␈↓ α␈εαIn␈αλthe␈α	remaining␈αλ8␈αλpercen␈α␈t,␈α	w␈α␈e␈αλwill␈α	usually␈αλhav␈α␈e␈αλto␈αλgenerate␈α	one␈αλof␈αλthe␈αλw␈α␈edge-
␈β	>␈↓ ↓H␈εαshaped␈αdistributions␈↓ ∧∪␈ελF␈↓ ∧D␈εα,␈↓ ∧[␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬␈εα,␈↓ ¬"␈ελF␈↓ ¬S␈εα.␈α∞Typical␈α
examples␈α
of␈α
what␈αw␈α␈e␈α
need␈α
to␈α
do␈αare
␈β	L␈↓ ∧'␈ε¬1␈α↓6␈↓ ¬6␈ε¬30
␈β	i␈↓ ↓H␈εαsho␈α␈wn␈αin␈αFig.␈α10.␈αWhen␈↓ ∧G␈ελx␈↓ ∧c␈εα<␈α
1,␈αthe␈αcurv␈α␈ed␈αpart␈αis␈αconcav␈α␈e␈αdo␈α␈wn␈α␈ward,␈αand␈αwhen
␈β
∃␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓d␈εα>␈α
1␈αit␈αis␈αconcav␈α␈e␈αupward,␈αbut␈αin␈αeach␈αcase␈αthe␈αcurv␈α␈ed␈αpart␈αis␈αreasonably␈αclose
␈β
@␈↓ ↓H␈εαto␈αa␈αstraigh␈α␈t␈αline,␈αand␈αit␈αcan␈αbe␈αenclosed␈αin␈αt␈α␈w␈α␈o␈αparallel␈αlines␈αas␈αsho␈α␈wn.
␈β
k␈↓ α␈εαTo␈α⊃handle␈α⊃these␈α⊃w␈α␈edge-shaped␈α⊂distributions,␈α∩w␈α␈e␈α⊃will␈α⊃rely␈α⊃on␈α⊃y␈α␈et␈α⊂another
␈β⊗␈↓ ↓H␈εαgeneral␈α⊂technique,␈α∩v␈α␈on␈α⊂Neumann's␈α⊃so-called␈ε∂␈α⊂rejection␈α⊃method␈εα␈α⊂for␈α⊃obtaining␈α⊂a
␈βA␈↓ ↓H␈εαcomplicated␈α⊃density␈α⊃from␈α⊃another␈α∩one␈α⊃that␈α⊃\encloses"␈α⊃it.␈α≤The␈α⊃polar␈α⊃method
␈βm␈↓ ↓H␈εαdescribed␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αis␈αa␈αsimple␈αexample␈αof␈αsuch␈αan␈αapproach:␈αSteps␈αP1↑P3␈αobtain␈αa
␈β_␈↓ ↓H␈εαrandom␈α
poin␈α␈t␈α
inside␈α
the␈α
unit␈αcircle␈α
by␈α
|rst␈α
generating␈α
a␈αrandom␈α
poin␈α␈t␈α
in␈α
a␈α
larger
␈βC␈↓ ↓H␈εαsquare,␈αrejecting␈αit␈αand␈αstarting␈αo␈α␈v␈α␈er␈αagain␈αif␈αthe␈αpoin␈α␈t␈αwas␈αoutside␈αthe␈αcircle.
␈βn␈↓ α␈εαThe␈α
general␈α	rejection␈α	method␈α
is␈α	ev␈α␈en␈α
more␈α	po␈α␈w␈α␈erful␈α
than␈α	this.␈αTo␈α
generate␈α	a
␈β
→␈↓ ↓H␈εαrandom␈αvariable␈↓ βT␈ελX␈↓ β⎇␈εαwith␈αdensity␈↓ ¬L␈ελf␈↓ ¬]␈εα,␈αlet␈↓ ε%␈ελg␈↓ εB␈εαbe␈αanother␈αprobability␈αdensity␈αfunction
␈β
E␈↓ ↓H␈εαsuch␈αthat
␈β
p␈↓ ¬a␈ελf␈↓ ¬r␈εα(␈↓ ¬}␈ελt␈↓ ε␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ εO␈ελc␈↓ ε]␈ελg␈↓ εn␈εα(␈↓ εz␈ελt␈↓ ππ␈εα)␈↓ 
p␈εα(17)
␈β∞/␈↓ ↓H␈εαfor␈α∂all␈↓ α9␈ελt␈↓ αF␈εα,␈α⊂where␈↓ βL␈ελc␈↓ βj␈εαis␈α∂a␈α⊂constan␈α␈t.␈α⊗No␈α␈w␈α⊂generate␈↓ πC␈ελX␈↓ πp␈εαaccording␈α⊂to␈α∂density␈↓ 
G␈ελg␈↓ 
X␈εα,␈α⊂and
␈β∞Z␈↓ ↓H␈εαalso␈α
generate␈α
an␈α∞independen␈α␈t␈α
uniform␈α∞deviate␈↓ π+␈ελU␈↓ πI␈εα.␈α⊂If␈↓ λ	␈ελU␈↓ λ3␈ε⊗∃␈↓ λc␈ελf␈↓ λt␈εα(␈↓ 	␈ελX␈↓ 	≡␈εα)/␈↓ 	<␈ελc␈↓ 	J␈ελg␈↓ 	[␈εα(␈↓ 	g␈ελX␈↓ 
¬␈εα),␈α∞reject␈↓ ∞␈ελX
␈β∂¬␈↓ ↓H␈εαand␈α∞start␈α∞again␈α∂with␈α∞another␈↓ ¬&␈ελX␈↓ ¬R␈εαand␈↓ ε~␈ελU␈↓ ε8␈εα.␈α∪When␈α∂the␈α∞condition␈↓ 	 ␈ελU␈↓ 	L␈εα<␈↓ 	}␈ελf␈↓ 
∂␈εα(␈↓ 
≠␈ελX␈↓ 
9␈εα)/␈↓ 
W␈ελc␈↓ 
e␈ελg␈↓ 
v␈εα(␈↓ α␈ελX␈↓  ␈εα)
␈β∂0␈↓ ↓H␈εα|nally␈αoccurs,␈αthe␈αresulting␈↓ ∧{␈ελX␈↓ ¬$␈εαwill␈αhav␈α␈e␈αdensity␈↓ π8␈ελf␈↓ πT␈εαas␈αdesired.␈α⊗[␈ε∂Proof:␈↓ 
↓␈ελX␈↓ 
)␈ε⊗∀␈↓ 
W␈ελx␈↓ 
t␈εαwill
␈β∂<␈↓ ¬O␈ε↓␈␈↓ π←␈ε↓↓
␈β∂@␈↓ ¬'␈ε↓R
␈β∂N␈↓ ¬?␈εx
␈β∂\␈↓ ↓H␈εαoccur␈αwith␈αprobability␈↓ ∧2␈ελp␈↓ ∧D␈εα(␈↓ ∧P␈ελx␈↓ ∧c␈εα)␈α
=␈↓ ¬]␈ελg␈↓ ¬n␈εα(␈↓ ¬z␈ελt␈↓ επ␈εα)␈↓ ε→␈ελd␈↓ ε-␈ελt␈↓ εA␈ε⊗↓␈↓ εS␈ελf␈↓ εd␈εα(␈↓ εp␈ελt␈↓ ε⎇␈εα)/␈↓ π≠␈ελc␈↓ π)␈ελg␈↓ π:␈εα(␈↓ πF␈ελt␈↓ πS␈εα)␈↓ πt␈εα+␈↓ λ ␈ελq␈↓ λ0␈ελp␈↓ λB␈εα(␈↓ λN␈ελx␈↓ λa␈εα),␈αwhere␈αthe␈αquan␈α␈tity
␈β∂n␈↓ ¬8␈ε¬0
␈β∂s␈↓ α6␈ε↓␈␈↓ ¬&␈ε↓↓
␈β∂w␈↓ α⊂␈ε↓R
␈β⊂¬␈↓ α(␈ε¬1
␈β⊂∪␈↓ ↓H␈ελq␈↓ ↓b␈εα=␈↓ αD␈ελg␈↓ αU␈εα(␈↓ αa␈ελt␈↓ αn␈εα)␈↓ β␈ελd␈↓ β∀␈ελt␈↓ β*␈ε⊗↓␈εα␈αλ(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ∧∞␈ελf␈↓ ∧∨␈εα(␈↓ ∧+␈ελt␈↓ ∧8␈εα)/␈↓ ∧V␈ελc␈↓ ∧d␈ελg␈↓ ∧u␈εα(␈↓ ¬↓␈ελt␈↓ ¬∞␈εα))␈↓ ¬>␈εα=␈α
1␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ1/␈↓ εV␈ελc␈↓ εp␈εαis␈αthe␈αprobability␈αof␈αrejection;␈αhence
␈β⊂&␈↓ α!␈ε¬0
␈β⊂(␈↓ α=␈ε↓R
␈β⊂6␈↓ αU␈εx
␈β⊂D␈↓ ↓H␈ελp␈↓ ↓Z␈εα(␈↓ ↓f␈ελx␈↓ ↓y␈εα)␈α
=␈↓ αk␈ελf␈↓ α|␈εα(␈↓ βλ␈ελt␈↓ β∃␈εα)␈↓ β'␈ελd␈↓ β;␈ελt␈↓ βH␈εα.]
␈β⊂W␈↓ αN␈ε¬0
␈β⊂o␈↓ α␈εαThe␈αrejection␈αtechnique␈αis␈αmost␈αe}cien␈α␈t␈αwhen␈↓ πk␈ελc␈↓ λ¬␈εαis␈αsmall,␈αsince␈αthere␈αwill␈αbe
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ελc␈↓ ↓a␈εαiterations␈αon␈αthe␈αav␈α␈erage␈αbefore␈αa␈αvalue␈αis␈αaccepted.␈α_(See␈αex␈α␈ercise␈α6.)␈α↔In␈αsome
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.4.1␈ε∞␈↓ π+NUMERICAL␈α	DIST␈α␈RIBUT␈α␈IONS␈↓ 
v␈εα119
␈β¬j␈↓ βS␈ε∪Fig.␈α11.␈εβ␈α→Region␈α
of␈α\a␈α␈ccep␈α␈tan␈α␈ce"␈αin␈αAlg␈α␈orithm␈αL.
␈βεV␈↓ ↓H␈εαcases␈↓ α!␈ελf␈↓ α2␈εα(␈↓ α>␈ελx␈↓ αQ␈εα)/␈↓ αo␈ελc␈↓ α⎇␈ελg␈↓ β∞␈εα(␈↓ β~␈ελx␈↓ β-␈εα)␈αis␈αalways␈α0␈αor␈α1;␈αthen␈↓ ε≥␈ελU␈↓ εF␈εαneed␈αnot␈αbe␈αgenerated.␈αIn␈αother␈αcases␈αif
␈βπ↓␈↓ ↓H␈ελf␈↓ ↓Y␈εα(␈↓ ↓e␈ελx␈↓ ↓x␈εα)/␈↓ α⊗␈ελc␈↓ α$␈ελg␈↓ α5␈εα(␈↓ αA␈ελx␈↓ αT␈εα)␈αis␈αhard␈αto␈αcompute,␈αw␈α␈e␈αmay␈αkno␈α␈w␈αsome␈αbounding␈αfunctions
␈βπH␈↓ ∧|␈ελr␈↓ ¬␈εα(␈↓ ¬_␈ελx␈↓ ¬*␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ ¬n␈ελf␈↓ ε␈εα(␈↓ ε␈ελx␈↓ ε≡␈εα)/␈↓ ε<␈ελc␈↓ εK␈ελg␈↓ ε\␈εα(␈↓ εh␈ελx␈↓ εz␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ π>␈ελs␈↓ πM␈εα(␈↓ πY␈ελx␈↓ πl␈εα)␈↓ 
p␈εα(18)
␈βλ∂␈↓ ↓H␈εαthat␈αare␈αm␈α␈uch␈αsimpler,␈αand␈αthe␈αexact␈αvalue␈αof␈↓ π'␈ελf␈↓ π8␈εα(␈↓ πD␈ελx␈↓ πW␈εα)/␈↓ πu␈ελc␈↓ λβ␈ελg␈↓ λ∀␈εα(␈↓ λ ␈ελx␈↓ λ3␈εα)␈αneed␈αnot␈αbe␈αcalculated
␈βλ;␈↓ ↓H␈εαunless␈↓ α0␈ελr␈↓ α@␈εα(␈↓ αL␈ελx␈↓ α←␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ β#␈ελU␈↓ βJ␈εα<␈↓ βx␈ελs␈↓ ∧π␈εα(␈↓ ∧∪␈ελx␈↓ ∧&␈εα).␈αThe␈α
follo␈α␈wing␈αalgorithm␈α
solv␈α␈es␈αthe␈α
\w␈α␈edge"␈αproblem␈α
by
␈βλf␈↓ ↓H␈εαdev␈α␈eloping␈αthe␈αrejection␈αmethod␈αstill␈αfurther.
␈β	 ␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈α	L␈εα␈α
(␈ε∂Nearly␈α
linear␈α
densities␈↓ ¬{␈εα)␈ε∩.␈εα␈α∀This␈α
algorithm␈α
may␈α
be␈α
used␈α
to␈α
generate␈α	a
␈β	K␈↓ ↓H␈εαrandom␈α
variable␈↓ βR␈ελX␈↓ βz␈εαfor␈αan␈α␈y␈α
distribution␈α
whose␈α
density␈↓ λ≠␈ελf␈↓ λ,␈εα(␈↓ λ8␈ελx␈↓ λK␈εα)␈α
satis|es␈α
the␈α
follo␈α␈wing
␈β	v␈↓ ↓H␈εαconditions␈α(cf.␈αFig.␈α10):
␈β
:␈↓ ∧
␈ελf␈↓ ∧≠␈εα(␈↓ ∧'␈ελx␈↓ ∧:␈εα)␈↓ ∧P␈εα=␈α
0,␈↓ ε0␈εαfor␈↓ εh␈ελx␈↓ π∧␈εα<␈↓ π2␈ελs␈↓ πM␈εαand␈αfor␈↓ λK␈ελx␈↓ λh␈εα>␈↓ 	⊗␈ελs␈↓ 	-␈εα+␈↓ 	Y␈ελh␈↓ 	k␈εα;
␈β
S␈↓ 
p␈εα(19)
␈β
l␈↓ ↓l␈ελa␈↓ αε␈ε⊗␈␈↓ α2␈ελb␈↓ α@␈εα(␈↓ αL␈ελx␈↓ αg␈ε⊗␈␈↓ β∪␈ελs␈↓ β"␈εα)/␈↓ β@␈ελh␈↓ β\␈ε⊗∀␈↓ ∧
␈ελf␈↓ ∧≠␈εα(␈↓ ∧'␈ελx␈↓ ∧:␈εα)␈↓ ∧P␈ε⊗∀␈↓ ∧}␈ελb␈↓ ¬∀␈ε⊗␈␈↓ ¬@␈ελb␈↓ ¬N␈εα(␈↓ ¬Z␈ελx␈↓ ¬u␈ε⊗␈␈↓ ε!␈ελs␈↓ ε0␈εα)/␈↓ εN␈ελh␈↓ ε`␈εα,␈↓ π8␈εαfor␈↓ πp␈ελs␈↓ λ	␈ε⊗∀␈↓ λ7␈ελx␈↓ λT␈ε⊗∀␈↓ 	α␈ελs␈↓ 	→␈εα+␈↓ 	E␈ελh␈↓ 	W␈εα.
␈β7␈↓ ↓L␈ε∩L1.␈↓ α␈εα[Get␈↓ α[␈ελU␈↓ βα␈ε⊗∀␈↓ β0␈ελV␈↓ βJ␈εα.]␈α⊗Generate␈α
t␈α␈w␈α␈o␈αindependen␈α␈t␈α
random␈αvariables␈↓ 	1␈ελU␈↓ 	O␈εα,␈↓ 	d␈ελV␈↓ 	}␈εα,␈α
uniformly
␈βc␈↓ α␈εαdistributed␈αbet␈α␈w␈α␈een␈αzero␈αand␈αone.␈αIf␈↓ εP␈ελU␈↓ εx␈εα>␈↓ π&␈ελV␈↓ π@␈εα,␈αex␈α␈change␈↓ λq␈ελU␈↓ 	_␈ε⊗$␈↓ 	F␈ελV␈↓ 	`␈εα.
␈β∃␈↓ ↓L␈ε∩L2.␈↓ α␈εα[Easy␈αcase?]␈α→If␈↓ ∧β␈ελV␈↓ ∧'␈ε⊗∀␈↓ ∧U␈ελa␈↓ ∧g␈εα/␈↓ ∧y␈ελb␈↓ ¬π␈εα,␈αgo␈αto␈αL4.
␈βH␈↓ ↓L␈ε∩L3.␈↓ α␈εα[Try␈α
again?]␈α∃If␈↓ ∧␈ελV␈↓ ∧$␈εα>␈↓ ∧R␈ελU␈↓ ∧u␈εα+␈αε(1/␈↓ ¬O␈ελb␈↓ ¬]␈εα)␈↓ ¬i␈ελf␈↓ ¬z␈εα(␈↓ εε␈ελs␈↓ ε≠␈εα+␈↓ εE␈ελh␈↓ εW␈ελU␈↓ εt␈εα),␈αgo␈α
back␈αto␈α
step␈α
L1.␈α∃(If␈↓ 
∧␈ελa␈↓ 
∃␈εα/␈↓ 
'␈ελb␈↓ 
@␈εαis␈α
close
␈βs␈↓ α␈εαto␈α1,␈αthis␈αstep␈αof␈αthe␈αalgorithm␈αwill␈αnot␈αbe␈αnecessary␈αv␈α␈ery␈αoften.)
␈β
&␈↓ ↓L␈ε∩L4.␈↓ α␈εα[Compute␈↓ β4␈ελX␈↓ βR␈εα.]␈α→Set␈↓ ∧=␈ελX␈↓ ∧e␈ε⊗ ␈↓ ¬∪␈ελs␈↓ ¬*␈εα+␈↓ ¬V␈ελh␈↓ ¬h␈ελU␈↓ εε␈εα.
␈β
+␈↓ ε7␈∧
+ε7≠∂
␈β
`␈↓ α␈εαWhen␈α∂step␈α⊂L4␈α∂is␈α⊂reached,␈α⊂the␈α∂poin␈α␈t␈α⊂(␈↓ εh␈ελU␈↓ πε␈εα,␈↓ π⊗␈ελV␈↓ π/␈εα)␈α⊂is␈α∂a␈α⊂random␈α∂poin␈α␈t␈α⊂in␈α∂the␈α∂area
␈β∞␈↓ ↓H␈εαshaded␈αin␈αFig.␈α11,␈αnamely,␈α0␈ε⊗␈α∀␈↓ ¬A␈ελU␈↓ ¬i␈ε⊗∀␈↓ ε↔␈ελV␈↓ ε;␈ε⊗∀␈↓ εj␈ελU␈↓ π∂␈εα+␈αλ(1/␈↓ πk␈ελb␈↓ πz␈εα)␈↓ λε␈ελf␈↓ λ↔␈εα(␈↓ λ#␈ελs␈↓ λ:␈εα+␈↓ λf␈ελh␈↓ λx␈ελU␈↓ 	⊗␈εα).␈αConditions␈α(19)
␈β∞6␈↓ ↓H␈εαensure␈αthat
␈β∞S␈↓ ∧g␈ελa␈↓ ε␈εα1
␈β∞j␈↓ ¬π␈ε⊗∀␈↓ ¬5␈ελU␈↓ ¬[␈εα+␈↓ ε!␈ελf␈↓ ε2␈εα(␈↓ ε>␈ελs␈↓ εU␈εα+␈↓ π↓␈ελh␈↓ π∪␈ελU␈↓ π1␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈εα␈α
1.
␈β∞z␈↓ ∧g␈∧∞z∧gα∩␈↓ ε␈∧∞zεα∩
␈β∂α␈↓ ∧i␈ελb␈↓ ε
␈ελb
␈β∂1␈↓ ↓H␈εαNo␈α␈w␈αthe␈αprobability␈αthat␈↓ ∧↑␈ελX␈↓ ¬ε␈ε⊗∀␈↓ ¬4␈ελs␈↓ ¬J␈εα+␈↓ ¬u␈ελh␈↓ επ␈ελx␈↓ ε~␈εα,␈αfor␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ π0␈ελx␈↓ πM␈ε⊗∀␈εα␈α
1,␈αis␈αthe␈αratio␈αof␈αarea␈αto␈αthe
␈β∂\␈↓ ↓H␈εαleft␈αof␈αthe␈αv␈α␈ertical␈αline␈↓ ∧5␈ελU␈↓ ∧\␈εα=␈↓ ¬
␈ελx␈↓ ¬)␈εαin␈αFig.␈α11␈αto␈αthe␈αtotal␈αarea,␈αnamely,
␈β⊂∀␈↓ αz␈ε↓Z␈↓ ¬G␈ε↓Z␈↓ λ∃␈ε↓Z
␈β⊂≥␈↓ β≡␈εx␈↓ ¬k␈ε¬1␈↓ λ9␈εs␈↓ λF␈ε¬+␈↓ λb␈εh␈↓ λq␈εx
␈β⊂'␈↓ ¬≤␈ε↓≡
␈β⊂*␈↓ β8␈εα1␈↓ ε∧␈εα1
␈β⊂A␈↓ βN␈ελf␈↓ β←␈εα(␈↓ βk␈ελs␈↓ ∧α␈εα+␈↓ ∧.␈ελh␈↓ ∧@␈ελu␈↓ ∧V␈εα)␈↓ ∧h␈ελd␈↓ ∧|␈ελu␈↓ ε~␈ελf␈↓ ε+␈εα(␈↓ ε7␈ελs␈↓ εN␈εα+␈↓ εz␈ελh␈↓ π␈ελu␈↓ π!␈εα)␈↓ π3␈ελd␈↓ πH␈ελu␈↓ πg␈εα=␈↓ 	π␈ελf␈↓ 	_␈εα(␈↓ 	$␈ελv␈↓ 	7␈εα)␈↓ 	I␈ελd␈↓ 	]␈ελv␈↓ 	p␈εα;
␈β⊂Q␈↓ β8␈∧⊂Qβ8α∩␈↓ ε∧␈∧⊂Qε∧α∩
␈β⊂Z␈↓ β:␈ελb␈↓ ε¬␈ελb
␈β⊂e␈↓ β∞␈ε¬0␈↓ ¬[␈ε¬0␈↓ λ)␈εs
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαtherefore␈↓ α`␈ελX␈↓ β
␈εαhas␈αthe␈αcorrect␈αdistribution.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα120␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.4.1
␈βλQ␈↓ ↓⎇␈ε∪F␈α↓ig␈α␈.␈α1␈α␈2.␈εβ␈α~Th␈α␈e␈α\re␈α␈ctan␈α␈gle-w␈α␈edg␈α␈e-tail"␈αalg␈α␈orithm␈αfo␈α␈r␈αgen␈α␈eratin␈α␈g␈αno␈α␈rmal␈αde␈α␈viates␈α␈.
␈β	8␈↓ α␈εαWith␈αλappropriate␈αλconstan␈α␈ts␈↓ ¬=␈ελa␈↓ ¬[␈εα,␈↓ ¬n␈ελb␈↓ ελ␈εα,␈↓ ε≠␈ελs␈↓ ε4␈εα,␈α	Algorithm␈αλL␈αλwill␈αλtak␈α␈e␈αλcare␈αλof␈απthe␈αλw␈α␈edge-
␈β	F␈↓ ¬N␈εj␈↓ ¬{␈εj␈↓ ε'␈εj
␈β	d␈↓ ↓H␈εαshaped␈α∂densities␈↓ βW␈ελf␈↓ ∧8␈εαof␈α∂Fig.␈α∂9,␈α∂for␈α∂1␈ε⊗␈α∂∀␈↓ εl␈ελj␈↓ π␈ε⊗∀␈εα␈α∂15.␈α∀The␈α∂|nal␈α∂distribution,␈↓ 
r␈ελF␈↓ "␈εα,
␈β	q␈↓ βb␈εj␈↓ βp␈ε¬+␈α␈1␈α↓5␈↓ ε␈ε¬31
␈β
∂␈↓ ↓H␈εαneeds␈αλto␈αλbe␈α	treated␈αλonly␈α	about␈αλone␈α	time␈αλin␈αλ370;␈α
it␈αλis␈α	used␈αλwhenev␈α␈er␈α	a␈αλresult␈↓ 
D␈ελX␈↓ 
l␈ε⊗∃␈εα␈α
3
␈β
:␈↓ ↓H␈εαis␈α
to␈α∞be␈α∞computed.␈α⊃Ex␈α␈ercise␈α
11␈α∞sho␈α␈ws␈α∞that␈α
a␈α∞standard␈α
rejection␈α∞scheme␈α∞can␈α
be
␈β
e␈↓ ↓H␈εαused␈αfor␈α
this␈α\tail";␈αhence␈α
w␈α␈e␈αare␈αready␈αto␈αconsider␈αthe␈αprocedure␈αin␈αits␈α
en␈α␈tirety:
␈β≡␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈αλM␈εα␈α	(␈ε∂Rectangle-w␈α␈edge-tail␈α	method␈α	for␈αλnormal␈α	deviates␈↓ 	≡␈εα)␈ε∩.␈εα␈α∩This␈αλalgorithm
␈βI␈↓ ↓H␈εαuses␈αεsev␈α␈eral␈απauxiliary␈απtables␈απ(␈↓ ¬α␈ελP␈↓ ¬%␈εα,␈↓ ¬5␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬e␈εα,␈↓ ¬u␈ελP␈↓ ε'␈εα),␈αλ(␈↓ εQ␈ελQ␈↓ εw␈εα,␈↓ ππ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π7␈εα,␈↓ πG␈ελQ␈↓ π|␈εα),␈αλ(␈↓ λ&␈ελY␈↓ λJ␈εα,␈↓ λZ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	
␈εα,␈↓ 	~␈ελY␈↓ 	K␈εα),␈αλ(␈↓ 	u␈ελZ␈↓ 
↔␈εα,␈↓ 
'␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
W␈εα,␈↓ 
g␈ελZ␈↓ ⊗␈εα),
␈βW␈↓ ¬↔␈ε¬0␈↓ ε
␈ε¬3␈α↓1␈↓ εi␈ε¬1␈↓ π←␈ε¬1␈α↓5␈↓ λ;␈ε¬0␈↓ 	/␈ε¬31␈↓ 
λ␈ε¬0␈↓ 
z␈ε¬31
␈βu␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελS␈↓ ↓t␈εα,␈↓ α∧␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α4␈εα,␈↓ αD␈ελS␈↓ αs␈εα),␈α⊂(␈↓ β%␈ελD␈↓ β[␈εα,␈↓ βk␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧≠␈εα,␈↓ ∧+␈ελD␈↓ ∧a␈εα),␈α⊂(␈↓ ¬∪␈ελE␈↓ ¬D␈εα,␈↓ ¬T␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε∧␈εα,␈↓ ε∀␈ελE␈↓ εF␈εα),␈α⊂constructed␈α⊂as␈α∂explained␈α∂in␈α∂ex␈α␈ercise
␈βα␈↓ ↓f␈ε¬1␈↓ αV␈ε¬16␈↓ β>␈ε¬16␈↓ ∧D␈ε¬30␈↓ ¬(␈ε¬16␈↓ ε)␈ε¬3␈α↓0
␈β ␈↓ ↓H␈εα10;␈α⊂examples␈α∂appear␈α∂in␈α∂Table␈α∂1.␈α∃We␈α∂assume␈α∂that␈α∂a␈α∂binary␈α∂computer␈α∂is␈α∂being
␈βK␈↓ ↓H␈εαused;␈αa␈αsimilar␈αprocedure␈αcould␈αbe␈αw␈α␈ork␈α␈ed␈αout␈αfor␈αdecimal␈αmachines.
␈β⎇␈↓ ↓D␈ε∩M1.␈↓ α␈εα[Get␈↓ αZ␈ελU␈↓ αw␈εα.]␈α∀Generate␈α
a␈α	uniform␈α
random␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈↓ πY␈ελU␈↓ λ↓␈εα=␈α
(.␈↓ λE␈ελb␈↓ λ`␈ελb␈↓ λ|␈ελb␈↓ 	≥␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	M␈ελb␈↓ 	e␈εα)␈↓ 	␈␈εα.␈α∀(Here␈α	the
␈β
␈↓ λR␈ε¬0␈↓ λm␈ε¬1␈↓ 		␈ε¬2␈↓ 	Z␈εt␈↓ 	q␈ε¬2
␈β
(␈↓ α␈ελb␈↓ α~␈εα's␈α
are␈αthe␈αbits␈αin␈α
the␈αbinary␈αrepresen␈α␈tation␈αof␈↓ πp␈ελU␈↓ λ
␈εα.␈α
For␈αreasonable␈αaccuracy,
␈β
T␈↓ α␈ελt␈↓ α$␈εαshould␈α
be␈αat␈α
least␈α24.)␈αSet␈↓ ¬B␈ελ{␈↓ ¬e␈ε⊗ ␈↓ ε∪␈ελb␈↓ ε.␈εα.␈α⊗(Later,␈↓ πD␈ελ{␈↓ πh␈εαwill␈α
be␈αused␈α
to␈αdetermine␈α
the
␈β
a␈↓ ε ␈ε¬0
␈β
␈␈↓ α␈εαsign␈αof␈αthe␈αresult.)
␈β∞1␈↓ ↓D␈ε∩M2.␈↓ α␈εα[Rectangle?]␈α∞Set␈↓ ∧⊂␈ελj␈↓ ∧*␈ε⊗ ␈εα␈α
(␈↓ ∧d␈ελb␈↓ ∧␈␈ελb␈↓ ¬≠␈ελb␈↓ ¬6␈ελb␈↓ ¬R␈ελb␈↓ ¬m␈εα)␈↓ επ␈εα,␈α	a␈απbinary␈απn␈α␈um␈α␈ber␈απdetermined␈απby␈απthe␈απleading
␈β∞>␈↓ ∧q␈ε¬1␈↓ ¬␈ε¬2␈↓ ¬(␈ε¬3␈↓ ¬C␈ε¬4␈↓ ¬←␈ε¬5␈↓ ¬y␈ε¬2
␈β∞\␈↓ α␈εαbits␈α	of␈↓ αu␈ελU␈↓ β∪␈εα,␈α	and␈α	set␈↓ ∧≡␈ελf␈↓ ∧9␈ε⊗ ␈εα␈α
(.␈↓ ∧⎇␈ελb␈↓ ¬_␈ελb␈↓ ¬:␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬j␈ελb␈↓ ε↓␈εα)␈↓ ε≤␈εα,␈α	the␈α	fraction␈αλdetermined␈α	by␈α	the␈αλremaining
␈β∞j␈↓ ¬
␈ε¬6␈↓ ¬%␈ε¬7␈↓ ¬w␈εt␈↓ ε
␈ε¬2
␈β∂π␈↓ α␈εαbits.␈α∂If␈↓ ββ␈ελf␈↓ β ␈ε⊗∃␈↓ βO␈ελP␈↓ βr␈εα,␈α
set␈↓ ∧A␈ελX␈↓ ∧k␈ε⊗ ␈↓ ¬~␈ελY␈↓ ¬E␈εα+␈↓ ¬r␈ελf␈↓ εβ␈ελZ␈↓ ε0␈εαand␈α
go␈α
to␈αM9.␈α∂Otherwise␈α
if␈↓ 	l␈ελj␈↓ 
λ␈ε⊗∀␈εα␈α15␈α(i.e.,
␈β∂∪␈↓ π_␈ε↓␈
␈β∂∃␈↓ βd␈εj␈↓ ¬/␈εj␈↓ ε⊗␈εj
␈β∂3␈↓ α␈ελb␈↓ α1␈εα=␈α
0),␈αset␈↓ βH␈ελX␈↓ βp␈ε⊗ ␈↓ ∧≡␈ελS␈↓ ∧B␈εα+␈↓ ∧k␈ελf␈↓ ∧⎇␈ελQ␈↓ ¬,␈εαand␈α
go␈α
to␈α
M9.␈↓ π&␈εαThis␈α
is␈α
an␈α
adaptation␈α
of␈α	Walk␈α␈er's
␈β∂>␈↓ βB␈ε↓↓
␈β∂@␈↓ α→␈ε¬1␈↓ ∧0␈εj␈↓ ¬∃␈εj
␈β∂↑␈↓ α␈εαmethod␈α(3).
␈β⊂⊂␈↓ ↓D␈ε∩M3.␈↓ α␈εα[Wedge␈α
or␈α	tail?]␈α∀(No␈α␈w␈α
15␈ε⊗␈α
∀␈↓ ¬L␈ελj␈↓ ¬f␈ε⊗∀␈εα␈α
31,␈α
and␈α
each␈α	particular␈α
value␈↓ 	a␈ελj␈↓ 	{␈εαoccurs␈α	with
␈β⊂;␈↓ α␈εαprobability␈↓ βF␈ελp␈↓ βd␈εα.)␈αIf␈↓ ∧*␈ελj␈↓ ∧E␈εα=␈α
31,␈αgo␈αto␈αM7.
␈β⊂H␈↓ βW␈εj
␈β⊂m␈↓ ↓D␈ε∩M4.␈↓ α␈εα[Get␈↓ αX␈ελU␈↓ β␈ε⊗∀␈↓ β.␈ελV␈↓ βH␈εα.]␈α⊂Generate␈αλt␈α␈w␈α␈o␈αλnew␈αλuniform␈αλdeviates,␈↓ λ∨␈ελU␈↓ λ=␈εα,␈↓ λO␈ελV␈↓ λi␈εα;␈α
if␈↓ 	≠␈ελU␈↓ 	C␈εα>␈↓ 	q␈ελV␈↓ 
␈εα,␈αλex␈α␈change
␈β⊃∃␈↓ 
B␈ε¬1
␈β⊃_␈↓ α␈ελU␈↓ α4␈ε⊗$␈↓ αb␈ελV␈↓ α|␈εα.␈α→(We␈αare␈αno␈α␈w␈αperforming␈αAlgorithm␈αL.)␈α→Set␈↓ λ[␈ελX␈↓ 	β␈ε⊗ ␈↓ 	1␈ελS␈↓ 
∩␈εα+␈↓ 
T␈ελU␈↓ 
r␈εα.
␈β⊃&␈↓ 	C␈εj␈↓ 	P␈ε→␈␈ε¬15
␈β⊃)␈↓ 
B␈∧⊃)
Bα∂
␈β⊃+␈↓ 
B␈ε¬5
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.4.1␈ε∞␈↓ π+NUMERICAL␈α	DIST␈α␈RIBUT␈α␈IONS␈↓ 
v␈εα121
␈βα≥␈↓ ¬{␈ε≥Ta␈α␈b␈α↓le␈α
1
␈βαH␈↓ β⊃␈εβEXAMPLE␈αOF␈αT␈α⎇ABL␈α↓ES␈α
U␈α↓S␈α␈ED␈αW␈α↓ITH␈αAL␈α␈GORITHM␈αM␈α␈*
␈βαm␈↓ ↓H␈∧αm↓Hα	e
␈βαu␈↓ ↓t␈ε
j␈↓ αL␈ε
P␈↓ β"␈ε
P␈↓ ∧(␈ε
Q␈↓ ¬"␈ε
Y␈↓ ε
␈ε
Y␈↓ π∃␈ε
Z␈↓ πj␈ε
Z␈↓ λ\␈ε
S␈↓ 	A␈ε
D␈↓ 
8␈ε
E
␈βα}␈↓ α↑␈εj␈↓ β3␈εj␈↓ β?␈εε+␈α↓1␈α␈6␈↓ ∧=␈εj␈↓ ¬4␈εj␈↓ ε≠␈εj␈↓ ε'␈εε+␈α↓1␈α␈6␈↓ π%␈εj␈↓ πz␈εj␈↓ λε␈εε+16␈↓ λk␈εj␈↓ λw␈εε+1␈↓ 	V␈εj␈↓ 	b␈εε+15␈↓ 
J␈εj␈↓ 
V␈εε+15
␈ββ~␈↓ ↓H␈∧β~↓Hα	e
␈ββ!␈↓ ↓{␈ε∧0␈↓ αG␈ε∧.000␈↓ β;␈ε∧.06␈α↓7␈↓ ¬-␈ε∧0.00␈↓ ε&␈ε∧0.59␈↓ π∂␈ε∧0␈α↓.␈α␈20␈↓ λα␈ε∧0.21␈↓ λv␈ε∧0.0
␈ββB␈↓ ↓{␈ε∧1␈↓ αG␈ε∧.849␈↓ β;␈ε∧.16␈α↓1␈↓ ∧%␈ε∧.␈α␈2␈α↓36␈↓ ¬∞␈ε_␈␈ε∧0.92␈↓ ε&␈ε∧0.96␈↓ π∂␈ε∧1␈α↓.␈α␈32␈↓ λα␈ε∧0.24␈↓ λv␈ε∧0.2␈↓ 	↑␈ε∧.505␈↓ 
C␈ε∧25␈α↓.␈α␈00
␈ββb␈↓ ↓{␈ε∧2␈↓ αG␈ε∧.970␈↓ β;␈ε∧.23␈α↓6␈↓ ∧%␈ε∧.␈α␈2␈α↓06␈↓ ¬∞␈ε_␈␈ε∧5.86␈↓ επ␈ε_␈␈ε∧0.06␈↓ π∂␈ε∧6␈α↓.␈α␈66␈↓ λα␈ε∧0.26␈↓ λv␈ε∧0.4␈↓ 	↑␈ε∧.773␈↓ 
C␈ε∧12␈α↓.␈α␈50
␈β∧β␈↓ ↓{␈ε∧3␈↓ αG␈ε∧.855␈↓ β;␈ε∧.28␈α↓5␈↓ ∧%␈ε∧.␈α␈2␈α↓34␈↓ ¬∞␈ε_␈␈ε∧0.58␈↓ ε&␈ε∧0.12␈↓ π∂␈ε∧1␈α↓.␈α␈38␈↓ λα␈ε∧0.28␈↓ λv␈ε∧0.6␈↓ 	↑␈ε∧.876␈↓ 
R␈ε∧8␈α↓.␈α␈33
␈β∧#␈↓ ↓{␈ε∧4␈↓ αG␈ε∧.994␈↓ β;␈ε∧.30␈α↓8␈↓ ∧%␈ε∧.␈α␈2␈α↓01␈↓ ∧␈␈ε_␈␈ε∧33.13␈↓ ε&␈ε∧1.31␈↓ π␈ε∧34␈α↓.␈α␈93␈↓ λα␈ε∧0.29␈↓ λv␈ε∧0.8␈↓ 	↑␈ε∧.939␈↓ 
R␈ε∧6␈α↓.␈α␈25
␈β∧C␈↓ ↓{␈ε∧5␈↓ αG␈ε∧.995␈↓ β;␈ε∧.30␈α↓4␈↓ ∧%␈ε∧.␈α␈2␈α↓01␈↓ ∧␈␈ε_␈␈ε∧39.55␈↓ ε&␈ε∧0.31␈↓ π␈ε∧41␈α↓.␈α␈35␈↓ λα␈ε∧0.29␈↓ λv␈ε∧1.0␈↓ 	↑␈ε∧.986␈↓ 
R␈ε∧5␈α↓.␈α␈00
␈β∧d␈↓ ↓{␈ε∧6␈↓ αG␈ε∧.933␈↓ β;␈ε∧.28␈α↓0␈↓ ∧%␈ε∧.␈α␈2␈α↓14␈↓ ¬∞␈ε_␈␈ε∧2.57␈↓ ε&␈ε∧1.12␈↓ π∂␈ε∧2␈α↓.␈α␈97␈↓ λα␈ε∧0.28␈↓ λv␈ε∧1.2␈↓ 	↑␈ε∧.995␈↓ 
R␈ε∧4␈α↓.␈α␈06
␈β¬∧␈↓ ↓{␈ε∧7␈↓ αG␈ε∧.923␈↓ β;␈ε∧.24␈α↓1␈↓ ∧%␈ε∧.␈α␈2␈α↓17␈↓ ¬∞␈ε_␈␈ε∧1.61␈↓ ε&␈ε∧0.54␈↓ π∂␈ε∧2␈α↓.␈α␈61␈↓ λα␈ε∧0.26␈↓ λv␈ε∧1.4␈↓ 	↑␈ε∧.987␈↓ 
R␈ε∧3␈α↓.␈α␈37
␈β¬%␈↓ ↓{␈ε∧8␈↓ αG␈ε∧.727␈↓ β;␈ε∧.19␈α↓7␈↓ ∧%␈ε∧.␈α␈2␈α↓75␈↓ ¬-␈ε∧0.67␈↓ ε&␈ε∧0.75␈↓ π∂␈ε∧0␈α↓.␈α␈73␈↓ λα␈ε∧0.25␈↓ λv␈ε∧1.6␈↓ 	↑␈ε∧.979␈↓ 
R␈ε∧2␈α↓.␈α␈86
␈β¬E␈↓ ↓{␈ε∧9␈↓ α8␈ε∧1.000␈↓ β;␈ε∧.15␈α↓2␈↓ ∧%␈ε∧.␈α␈2␈α↓00␈↓ ¬-␈ε∧0.00␈↓ ε&␈ε∧0.56␈↓ π∂␈ε∧0␈α↓.␈α␈00␈↓ λα␈ε∧0.24␈↓ λv␈ε∧1.8␈↓ 	↑␈ε∧.972␈↓ 
R␈ε∧2␈α↓.␈α␈47
␈β¬e␈↓ ↓k␈ε∧1␈α↓0␈↓ αG␈ε∧.691␈↓ β;␈ε∧.11␈α↓2␈↓ ∧%␈ε∧.␈α␈2␈α↓89␈↓ ¬-␈ε∧0.35␈↓ ε&␈ε∧0.17␈↓ π∂␈ε∧0␈α↓.␈α␈65␈↓ λα␈ε∧0.23␈↓ λv␈ε∧2.0␈↓ 	↑␈ε∧.966␈↓ 
R␈ε∧2␈α↓.␈α␈16
␈βεε␈↓ ↓k␈ε∧1␈α↓1␈↓ αG␈ε∧.454␈↓ β;␈ε∧.07␈α↓9␈↓ ∧%␈ε∧.␈α␈4␈α↓40␈↓ ¬∞␈ε_␈␈ε∧0.17␈↓ ε&␈ε∧0.38␈↓ π∂␈ε∧0␈α↓.␈α␈37␈↓ λα␈ε∧0.22␈↓ λv␈ε∧2.2␈↓ 	↑␈ε∧.960␈↓ 
R␈ε∧1␈α↓.␈α␈92
␈βε&␈↓ ↓k␈ε∧1␈α↓2␈↓ αG␈ε∧.287␈↓ β;␈ε∧.05␈α↓2␈↓ ∧%␈ε∧.␈α␈6␈α↓98␈↓ ¬-␈ε∧0.92␈↓ επ␈ε_␈␈ε∧0.01␈↓ π∂␈ε∧0␈α↓.␈α␈28␈↓ λα␈ε∧0.21␈↓ λv␈ε∧2.4␈↓ 	↑␈ε∧.954␈↓ 
R␈ε∧1␈α↓.␈α␈71
␈βεG␈↓ ↓k␈ε∧1␈α↓3␈↓ αG␈ε∧.174␈↓ β;␈ε∧.03␈α↓3␈↓ ∧⊗␈ε∧1.␈α␈1␈α↓50␈↓ ¬-␈ε∧0.36␈↓ ε&␈ε∧0.39␈↓ π∂␈ε∧0␈α↓.␈α␈24␈↓ λα␈ε∧0.21␈↓ λv␈ε∧2.6␈↓ 	↑␈ε∧.948␈↓ 
R␈ε∧1␈α↓.␈α␈54
␈βεg␈↓ ↓k␈ε∧1␈α↓4␈↓ αG␈ε∧.101␈↓ β;␈ε∧.02␈α↓0␈↓ ∧⊗␈ε∧1.␈α␈9␈α↓74␈↓ ¬∞␈ε_␈␈ε∧0.02␈↓ ε&␈ε∧0.20␈↓ π∂␈ε∧0␈α↓.␈α␈22␈↓ λα␈ε∧0.20␈↓ λv␈ε∧2.8␈↓ 	↑␈ε∧.942␈↓ 
R␈ε∧1␈α↓.␈α␈40
␈βππ␈↓ ↓k␈ε∧1␈α↓5␈↓ αG␈ε∧.057␈↓ β;␈ε∧.08␈α↓6␈↓ ∧⊗␈ε∧3.␈α␈5␈α↓26␈↓ ¬-␈ε∧0.19␈↓ ε&␈ε∧0.78␈↓ π∂␈ε∧0␈α↓.␈α␈21␈↓ λα␈ε∧0.22␈↓ λv␈ε∧3.0␈↓ 	↑␈ε∧.936␈↓ 
R␈ε∧1␈α↓.␈α␈27
␈βπ$␈↓ ↓H␈∧π$↓Hα	e
␈βπ8␈↓ ↓H␈ε∧*In␈αλpracti␈α␈ce␈α␈,␈αλthi␈α␈s␈αλdata␈αλw␈α␈o␈α↓ul␈α␈d␈αλbe␈απg␈α↓i␈α␈v␈α␈en␈αλwi␈α␈th␈αλm␈α}uch␈αλgreate␈α␈r␈αλprec␈α␈isi␈α␈on;␈αλthe␈αλtabl␈α␈e␈αλsho␈α␈ws␈αλonly␈απenough
␈βπX␈↓ ↓H␈ε∧|gure␈α␈s␈α	so␈α	that␈α	i␈α␈n␈α␈tere␈α␈sted␈α	re␈α␈aders␈α	m␈α␈ay␈α	test␈αλthei␈α␈r␈α	o␈α␈wn␈α	algorithm␈α␈s␈α	for␈α	com␈α␈puting␈α	the␈αλvalues␈αλmore
␈βπy␈↓ ↓H␈ε∧acc␈α␈uratel␈α␈y.
␈βλl␈↓ ↓D␈ε∩M5.␈↓ α␈εα[Easy␈αcase?]␈α→If␈↓ ∧β␈ελV␈↓ ∧'␈ε⊗∀␈↓ ∧U␈ελD␈↓ ∧{␈εα,␈αgo␈αto␈αM10.
␈βλy␈↓ ∧n␈εj
␈β	≥␈↓ εL␈επ2␈↓ π9␈επ2
␈β	 ␈↓ ε0␈ε¬(␈↓ ε:␈εS␈↓ π∧␈ε→␈␈↓ π!␈εX␈↓ πD␈ε¬)/2
␈β	'␈↓ ↓D␈ε∩M6.␈↓ α␈εα[Another␈α⊃try?]␈α"If␈↓ ∧:␈ελV␈↓ ∧f␈εα>␈↓ ¬≤␈ελU␈↓ ¬E␈εα+␈↓ ¬t␈ελE␈↓ ε⊗␈εα(␈↓ ε"␈ελe␈↓ πv␈ε⊗␈␈εα␈α1),␈α∩go␈α⊃back␈α⊃to␈α⊃step␈α⊂M4;
␈β	-␈↓ εL␈ε
j␈↓ εW␈ε≠␈␈επ14
␈β	5␈↓ ε	␈εj
␈β	R␈↓ α␈εαotherwise␈αgo␈αto␈αM9.␈α→(This␈αstep␈αis␈αex␈α␈ecuted␈αwith␈αlo␈α␈w␈αprobability.)
␈β
π␈↓ ↓D␈ε∩M7.␈↓ α␈εα[Get␈α	supertail␈α
deviate.]␈α∩Generate␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α	new␈α	independen␈α␈t␈α
uniform␈α	deviates,␈↓ ¬␈ελU␈↓ "␈εα,
␈β
,␈↓ ∧4␈∧
,∧4α↓≤
␈β
-␈↓ ∧⊂␈ε⊗p
␈β
3␈↓ α␈ελV␈↓ α&␈εα,␈αand␈αset␈↓ β:␈ελX␈↓ βb␈ε⊗ ␈↓ ∧4␈εα9␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ2␈↓ ¬∩␈εαln␈↓ ¬6␈ελV␈↓ ¬P␈εα.
␈β
h␈↓ ↓D␈ε∩M8.␈↓ α␈εα[Reject?]␈α↔If␈↓ βM␈ελU␈↓ βk␈ελX␈↓ ∧∪␈ε⊗∃␈εα␈α
3,␈αgo␈αback␈αto␈αstep␈αM7.␈α↔(This␈αwill␈αoccur␈αonly␈αabout␈αone-
␈β∪␈↓ α␈εαt␈α␈w␈α␈elfth␈αas␈αoften␈αas␈αw␈α␈e␈αreach␈αstep␈αM8.)
␈βH␈↓ ↓D␈ε∩M9.␈↓ α␈εα[Attach␈αsign.]␈α→If␈↓ ∧≥␈ελ{␈↓ ∧@␈εα=␈α
1,␈αset␈↓ ¬N␈ελX␈↓ ¬v␈ε⊗ ␈α
␈␈↓ εH␈ελX␈↓ εf␈εα.
␈βM␈↓ π_␈∧Mπ_≠∂
␈βπ␈↓ α␈εαThis␈αalgorithm␈αis␈αa␈αv␈α␈ery␈αpretty␈αexample␈αof␈αmathematical␈αtheory␈αin␈α␈timately
␈β2␈↓ ↓H␈εαin␈α␈terw␈α␈o␈α␈v␈α␈en␈α∞with␈α∞programming␈α∞ingen␈α␈uity←a␈α∞|ne␈α∂illustration␈α∞of␈α∞the␈α∞art␈α∞of␈α∞com-
␈β]␈↓ ↓H␈εαputer␈αprogramming!␈αOnly␈α
steps␈αM1,␈αM2,␈αand␈αM9␈α
need␈αto␈αbe␈αperformed␈αmost␈αof
␈β
λ␈↓ ↓H␈εαthe␈α
time,␈α∞and␈α
the␈α∞other␈α
steps␈α
aren't␈α∞terribly␈α
slo␈α␈w␈α
either.␈α⊃The␈α
|rst␈α
publications
␈β
4␈↓ ↓H␈εαof␈α∂the␈α∂rectangle-w␈α␈edge-tail␈α∂method␈α∂w␈α␈ere␈α⊂by␈α∂G.␈α∂Marsaglia,␈ε∂␈α⊂Annals␈α∂Math.␈α∂Stat.
␈β
←␈↓ ↓H␈ε∩32␈εα␈α
(1961),␈α∞894↑899;␈α∂G.␈α
Marsaglia,␈α∞M.␈α∞D.␈α∞MacLaren,␈α∞and␈α
T.␈α∞A.␈α∞Bray,␈ε∂␈α∞CA␈α␈CM␈ε∩␈α
7
␈β∞
␈↓ ↓H␈εα(1964),␈α∂4↑10.␈α∪Further␈α∞re|nemen␈α␈ts␈α∂of␈α∞Algorithm␈α∞M␈α∂hav␈α␈e␈α∞been␈α∂dev␈α␈eloped␈α∞by␈α∞G.
␈β∞5␈↓ ↓H␈εαMarsaglia,␈α∂K.␈α∂Anan␈α␈thanarayanan,␈α⊂and␈α∂N.␈α∂J.␈α∂Paul,␈ε∂␈α⊂Inf.␈α∂Proc.␈α∂Letters␈ε∩␈α∂5␈εα␈α∂(1976),
␈β∞`␈↓ ↓H␈εα27↑30␈↓ α"␈εα.
␈β∂∨␈↓ ↓H␈εα(␈ελ3␈↓ ↓k␈εα)␈ε∂␈αλThe␈α	odd-ev␈α␈en␈αλmethod␈εα,␈α	due␈αλto␈α	G.␈αλE.␈αλForsythe.␈α⊂An␈α	amazingly␈αλsimple␈αλtechnique
␈β∂K␈↓ ↓H␈εαfor␈αgenerating␈αrandom␈αdeviates␈αwith␈αa␈αdensity␈αof␈αthe␈αgeneral␈αexponen␈α␈tial␈αform
␈β⊂↔␈↓ ∧␈ε→␈␈↓ ∧(␈εh␈↓ ∧6␈ε¬(␈↓ ∧@␈εx␈↓ ∧P␈ε¬)
␈β⊂≥␈↓ αl␈ελf␈↓ α⎇␈εα(␈↓ β	␈ελx␈↓ β≤␈εα)␈α
=␈↓ β`␈ελC␈↓ β⎇␈ελe␈↓ ∧Y␈εα,␈↓ ¬
␈εαfor␈↓ ¬E␈ελa␈↓ ¬a␈ε⊗∀␈↓ ε∂␈ελx␈↓ ε,␈εα<␈↓ εZ␈ελb␈↓ εh␈εα,␈↓ π@␈ελf␈↓ πR␈εα(␈↓ π↑␈ελx␈↓ πp␈εα)␈α
=␈α
0␈↓ λj␈εαotherwise␈↓ 	}␈εα,␈↓ 
p␈εα(20)
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαwhen
␈β⊃~␈↓ ∧;␈εα0␈ε⊗␈α
∀␈↓ ¬¬␈ελh␈↓ ¬↔␈εα(␈↓ ¬#␈ελx␈↓ ¬6␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈εα␈α
1␈↓ εT␈εαfor␈↓ π␈ελa␈↓ π(␈ε⊗∀␈↓ πV␈ελx␈↓ πs␈εα<␈↓ λ!␈ελb␈↓ λ/␈εα,␈↓ 
p␈εα(21)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα122␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.4.1
␈βα(␈↓ ↓H␈εαwas␈α
disco␈α␈v␈α␈ered␈αby␈αJohn␈α
v␈α␈on␈αNeumann␈αand␈α
G.␈αE.␈αForsythe␈αabout␈α
1950.␈αThe␈α
idea
␈βαS␈↓ ↓H␈εαis␈α∞based␈α∞on␈α∂the␈α∞rejection␈α∞method␈α∂described␈α∞earlier,␈α∂letting␈↓ λs␈ελg␈↓ 	¬␈εα(␈↓ 	⊃␈ελx␈↓ 	#␈εα)␈α∂be␈α∞the␈α∞uniform
␈βα}␈↓ ↓H␈εαdistribution␈αon␈α[␈↓ βH␈ελa␈↓ βZ␈εα,␈↓ βj␈ελb␈↓ βy␈εα):␈αWe␈α
set␈↓ ¬∀␈ελX␈↓ ¬=␈ε⊗ ␈↓ ¬l␈ελa␈↓ εε␈εα+␈αλ(␈↓ ε>␈ελb␈↓ εU␈ε⊗␈␈↓ π↓␈ελa␈↓ π∪␈εα)␈↓ π∨␈ελU␈↓ π<␈εα,␈α
where␈↓ λ;␈ελU␈↓ λe␈εαis␈α
a␈αuniform␈αdeviate,
␈ββ%␈↓ πn␈ε→␈␈↓ λ␈εh␈↓ λ→␈ε¬(␈↓ λ#␈εX␈↓ λ;␈ε¬)
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαand␈α∂then␈α⊂w␈α␈e␈α∂wan␈α␈t␈α⊂to␈α⊂accept␈↓ ¬∨␈ελX␈↓ ¬M␈εαwith␈α∂probability␈↓ π`␈ελe␈↓ λE␈εα.␈α⊗The␈α⊂latter␈α∂operation
␈ββP␈↓ ∧q␈ε→␈␈↓ ¬∞␈εh␈↓ ¬≤␈ε¬(␈↓ ¬&␈εX␈↓ ¬>␈ε¬)
␈ββU␈↓ ↓H␈εαcould␈α∞be␈α∞done␈α∞by␈α∞testing␈↓ ∧c␈ελe␈↓ ¬U␈εαvs.␈↓ ε⊂␈ελV␈↓ ε*␈εα,␈α∞or␈↓ εq␈ελh␈↓ πα␈εα(␈↓ π∞␈ελX␈↓ π,␈εα)␈α∂vs.␈ε⊗␈α∩␈␈↓ λ/␈εαln␈↓ λS␈ελV␈↓ λm␈εα,␈α∂when␈↓ 	f␈ελV␈↓ 
∞␈εαis␈α∞another
␈β∧␈↓ ↓H␈εαuniform␈α
deviate,␈α
but␈α
the␈α
job␈α
can␈α
be␈α
done␈α
without␈α
applying␈αan␈α␈y␈α
transcenden␈α␈tal
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαfunctions␈α
in␈α	the␈α
follo␈α␈wing␈α
in␈α␈teresting␈α
way.␈αSet␈↓ π≤␈ελV␈↓ πI␈ε⊗ ␈↓ πw␈ελh␈↓ λλ␈εα(␈↓ λ∀␈ελX␈↓ λ2␈εα),␈αthen␈α
generate␈α	uniform
␈β∧9␈↓ π0␈ε¬0
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαdeviates␈↓ αS␈ελV␈↓ αu␈εα,␈↓ β␈ελV␈↓ β-␈εα,␈↓ βC␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βx␈εαun␈α␈til␈α|nding␈αsome␈↓ ε≡␈ελK␈↓ εF␈ε⊗∃␈εα␈α
1␈αwith␈↓ πb␈ελV␈↓ λD␈εα<␈↓ λr␈ελV␈↓ 	≥␈εα.␈αFor␈α|x␈α␈ed␈↓ 
M␈ελV␈↓ 
r␈εαand
␈β∧d␈↓ αg␈ε¬1␈↓ β∨␈ε¬2␈↓ πv␈εK␈↓ λ∞␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 	ε␈εK
␈β¬α␈↓ ↓H␈ελk␈↓ ↓Y␈εα,␈α
the␈αprobability␈αthat␈↓ ∧6␈ελh␈↓ ∧H␈εα(␈↓ ∧T␈ελX␈↓ ∧r␈εα)␈ε⊗␈α
∃␈↓ ¬6␈ελV␈↓ ¬c␈ε⊗∃␈↓ ε⊃␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εE␈ε⊗∃␈↓ εs␈ελV␈↓ π"␈εαis␈α1/␈↓ πj␈ελk␈↓ π|␈εα!␈αtimes␈αthe␈αprobability␈αthat
␈β¬∂␈↓ ¬J␈ε¬1␈↓ ππ␈εk
␈β¬(␈↓ ε~␈εk
␈β¬-␈↓ ↓H␈εαmax␈↓ α␈εα(␈↓ α_␈ελV␈↓ α:␈εα,␈↓ αJ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ αz␈εα,␈↓ β
␈ελV␈↓ β-␈εα)␈ε⊗␈α∀␈↓ βt␈ελh␈↓ ∧ε␈εα(␈↓ ∧∩␈ελX␈↓ ∧0␈εα),␈α
namely␈↓ ¬R␈ελh␈↓ ¬d␈εα(␈↓ ¬p␈ελX␈↓ ε∞␈εα)␈↓ ε)␈εα/␈↓ ε;␈ελk␈↓ εL␈εα!;␈α∞hence␈α
the␈α
probability␈α
that␈↓ 
≤␈ελK␈↓ 
F␈εα=␈↓ 
v␈ελk␈↓ ∀␈εαis
␈β¬:␈↓ α,␈ε¬1␈↓ β≡␈εk
␈β¬S␈↓ α∂␈εk␈↓ α≡␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ∧Q␈εk
␈β¬X␈↓ ↓H␈ελh␈↓ ↓Z␈εα(␈↓ ↓f␈ελX␈↓ αβ␈εα)␈↓ αI␈εα/(␈↓ αg␈ελk␈↓ β↓␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)!␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ∧	␈ελh␈↓ ∧≠␈εα(␈↓ ∧'␈ελX␈↓ ∧E␈εα)␈↓ ∧←␈εα/␈↓ ∧q␈ελk␈↓ ¬β␈εα!,␈αand␈αthe␈αprobability␈αthat␈↓ λ/␈ελK␈↓ λY␈εαis␈αodd␈αis
␈βε ␈↓ ∧i␈ε↓ ␈↓ π≤␈ε↓!
␈βε"␈↓ ∧%␈ε↓X
␈βε(␈↓ ¬L␈εk␈↓ ¬Z␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π	␈εk
␈βε-␈↓ ¬∧␈ελh␈↓ ¬⊗␈εα(␈↓ ¬"␈ελX␈↓ ¬@␈εα)␈↓ εA␈ελh␈↓ εS␈εα(␈↓ ε←␈ελX␈↓ ε⎇␈εα)
␈βε?␈↓ πy␈ε→␈␈↓ λ⊗␈εh␈↓ λ$␈ε¬(␈↓ λ.␈εX␈↓ λF␈ε¬)
␈βεE␈↓ ε⊃␈ε⊗␈␈↓ π=␈εα=␈↓ πk␈ελe␈↓ λO␈εα.␈↓ 
p␈εα(22)
␈βεV␈↓ ¬∧␈∧εV¬∧α↓α␈↓ εA␈∧εVεAαW
␈βε↑␈↓ ¬λ␈εα(␈↓ ¬∀␈ελk␈↓ ¬-␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)!␈↓ ε←␈ελk␈↓ εp␈εα!
␈βεu␈↓ ∧≡␈εk␈↓ ∧1␈ε¬o␈α↓dd
␈βπ⊂␈↓ ∧"␈εk␈↓ ∧0␈ε→∃␈ε¬1
␈βπa␈↓ ↓H␈εαTherefore␈α∂w␈α␈e␈α⊂reject␈↓ ∧⊂␈ελX␈↓ ∧>␈εαand␈α∂try␈α⊂again␈α⊂if␈↓ εQ␈ελK␈↓ ε}␈εαis␈α⊂ev␈α␈en;␈α∩w␈α␈e␈α∂accept␈↓ 	5␈ελX␈↓ 	c␈εαas␈α⊂a␈α∂random
␈βλ␈↓ ↓H␈εαvariable␈απwith␈αλdensity␈αλ(20)␈αλif␈↓ ∧w␈ελK␈↓ ¬≤␈εαis␈αλodd.␈αNote␈αλthat␈απw␈α␈e␈αλusually␈αλw␈α␈on't␈αλhav␈α␈e␈αλto␈απgenerate
␈βλ8␈↓ ↓H␈εαman␈α␈y␈↓ α.␈ελV␈↓ αH␈εα's␈α∂in␈α∂order␈α∂to␈α∂determine␈↓ ¬W␈ελK␈↓ ¬u␈εα,␈α∂since␈α∂the␈α∂av␈α␈erage␈α∂value␈α∂of␈↓ 	@␈ελK␈↓ 	m␈εα(giv␈α␈en␈↓ 
[␈ελX␈↓ 
y␈εα)␈α∂is
␈βλG␈↓ ↓H␈ε↓P␈↓ ¬a␈ε↓P
␈βλ↑␈↓ π∂␈εk␈↓ λ⊃␈εh␈↓ λ ␈ε¬(␈↓ λ)␈εX␈↓ λA␈ε¬)
␈βλc␈↓ α-␈εαprobability␈αthat␈↓ ∧)␈εα(␈↓ ∧5␈ελK␈↓ ∧]␈εα>␈↓ ¬␈ελk␈↓ ¬≥␈εα)␈α
=␈↓ εG␈ελh␈↓ εY␈εα(␈↓ εe␈ελX␈↓ πβ␈εα)␈↓ π≥␈εα/␈↓ π/␈ελk␈↓ πA␈εα!␈α
=␈↓ λβ␈ελe␈↓ λU␈ε⊗∀␈↓ 	β␈ελe␈↓ 	⊃␈εα.
␈βλv␈↓ ↓n␈εk␈↓ ↓|␈ε→∃␈ε¬0␈↓ επ␈εk␈↓ ε⊗␈ε→∃␈ε¬␈α␈0
␈β	∃␈↓ α␈εαForsythe␈α∞realized␈α∞some␈α∂y␈α␈ears␈α∞later␈α∞that␈α∞this␈α∂approach␈α∞leads␈α∞to␈α∞an␈α∞e}cien␈α␈t
␈β	@␈↓ ↓H␈εαmethod␈α∩for␈α∪calculating␈α∩normal␈α∪deviates,␈α∀without␈α∪the␈α∪need␈α∩for␈α∪an␈α␈y␈α∩auxiliary
␈β	l␈↓ ↓H␈εαroutines␈α
to␈α
calculate␈α
square␈α
roots␈α
or␈α
logarithms␈α
as␈α∞in␈α
Algorithms␈α
P␈α
and␈α
M␈↓ 
a␈εα.␈α∂His
␈β
↔␈↓ ↓H␈εαprocedure,␈α
with␈αan␈α
impro␈α␈v␈α␈ed␈αchoice␈αof␈α
in␈α␈tervals␈α[␈↓ πC␈ελa␈↓ πT␈εα,␈↓ πd␈ελb␈↓ πs␈εα)␈α
due␈αto␈α
J.␈αH.␈α
Ahrens␈αand␈α
U.
␈β
B␈↓ ↓H␈εαDieter,␈αcan␈αbe␈αsummarized␈αas␈αfollo␈α␈ws.
␈β
}␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈αF␈εα␈α(␈ε∂Odd-ev␈α␈en␈αmethod␈αfor␈αnormal␈αdeviates␈↓ πx␈εα)␈ε∩.␈εα␈α_This␈αalgorithm␈αgenerates
␈β*␈↓ ↓H␈εαnormal␈α∂deviates␈α∂on␈α∂a␈α∂binary␈α⊂computer,␈α∂assuming␈α⊂appro␈α␈ximately␈↓ 	←␈ελt␈↓ 	v␈εα+␈α
1␈α∂bits␈α∂of
␈βU␈↓ ↓H␈εαaccuracy.␈αThe␈αalgorithm␈αrequires␈αa␈αtable␈αof␈αvalues␈↓ πg␈ελd␈↓ λ∂␈εα=␈↓ λ=␈ελa␈↓ λc␈ε⊗␈␈↓ 	∞␈ελa␈↓ 	W␈εα,␈αfor␈α1␈ε⊗␈α
∀␈↓ 
n␈ελj␈↓ λ␈ε⊗∀
␈βb␈↓ πx␈εj␈↓ λN␈εj␈↓ 	∨␈εj␈↓ 	,␈ε→␈␈ε¬1
␈β␈↓ ↓H␈ελt␈↓ ↓]␈εα+␈αλ1,␈αwhere␈↓ β→␈ελa␈↓ βC␈εαis␈αde|ned␈αby␈αthe␈αrelation
␈β
␈↓ β)␈εj
␈β@␈↓ ¬=␈ε↓Z
␈βH␈↓ ¬a␈ε→1
␈βM␈↓ ∧w␈ε↓r␈↓ ¬≠␈∧M¬≠α≥
␈βV␈↓ ¬ ␈εα2␈↓ πV␈εα1
␈βd␈↓ ε?␈επ2
␈βg␈↓ ε∩␈ε→␈␈↓ ε/␈εx␈↓ εJ␈ε¬/2
␈βm␈↓ ε∧␈ελe␈↓ εm␈ελd␈↓ π↓␈ελx␈↓ π≡␈εα=␈↓ πs␈εα.␈↓ 
p␈εα(23)
␈β⎇␈↓ ¬∨␈∧⎇¬∨α∃␈↓ πP␈∧⎇πPα 
␈β
β␈↓ πb␈εj
␈β
¬␈↓ ¬∨␈ελ→␈↓ πP␈εα2
␈β
⊃␈↓ ¬Q␈εa
␈β
→␈↓ ¬←␈ε
j
␈β
Y␈↓ ↓L␈ε∩F1.␈↓ α␈εα[Get␈↓ α]␈ελU␈↓ α{␈εα.]␈α≤Generate␈α
a␈α
uniform␈α∞random␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈↓ πw␈ελU␈↓ λ!␈εα=␈α(.␈↓ λg␈ελb␈↓ 	β␈ελb␈↓ 	$␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	T␈ελb␈↓ 	l␈εα)␈↓ 
ε␈εα,␈α∞where␈↓ π␈ελb␈↓ "␈εα,
␈β
f␈↓ λt␈ε¬0␈↓ 	⊂␈ε¬1␈↓ 	a␈εt␈↓ 	x␈ε¬2␈↓ ∀␈ε¬0
␈β∞∧␈↓ α␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α<␈εα,␈↓ αR␈ελb␈↓ αv␈εαdenote␈αthe␈αbits␈αin␈αbinary␈αnotation.␈αSet␈↓ πb␈ελ{␈↓ λ∧␈ε⊗ ␈↓ λ2␈ελb␈↓ λN␈εα,␈↓ λd␈ελj␈↓ λ}␈ε⊗ ␈εα␈α
1,␈αand␈↓ 
~␈ελa␈↓ 
6␈ε⊗ ␈εα␈α
0.
␈β∞⊃␈↓ α←␈εt␈↓ λ?␈ε¬0
␈β∞8␈↓ ↓L␈ε∩F2.␈↓ α␈εα[Find␈α∞|rst␈α
zero␈↓ ∧π␈ελb␈↓ ∧!␈εα.]␈α≤If␈↓ ∧v␈ελb␈↓ ¬≥␈εα=␈α
1,␈α
set␈↓ ε1␈ελa␈↓ εO␈ε⊗ ␈↓ π␈ελa␈↓ π≠␈εα+␈↓ πH␈ελd␈↓ πf␈εα,␈↓ π}␈ελj␈↓ λ≠␈ε⊗ ␈↓ λK␈ελj␈↓ λd␈εα+␈α
1,␈α
and␈ε∂␈α∞repeat␈εα␈α
this
␈β∞E␈↓ ∧∀␈εj␈↓ ¬β␈εj␈↓ πY␈εj
␈β∞c␈↓ α␈εαstep.␈α→(If␈↓ β∨␈ελj␈↓ β:␈εα=␈↓ βh␈ελt␈↓ β⎇␈εα+␈αλ1,␈αtreat␈↓ ¬)␈ελb␈↓ ¬O␈εαas␈αzero.)
␈β∞q␈↓ ¬6␈εj
␈β∞w␈↓ ∧|␈ε↓␈
␈β∂↔␈↓ ↓L␈ε∩F3.␈↓ α␈εα[Generate␈α∂candidate.]␈↓ ¬
␈εαNo␈α␈w␈↓ ¬`␈ελa␈↓ ε␈εα=␈↓ ε2␈ελa␈↓ ε{␈εα,␈α∂and␈α∂the␈α∞curren␈α␈t␈α∂value␈α∞of␈↓ 
,␈ελj␈↓ 
J␈εαoccurs
␈β∂$␈↓ εC␈εj␈↓ εP␈ε→␈␈ε¬1
␈β∂=␈↓ ¬␈εj
␈β∂B␈↓ α␈εαwith␈α
probability␈ε⊗␈α
→␈εα␈α1/␈↓ ∧n␈εα2␈↓ ¬
␈εα.␈α∂We␈α
will␈α∞generate␈↓ π>␈ελX␈↓ πi␈εαin␈α
the␈α
range␈α
[␈↓ 	@␈ελa␈↓ 
	␈εα,␈↓ 
→␈ελa␈↓ 
7␈εα),␈α
using
␈β∂P␈↓ 	Q␈εj␈↓ 	↑␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 
*␈εj
␈β∂h␈↓ λ8␈ε¬2␈↓ 	)␈ε¬2␈↓ 
'␈ε¬2
␈β∂m␈↓ α␈εαthe␈α	rejection␈α
method␈α	described␈α	abo␈α␈v␈α␈e,␈α
with␈↓ π0␈ελh␈↓ πB␈εα(␈↓ πN␈ελx␈↓ πa␈εα)␈α
=␈↓ λ%␈ελx␈↓ λF␈εα/2␈ε⊗␈α¬␈␈↓ 	↔␈ελa␈↓ 	7␈εα/2␈α
=␈↓ 
∪␈ελy␈↓ 
6␈εα/2␈α∧+␈↓ ε␈ελa␈↓ _␈ελy
␈β∂y␈↓ 
V␈ε↓↓
␈β⊂→␈↓ α␈εαwhere␈↓ αs␈ελy␈↓ β⊃␈εα=␈↓ β?␈ελx␈↓ βX␈ε⊗␈␈↓ ∧β␈ελa␈↓ ∧∀␈εα.␈αEx␈α␈ercise␈α12␈αpro␈α␈v␈α␈es␈α
that␈↓ π ␈ελh␈↓ π2␈εα(␈↓ π>␈ελx␈↓ πQ␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈εα␈α
1␈αas␈αrequired␈α
in␈α(21).␈↓ 
z␈εαSet
␈β⊂A␈↓ εX␈ε¬1
␈β⊂D␈↓ α␈ελY␈↓ α1␈ε⊗ ␈↓ α←␈ελd␈↓ βπ␈εαtimes␈α
(.␈↓ β{␈ελb␈↓ ∧F␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧v␈ελb␈↓ ¬∞␈εα)␈↓ ¬2␈εαand␈↓ ¬v␈ελV␈↓ ε~␈ε⊗ ␈εα␈α
(␈↓ εk␈ελY␈↓ π␈εα+␈↓ π4␈ελa␈↓ πF␈εα)␈↓ πR␈ελY␈↓ πm␈εα.␈α∀(Since␈α
the␈α
av␈α␈erage␈α
value␈α
of
␈β⊂Q␈↓ αp␈εj␈↓ ∧λ␈εj␈↓ ∧∃␈ε¬+1␈↓ ¬β␈εt␈↓ ¬~␈ε¬2
␈β⊂T␈↓ εX␈∧⊂TεXα∂
␈β⊂W␈↓ εX␈ε¬2
␈β⊂o␈↓ α␈ελj␈↓ α&␈εαis␈α
2,␈α
there␈α
will␈α
usually␈α
be␈α
enough␈α
signi|can␈α␈t␈α
bits␈α
in␈α	(.␈↓ λV␈ελb␈↓ 	"␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	R␈ελb␈↓ 	i␈εα)␈↓ 
∞␈εαto␈α	pro␈α␈vide
␈β⊂|␈↓ λc␈εj␈↓ λq␈ε¬+␈α␈1␈↓ 	←␈εt␈↓ 	u␈ε¬2
␈β⊃~␈↓ α␈εαdecen␈α␈t␈α	accuracy.␈αThe␈αλcalculations␈α	are␈α	readily␈α	done␈αλin␈α	|x␈α␈ed␈α	poin␈α␈t␈αλarithmetic.)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.4.1␈ε∞␈↓ π+NUMERICAL␈α	DIST␈α␈RIBUT␈α␈IONS␈↓ 
v␈εα123
␈βα&␈↓ ↓L␈ε∩F4.␈↓ α␈εα[Reject?]␈α"Generate␈α⊂a␈α⊃uniform␈α⊃deviate␈↓ πε␈ελU␈↓ π#␈εα.␈α≠If␈↓ πp␈ελV␈↓ λ≤␈εα<␈↓ λR␈ελU␈↓ λp␈εα,␈α∩go␈α⊂on␈α⊃to␈α⊃step␈α⊂F5.
␈βαQ␈↓ α␈εαOtherwise␈α
set␈↓ βp␈ελV␈↓ ∧↔␈εαto␈α
a␈α
new␈α
uniform␈α
deviate;␈α
and␈α
if␈α
no␈α␈w␈↓ λv␈ελU␈↓ 	∨␈εα<␈↓ 	O␈ελV␈↓ 	u␈εα(i.e.,␈α∞if␈↓ 
j␈ελK␈↓ ∀␈εαis
␈βα⎇␈↓ α␈εαev␈α␈en␈αin␈αthe␈αdiscussion␈αabo␈α␈v␈α␈e),␈αgo␈αback␈αto␈αF3,␈αotherwise␈αrepeat␈αstep␈αF4.
␈ββ8␈↓ ↓L␈ε∩F5.␈↓ α␈εα[Return␈↓ β⊃␈ελX␈↓ β/␈εα.]␈α→Set␈↓ ∧~␈ελX␈↓ ∧B␈ε⊗ ␈↓ ∧p␈ελa␈↓ ¬
␈εα+␈↓ ¬6␈ελY␈↓ ¬Q␈εα.␈αIf␈↓ ε␈ελ{␈↓ ε.␈εα=␈α
1,␈αset␈↓ π<␈ελX␈↓ πd␈ε⊗ ␈α
␈␈↓ λ6␈ελX␈↓ λT␈εα.
␈ββ=␈↓ 	¬␈∧β=	¬≠∂
␈β∧α␈↓ α␈εαValues␈αof␈↓ β(␈ελd␈↓ βQ␈εαfor␈α1␈ε⊗␈α
∀␈↓ ∧R␈ελj␈↓ ∧l␈ε⊗∀␈εα␈α
47␈αappear␈αin␈αa␈αpaper␈αby␈α
Ahrens␈αand␈αDieter,␈ε∂␈αMath.
␈β∧∂␈↓ β9␈εj
␈β∧-␈↓ ↓H␈ε∂Comp.␈ε∩␈αλ27␈εα␈αλ(1973),␈α	927↑937;␈α	their␈αλpaper␈α	discusses␈αλre|nemen␈α␈ts␈αλof␈αλthe␈αλalgorithm␈αλthat
␈β∧X␈↓ ↓H␈εαimpro␈α␈v␈α␈e␈αits␈αspeed␈αat␈αthe␈αexpense␈αof␈αmore␈αtables.␈αAlgorithm␈αF␈αis␈αattractiv␈α␈e␈αsince
␈β¬∧␈↓ ↓H␈εαit␈α
is␈α∞almost␈α
as␈α
fast␈α∞as␈α
Algorithm␈α∞M␈α
and␈α∞it␈α
is␈α∞easier␈α
to␈α∞implemen␈α␈t.␈α⊂The␈α
av␈α␈erage
␈β¬/␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αuniform␈αdeviates␈αrequired␈αper␈αnormal␈αdeviate␈αis␈α2.53947;␈αR.␈αP.␈αBren␈α␈t
␈β¬Z␈↓ ↓H␈εα[␈ε∂CA␈α␈CM␈ε∩␈α17␈εα␈α(1974),␈α704↑705]␈αhas␈αsho␈α␈wn␈αho␈α␈w␈αto␈αreduce␈αthis␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αto␈α1.37446␈αat
␈βε¬␈↓ ↓H␈εαthe␈αexpense␈αof␈αt␈α␈w␈α␈o␈αsubtractions␈αand␈αone␈αdivision␈αper␈αuniform␈αdeviate␈αsav␈α␈ed.
␈βεO␈↓ ↓H␈εα(␈ελ4␈↓ ↓k␈εα)␈ε∂␈αλRatios␈αλof␈α	uniform␈αλdeviates.␈εα␈α⊂There␈α	is␈αλy␈α␈et␈αλanother␈αλgood␈α	way␈αλto␈αλgenerate␈αλnormal
␈βεz␈↓ ↓H␈εαdeviates,␈αdisco␈α␈v␈α␈ered␈αby␈αA.␈αJ.␈αKinderman␈αand␈αJ.␈αF.␈αMonahan␈αin␈α1976.␈αTheir␈αidea
␈βπ&␈↓ ↓H␈εαis␈αto␈αgenerate␈αa␈αrandom␈αpoin␈α␈t␈α(␈↓ ¬3␈ελU␈↓ ¬P␈εα,␈↓ ¬`␈ελV␈↓ ¬z␈εα)␈αin␈αthe␈αregion␈αde|ned␈αby
␈βπc␈↓ ¬s␈ε↓p␈↓ λ1␈ε↓p
␈βπ}␈↓ ε↔␈∧π}ε↔αp␈↓ λU␈∧π}λUαp
␈βλε␈↓ β%␈εα0␈α
<␈↓ βo␈ελu␈↓ ∧∂␈ε⊗∀␈εα␈α
1,␈ε⊗␈↓ ¬'␈␈εα2␈↓ ¬]␈ελu␈↓ ε↔␈εαln␈↓ ε5␈εα(1/␈↓ εe␈ελu␈↓ εz␈εα)␈↓ π⊂␈ε⊗∀␈↓ π>␈ελv␈↓ π[␈ε⊗∀␈εα␈α
2␈↓ λ≠␈ελu␈↓ λU␈εαln␈↓ λs␈εα(1/␈↓ 	#␈ελu␈↓ 	9␈εα)␈↓ 	E␈εα,␈↓ 
p␈εα(24)
␈βλa␈↓ ↓H␈εαand␈α
then␈αto␈αoutput␈αthe␈αratio␈↓ ¬∂␈ελX␈↓ ¬7␈ε⊗ ␈↓ ¬e␈ελV␈↓ ¬␈␈εα/␈↓ ε⊃␈ελU␈↓ ε.␈εα.␈αThe␈αshaded␈α
area␈αof␈αFig.␈α13␈αis␈αthe␈α
magic
␈β	␈↓ ↓H␈εαregion␈α(24)␈αthat␈α
mak␈α␈es␈αthis␈α
all␈αw␈α␈ork.␈α
Before␈αw␈α␈e␈α
study␈αthe␈α
associated␈αtheory,␈αlet
␈β	7␈↓ ↓H␈εαus␈α|rst␈αstate␈αthe␈αalgorithm␈αso␈α
that␈αits␈αcomparativ␈α␈e␈αe}ciency␈αand␈αsimplicity␈αare
␈β	b␈↓ ↓H␈εαmanifest:
␈β
,␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈α
R␈εα␈α
(␈ε∂Ratio␈α
method␈α
for␈αnormal␈α
deviates␈↓ π3␈εα)␈ε∩.␈εα␈α∃This␈α
algorithm␈α
generates␈α
nor-
␈β
X␈↓ ↓H␈εαmal␈αdeviates␈↓ β~␈ελX␈↓ β8␈εα.
␈β∪␈↓ ↓I␈ε∩R1.␈↓ α␈εα[Get␈↓ α[␈ελU␈↓ αy␈εα,␈↓ β	␈ελV␈↓ β#␈εα.]␈α_Generate␈αt␈α␈w␈α␈o␈αindependen␈α␈t␈αuniform␈αdeviates␈↓ 		␈ελU␈↓ 	2␈εαand␈↓ 	x␈ελV␈↓ 
∩␈εα,␈αwhere␈↓ ∂␈ελU
␈β≥␈↓ ¬⊂␈ε↓p
␈β∨␈↓ ¬l␈ε↓␈␈↓ ε↑␈ε↓↓
␈β8␈↓ ¬4␈∧8¬4α3
␈β;␈↓ εL␈ε¬1
␈β>␈↓ α␈εαis␈αnonzero,␈αand␈αset␈↓ ∧:␈ελX␈↓ ∧b␈ε⊗ ␈↓ ¬4␈εα8/␈↓ ¬X␈ελe␈↓ ¬z␈ελV␈↓ ε≤␈ε⊗␈␈↓ εl␈εα/␈↓ ε}␈ελU␈↓ π≤␈εα.␈α↔(No␈α␈w␈↓ λ≠␈ελX␈↓ λD␈εαis␈αthe␈αratio␈αof␈α
the␈αcoor-
␈βN␈↓ εL␈∧NεLα∂
␈βO␈↓ βC␈ε↓p
␈βQ␈↓ βλ␈ε↓␈␈↓ ∧ ␈ε↓␈␈↓ ¬∩␈ε↓↓␈↓ ¬ ␈ε↓↓␈↓ εL␈ε¬2
␈βj␈↓ βg␈∧jβgα3
␈βm␈↓ ∧␈␈ε¬1
␈βp␈↓ α␈εαdinates␈↓ β⊗␈ελU␈↓ β3␈εα,␈↓ βg␈εα8/␈↓ ∧␈ελe␈↓ ∧.␈ελV␈↓ ∧O␈ε⊗␈␈↓ ¬:␈εαof␈αa␈αrandom␈αpoin␈α␈t␈αin␈αthe␈αrectangle␈αthat␈αencloses
␈β␈↓ ∧␈␈∧∧␈α∂
␈ββ␈↓ ∧␈␈ε¬2
␈β≠␈↓ α␈εαthe␈α∞shaded␈α∞region␈α∞in␈α
Fig.␈α∞13.␈α∩We␈α∞will␈α
accept␈↓ πd␈ελX␈↓ λ⊂␈εαif␈α∞the␈α∞corresponding␈α
poin␈α␈t
␈βG␈↓ α␈εαactually␈αlies␈α\in␈αthe␈αshade,"␈αotherwise␈αw␈α␈e␈αwill␈αtry␈αagain.)
␈β⎇␈↓ ε&␈ε¬2␈↓ πQ␈ε¬1␈α↓/4
␈β
α␈↓ ↓I␈ε∩R2.␈↓ α␈εα[Optional␈αupper␈αbound␈αtest.]␈α_If␈↓ ελ␈ελX␈↓ ε?␈ε⊗∀␈εα␈α
5␈ε⊗␈απ␈␈εα␈απ4␈↓ πC␈ελe␈↓ π⎇␈ελU␈↓ λ~␈εα,␈αoutput␈↓ 	%␈ελX␈↓ 	O␈εαand␈αterminate
␈β
-␈↓ α␈εαthe␈αalgorithm.␈α→(This␈αstep␈αcan␈αbe␈αomitted␈αif␈αdesired;␈αit␈αtests␈αwhether␈αor␈αnot
␈β
X␈↓ α␈εαthe␈αselected␈αpoin␈α␈t␈αis␈αin␈αthe␈αin␈α␈terior␈αregion␈αof␈αFig.␈α13,␈αmaking␈αit␈αunnecessary
␈β∞β␈↓ α␈εαto␈αcalculate␈αa␈αlogarithm.)
␈β∞:␈↓ ε⊃␈ε¬2␈↓ εw␈ε→␈␈ε¬1␈α↓.35
␈β∞?␈↓ ↓I␈ε∩R3.␈↓ α␈εα[Optional␈α	lo␈α␈w␈α␈er␈α
bound␈α	test.]␈α∪If␈↓ ¬s␈ελX␈↓ ε)␈ε⊗∃␈εα␈α
4␈↓ εi␈ελe␈↓ πG␈εα/␈↓ πY␈ελU␈↓ π|␈εα+␈α∧1.4,␈α
go␈α
back␈α	to␈α	R1.␈α∪(This
␈β∞j␈↓ α␈εαstep␈αλalso␈αλcould␈αλbe␈αλomitted;␈α	it␈αλtests␈αλwhether␈αλor␈αλnot␈αλthe␈αλselected␈αλpoin␈α␈t␈αλis␈αλoutside
␈β∂∃␈↓ α␈εαthe␈απexterior␈αλregion␈απof␈απFig.␈απ13,␈α	making␈απit␈απunnecessary␈αλto␈απcalculate␈απa␈απlogarithm.)
␈β∂K␈↓ ∧/␈ε¬2
␈β∂P␈↓ ↓I␈ε∩R4.␈↓ α␈εα[Final␈α⊃test.]␈α!If␈↓ ∧⊃␈ελX␈↓ ∧O␈ε⊗∀␈α∩␈␈εα4/␈↓ ¬M␈εαln␈↓ ¬q␈ελU␈↓ ε∂␈εα,␈α∩output␈↓ π&␈ελX␈↓ πT␈εαand␈α⊃terminate␈α⊃the␈α⊂algorithm.
␈β∂|␈↓ α␈εαOtherwise␈αgo␈αback␈αto␈αR1.
␈β⊂↓␈↓ ¬G␈∧⊂↓¬G≠∂
␈β⊂F␈↓ α␈εαEx␈α␈ercises␈α20␈α
and␈α21␈αw␈α␈ork␈α
out␈αthe␈αtiming␈αanalysis;␈α
four␈αdi{eren␈α␈t␈αalgorithms
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαare␈α∞analyzed,␈α∞since␈α∞steps␈α∞R2␈α
and␈α∞R3␈α∞can␈α∞be␈α∞included␈α∞or␈α∞omitted␈α∞depending␈α
on
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαone's␈α∞preference.␈α∩The␈α∞follo␈α␈wing␈α∞table␈α∞sho␈α␈ws␈α∞ho␈α␈w␈α∞man␈α␈y␈α∞times␈α∞each␈α∞step␈α∞will␈α∞be
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα124␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.4.1
␈βλ3␈↓ λS␈ε∪Fig.␈α⊂1␈α␈3.␈εβ␈α"Region␈α∂of
␈βλZ␈↓ λS␈εβ\␈α␈accep␈α␈tan␈α␈ce"␈α∞in␈α∞the
␈β	α␈↓ λS␈εβra␈α␈ti␈α↓o␈α-␈αof␈α-␈αu␈α␈niforms
␈β	)␈↓ λS␈εβme␈α␈tho␈α␈d␈α∃for␈α∃n␈α␈orma␈α␈l
␈β	Q␈↓ λS␈εβd␈α␈eviat␈α␈es.␈αL␈α↓e␈α␈ngth␈α␈s␈αof
␈β	y␈↓ λS␈εβlines␈αεwith␈αεco␈α␈ord␈α␈i␈α↓n␈α␈ate
␈β
 ␈↓ λS␈εβra␈α␈ti␈α↓o␈↓ 	 ␈ε	x␈↓ 	:␈εβha␈α␈v␈α␈e␈αλthe␈αλnor-
␈β
H␈↓ λS␈εβma␈α␈l␈αd␈α␈istribu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.
␈β⊃␈↓ ↓H␈εαperformed,␈αon␈αthe␈αav␈α␈erage,␈αdepending␈αon␈αwhich␈αof␈αthe␈αoptional␈αtests␈αis␈αapplied:
␈βR␈↓ βn␈εαStep␈↓ ∧X␈εαNeither␈↓ ¬r␈εαR2␈αonly␈↓ π∪␈εαR3␈αonly␈↓ λ7␈εαBoth
␈β
¬␈↓ β{␈εαR1␈↓ ∧j␈εα1.369␈↓ ελ␈εα1.369␈↓ π)␈εα1.369␈↓ λ4␈εα1.369
␈β
)␈↓ 
p␈εα(25)
␈β
0␈↓ β{␈εαR2␈↓ ¬
␈εα0␈↓ ελ␈εα1.369␈↓ πI␈εα0␈↓ λ4␈εα1.369
␈β
[␈↓ β{␈εαR3␈↓ ¬
␈εα0␈↓ ε(␈εα0␈↓ π)␈εα1.369␈↓ λ4␈εα0.467
␈β∞ε␈↓ β{␈εαR4␈↓ ∧j␈εα1.369␈↓ ελ␈εα0.467␈↓ π)␈εα1.134␈↓ λ4␈εα0.232
␈β∞A␈↓ ↓H␈εαTh␈α␈us␈α	it␈α
pays␈α	to␈α
omit␈α	the␈α
optional␈α	tests␈α
if␈α	there␈α
is␈α	a␈α
v␈α␈ery␈α	fast␈α
logarithm␈α	operation,
␈β∞l␈↓ ↓H␈εαbut␈αif␈αthe␈αlog␈αroutine␈αis␈αrather␈αslo␈α␈w␈αit␈αpays␈αto␈αinclude␈αthem.
␈β∂↔␈↓ α␈εαBut␈α
wh␈α␈y␈α
does␈αit␈α
w␈α␈ork?␈α∞One␈α
reason␈α
is␈α
that␈αw␈α␈e␈α
can␈α
calculate␈α
the␈αprobability
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α∀␈ελX␈↓ α<␈ε⊗∀␈↓ αj␈ελx␈↓ α⎇␈εα,␈αand␈α
it␈αturns␈αout␈α
to␈αbe␈α
the␈αcorrect␈αvalue␈α
(10).␈αBut␈α
such␈αa␈α
calculation
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαisn't␈α
v␈α␈ery␈α
easy␈α
unless␈α∞one␈α
happens␈α
to␈α
hit␈α∞on␈α
the␈α
righ␈α␈t␈α
\trick,"␈α∞and␈α
an␈α␈yway␈α
it's
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαbetter␈αto␈αunderstand␈αho␈α␈w␈αthe␈αalgorithm␈α
migh␈α␈t␈αhav␈α␈e␈αbeen␈αdisco␈α␈v␈α␈ered␈αin␈αthe␈α|rst
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαplace.␈α∃Kinderman␈α∂and␈α∂Monahan␈α∂deriv␈α␈ed␈α∂it␈α∂by␈α∂w␈α␈orking␈α∂out␈α∂a␈α∂theory␈α∂that␈α∂can
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαbe␈α∂used␈α∂with␈α⊂an␈α␈y␈α∂w␈α␈ell-behav␈α␈ed␈α∂density␈α⊂function␈↓ πZ␈ελf␈↓ πk␈εα(␈↓ πw␈ελx␈↓ λ
␈εα)␈α∨[cf.␈ε∂␈α⊂A␈α␈CM␈α∂Trans.␈α∂Math.
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ε∂Soft␈α␈ware␈ε∩␈α3␈εα␈α(1977),␈α257↑260].
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.4.1␈ε∞␈↓ π+NUMERICAL␈α	DIST␈α␈RIBUT␈α␈IONS␈↓ 
v␈εα125
␈βα&␈↓ α␈εαIn␈α∞general,␈α∞suppose␈α∞that␈α∞a␈α
poin␈α␈t␈α∞(␈↓ ε$␈ελU␈↓ εB␈εα,␈↓ εR␈ελV␈↓ εl␈εα)␈α
has␈α∞been␈α∞generated␈α∞uniformly␈α
o␈α␈v␈α␈er
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαthe␈αregion␈αof␈αthe␈α(␈↓ βf␈ελu␈↓ β{␈εα,␈↓ ∧␈ελv␈↓ ∧≡␈εα)-plane␈αde|ned␈αby
␈ββ≤␈↓ εL␈ε¬2
␈ββ#␈↓ ∧}␈ελu␈↓ ¬≡␈εα>␈α
0,␈↓ ε6␈ελu␈↓ εd␈ε⊗∀␈↓ π∩␈ελg␈↓ π#␈εα(␈↓ π/␈ελv␈↓ πB␈εα/␈↓ πT␈ελu␈↓ πj␈εα)␈↓ 
p␈εα(26)
␈ββt␈↓ ↓H␈εαfor␈αsome␈αnonnegativ␈α␈e␈αin␈α␈tegrable␈αfunction␈↓ εU␈ελg␈↓ εf␈εα.␈αIf␈αw␈α␈e␈αset␈↓ λ␈ελX␈↓ λ4␈ε⊗ ␈↓ λb␈ελV␈↓ λ|␈εα/␈↓ 	∞␈ελU␈↓ 	+␈εα,␈αthe␈αprobability
␈β∧∨␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α∪␈ελX␈↓ α;␈ε⊗∀␈↓ αi␈ελx␈↓ β¬␈εαcan␈α
be␈α	calculated␈α	by␈α
in␈α␈tegrating␈↓ ε␈␈ελd␈↓ π∪␈ελu␈↓ π/␈ελd␈↓ πC␈ελv␈↓ π←␈εαo␈α␈v␈α␈er␈α
the␈α	region␈α
de|ned␈α	by␈α	the
␈β∧J␈↓ ↓H␈εαt␈α␈w␈α␈o␈αrelations␈αin␈α(26)␈αplus␈αthe␈αauxiliary␈αcondition␈↓ πN␈ελv␈↓ πa␈εα/␈↓ πs␈ελu␈↓ λ∩␈ε⊗∀␈↓ λ@␈ελx␈↓ λS␈εα,␈αthen␈αdividing␈αby␈αthe
␈β∧u␈↓ ↓H␈εαsame␈α
in␈α␈tegral␈α∞without␈α
this␈α∞extra␈α
condition.␈α⊃Letting␈↓ λ∧␈ελv␈↓ λ$␈εα=␈↓ λT␈ελt␈↓ λa␈ελu␈↓ 	¬␈εαso␈α
that␈↓ 
α␈ελd␈↓ 
⊗␈ελv␈↓ 
5␈εα=␈↓ 
f␈ελu␈↓ ↓␈ελd␈↓ ∃␈ελt␈↓ "␈εα,
␈β¬ ␈↓ ↓H␈εαthe␈αin␈α␈tegral␈αbecomes
␈β¬m␈↓ ∧∀␈ε↓Z␈↓ ¬∀␈ε↓Z␈↓ π,␈ε↓Z
␈β¬n␈↓ ¬\␈∧¬n¬\α,
␈β¬o␈↓ ¬8␈ε⊗p
␈β¬v␈↓ ∧8␈εx␈↓ ¬\␈εg␈↓ ¬j␈ε¬(␈↓ ¬t␈εt␈↓ ¬␈␈ε¬)␈↓ πP␈εx
␈βε∧␈↓ π⊂␈εα1
␈βε~␈↓ ∧m␈ελd␈↓ ¬↓␈ελt␈↓ ε∞␈ελu␈↓ ε*␈ελd␈↓ ε>␈ελu␈↓ ε↑␈εα=␈↓ π␈␈ελg␈↓ λ⊂␈εα(␈↓ λ≤␈ελt␈↓ λ)␈εα)␈↓ λ;␈ελd␈↓ λO␈ελt␈↓ λ\␈εα.
␈βε+␈↓ π⊂␈∧ε+π⊂α∩
␈βε3␈↓ π⊂␈εα2
␈βε>␈↓ ∧(␈ε→␈␈α␈1␈↓ ¬(␈ε¬0␈↓ π@␈ε→␈␈α␈1
␈βπλ␈↓ ↓H␈εαHence␈αthe␈αprobability␈αthat␈↓ ∧x␈ελX␈↓ ¬ ␈ε⊗∀␈↓ ¬N␈ελx␈↓ ¬l␈εαis
␈βπJ␈↓ ∧a␈ε↓Z␈↓ εH␈ε↓Z
␈βπR␈↓ ¬¬␈εx␈↓ εl␈ε¬+␈ε→1
␈βπ\␈↓ ε≤␈ε↓≡
␈βπw␈↓ ¬5␈ελg␈↓ ¬F␈εα(␈↓ ¬R␈ελt␈↓ ¬←␈εα)␈↓ ¬q␈ελd␈↓ ε¬␈ελt␈↓ π+␈ελg␈↓ π=␈εα(␈↓ πI␈ελt␈↓ πV␈εα)␈↓ πh␈ελd␈↓ π|␈ελt␈↓ λ	␈εα.␈↓ 
p␈εα(27)
␈βλ~␈↓ ∧u␈ε→␈1␈↓ ε\␈ε→␈1
␈βλ\␈↓ λR␈επ2
␈βλ←␈↓ λ*␈ε→␈␈↓ λG␈εt␈↓ λ]␈ε¬/2
␈βλd␈↓ α␈εαThe␈α∞normal␈α∞distribution␈α∞comes␈α∞out␈α∞when␈↓ π(␈ελg␈↓ π9␈εα(␈↓ πE␈ελt␈↓ πR␈εα)␈α
=␈↓ λ≤␈ελe␈↓ λz␈εα;␈α∂and␈α∞the␈α
condition
␈β	
␈↓ ↓]␈ε¬2␈↓ εb␈ε¬2
␈β	⊂␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓v␈ε⊗∀␈↓ α$␈ελg␈↓ α5␈εα(␈↓ αA␈ελv␈↓ αT␈εα/␈↓ αf␈ελu␈↓ α{␈εα)␈αsimpli|es␈αin␈αthis␈α
case␈αto␈α(␈↓ ε≤␈ελv␈↓ ε/␈εα/␈↓ εA␈ελu␈↓ εV␈εα)␈↓ ε{␈ε⊗∀␈α
␈␈εα4␈↓ πe␈εαln␈↓ λ	␈ελu␈↓ λ≡␈εα.␈αIt␈αis␈α
easy␈αto␈αsee␈αthat␈α
the
␈β	;␈↓ ↓H␈εαset␈α∞of␈α∞all␈α∂(␈↓ αo␈ελu␈↓ β∧␈εα,␈↓ β∀␈ελv␈↓ β'␈εα)␈α∞satisfying␈α∂this␈α∞relation␈α∞is␈α∂en␈α␈tirely␈α∞con␈α␈tained␈α∞in␈α∂the␈α∞rectangle␈α∞of
␈β	f␈↓ ↓H␈εαFig.␈α13.
␈β
⊃␈↓ α␈εαThe␈α⊂bounds␈α∂in␈α⊂steps␈α⊂R2␈α∂and␈α⊂R3␈α∂de|ne␈α⊂in␈α␈terior␈α⊂and␈α∂exterior␈α⊂regions␈α∂with
␈β
<␈↓ ↓H␈εαsimpler␈αboundary␈αequations.␈αThe␈αw␈α␈ell-kno␈α␈wn␈αinequality
␈βπ␈↓ ¬l␈εx
␈β
␈↓ ¬↑␈ελe␈↓ εε␈ε⊗∃␈εα␈α
1␈αλ+␈↓ εz␈ελx␈↓ π␈εα,
␈β↑␈↓ ↓H␈εαwhich␈αholds␈αfor␈αall␈αreal␈αn␈α␈um␈α␈bers␈↓ ¬N␈ελx␈↓ ¬`␈εα,␈αcan␈αbe␈αused␈αto␈αsho␈α␈w␈αthat
␈β0␈↓ βZ␈εα1␈αλ+␈↓ ∧ ␈εαln␈↓ ∧D␈ελc␈↓ ∧Z␈ε⊗␈␈↓ ¬ε␈ελc␈↓ ¬∃␈ελu␈↓ ¬>␈ε⊗∀␈α∀␈␈↓ ε ␈εαln␈↓ εD␈ελu␈↓ εn␈ε⊗∀␈εα␈α∀1/␈↓ πJ␈ελc␈↓ πX␈ελu␈↓ πv␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈αλ+␈↓ λh␈εαln␈↓ 	␈ελc␈↓ 
p␈εα(28)
␈β|␈↓ λB␈ε¬1/␈α↓4
␈β
↓␈↓ ↓H␈εαfor␈α∞an␈α␈y␈α∂constan␈α␈t␈↓ β↑␈ελc␈↓ β{␈εα>␈α∂0.␈α∀Ex␈α␈ercise␈α∂21␈α∂pro␈α␈v␈α␈es␈α∂that␈↓ πd␈ελc␈↓ λ↓␈εα=␈↓ λ4␈ελe␈↓ λ|␈εαis␈α∂the␈α∂best␈α∞possible
␈β
,␈↓ ↓H␈εαconstan␈α␈t␈α
to␈α∞use␈α
in␈α∞step␈α
R2.␈α⊂The␈α∞situation␈α
is␈α∞more␈α
complicated␈α∞in␈α
step␈α∞R3,␈α
and
␈β
W␈↓ ↓H␈εαthere␈αdoesn't␈α
seem␈αto␈αbe␈αa␈αsimple␈αexpression␈αfor␈αthe␈αoptim␈α␈um␈↓ 	∪␈ελc␈↓ 	,␈εαin␈α
that␈αcase,␈αbut
␈β∞α␈↓ ↓H␈εαcomputational␈α∂experimen␈α␈ts␈α⊂sho␈α␈w␈α⊂that␈α∂the␈α⊂best␈α⊂value␈α∂for␈α⊂R3␈α⊂is␈α∂appro␈α␈ximately
␈β∞(␈↓ ↓V␈ε¬1.3␈α↓5
␈β∞-␈↓ ↓H␈ελe␈↓ α	␈εα.␈α_The␈α∂appro␈α␈ximating␈α⊂curv␈α␈es␈α⊂(28)␈α⊂are␈α⊂tangen␈α␈t␈α⊂to␈α⊂the␈α⊂true␈α⊂boundary␈α∂when
␈β∞Y␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓g␈εα=␈α
1/␈↓ α9␈ελc␈↓ αG␈εα.
␈β∂∧␈↓ α␈εαIt␈αis␈αpossible␈αto␈αobtain␈α
a␈αfaster␈αmethod␈αby␈αpartitioning␈αthe␈αregion␈αin␈α␈to␈αsub-
␈β∂/␈↓ ↓H␈εαregions,␈αmost␈αof␈αwhich␈αcan␈αbe␈αhandled␈αmore␈αquickly.␈αOf␈αcourse,␈αthis␈αmeans␈αthat
␈β∂Z␈↓ ↓H␈εαauxiliary␈αtables␈αwill␈αbe␈αneeded,␈αas␈αin␈αAlgorithms␈αM␈αand␈αF.
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εα(␈ελ5␈↓ ↓k␈εα)␈ε∂␈αVariations␈α
of␈αthe␈αnormal␈α
distribution␈εα.␈α⊗So␈αfar␈αw␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈αconsidered␈αthe␈α
normal
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαdistribution␈απwith␈απmean␈απzero␈αεand␈απstandard␈απdeviation␈απone.␈αIf␈↓ λJ␈ελX␈↓ λo␈εαhas␈αεthis␈απdistribution,
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαthen
␈β⊃~␈↓ ¬T␈ελY␈↓ ¬y␈εα=␈↓ ε'␈ελ⊗␈↓ εB␈εα+␈↓ εn␈ελ≠␈↓ πα␈ελX␈↓ 
p␈εα(29)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα126␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.4.1
␈βα(␈↓ ↓H␈εαhas␈α	the␈α	normal␈α	distribution␈α	with␈α	mean␈↓ ε$␈ελ⊗␈↓ ε@␈εαand␈α	standard␈α	deviation␈↓ 	1␈ελ≠␈↓ 	E␈εα.␈αFurthermore,
␈βαS␈↓ ↓H␈εαif␈↓ ↓o␈ελX␈↓ α'␈εαand␈↓ αr␈ελX␈↓ β*␈εαare␈α⊃independen␈α␈t␈α⊃normal␈α⊃deviates␈α⊃with␈α⊃mean␈α⊃zero␈α⊃and␈α⊂standard
␈βαa␈↓ αλ␈ε¬1␈↓ β␈ε¬2
␈βα}␈↓ ↓H␈εαdeviation␈αone,␈αand␈αif
␈ββ+␈↓ λ ␈ε↓p
␈ββF␈↓ λD␈∧βFλDαg
␈ββM␈↓ 	≤␈ε¬2
␈ββO␈↓ βε␈ελY␈↓ β4␈εα=␈↓ βb␈ελ⊗␈↓ ∧␈εα+␈↓ ∧7␈ελ≠␈↓ ∧V␈ελX␈↓ ∧}␈εα,␈↓ ¬V␈ελY␈↓ εβ␈εα=␈↓ ε1␈ελ⊗␈↓ εZ␈εα+␈↓ πε␈ελ≠␈↓ π&␈εα(␈↓ π2␈ελ~␈↓ πD␈ελX␈↓ πt␈εα+␈↓ λD␈εα1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ 	
␈ελ~␈↓ 	0␈ελX␈↓ 	X␈εα),␈↓ 
p␈εα(30)
␈ββ\␈↓ β≠␈ε¬1␈↓ βu␈ε¬1␈↓ ∧H␈ε¬1␈↓ ∧o␈ε¬1␈↓ ¬k␈ε¬2␈↓ εD␈ε¬2␈↓ π↔␈ε¬2␈↓ π]␈ε¬1␈↓ 	I␈ε¬2
␈β∧~␈↓ ↓H␈εαthen␈↓ α⊗␈ελY␈↓ αB␈εαand␈↓ β¬␈ελY␈↓ β1␈εαare␈ε∂␈αλdependen␈α␈t␈εα␈α	random␈αλvariables,␈α
normally␈αλdistributed␈α	with␈αλmeans
␈β∧'␈↓ α+␈ε¬1␈↓ β~␈ε¬2
␈β∧E␈↓ ↓H␈ελ⊗␈↓ ↓i␈εα,␈↓ ↓␈␈ελ⊗␈↓ α,␈εαand␈α
standard␈αdeviations␈↓ ¬5␈ελ≠␈↓ ¬U␈εα,␈↓ ¬k␈ελ≠␈↓ ε
␈εα,␈αand␈α
with␈αcorrelation␈αcoe}cien␈α␈t␈↓ 
∀␈ελ~␈↓ 
'␈εα.␈α→(For␈αa
␈β∧R␈↓ ↓Z␈ε¬1␈↓ α∩␈ε¬2␈↓ ¬F␈ε¬1␈↓ ¬|␈ε¬2
␈β∧p␈↓ ↓H␈εαgeneralization␈αto␈↓ βZ␈ελn␈↓ β{␈εαvariables,␈αsee␈αex␈α␈ercise␈α13.)
␈β¬,␈↓ ↓H␈ε∩D.␈αλThe␈αλexponen␈α␈tial␈απdistribution.␈εα␈α⊂After␈αλuniform␈αλdeviates␈αλand␈αλnormal␈αλdeviates,␈αλthe
␈β¬W␈↓ ↓H␈εαnext␈αmost␈αimportan␈α␈t␈αrandom␈αquan␈α␈tity␈αis␈α
an␈ε∂␈αexponen␈α␈tial␈αdeviate.␈εα␈αSuch␈αn␈α␈um␈α␈bers
␈βεα␈↓ ↓H␈εαoccur␈αin␈α\arrival␈αtime"␈αsituations;␈αfor␈α
example,␈αif␈αa␈αradioactiv␈α␈e␈αsubstance␈αemits
␈βε-␈↓ ↓H␈εαalpha␈α
particles␈α
at␈α
a␈α
rate␈α∞so␈α
that␈α
one␈α
particle␈α
is␈α∞emitted␈α
ev␈α␈ery␈↓ 	#␈ελ⊗␈↓ 	D␈εαseconds␈α
on␈α
the
␈βεY␈↓ ↓H␈εαav␈α␈erage,␈α⊃then␈α⊃the␈α⊃time␈α⊂bet␈α␈w␈α␈een␈α⊃t␈α␈w␈α␈o␈α⊃successiv␈α␈e␈α⊂emissions␈α⊃has␈α⊃the␈α⊂exponen␈α␈tial
␈βπ∧␈↓ ↓H␈εαdistribution␈αwith␈αmean␈↓ ∧>␈ελ⊗␈↓ ∧R␈εα.␈αThis␈αdistribution␈αis␈αde|ned␈αby␈αthe␈αform␈α␈ula
␈βπH␈↓ ε≥␈ε→␈␈↓ ε:␈εx␈↓ εJ␈ε¬/␈↓ εX␈ε⊗
␈βπN␈↓ ∧M␈ελF␈↓ ∧f␈εα(␈↓ ∧r␈ελx␈↓ ¬¬␈εα)␈α
=␈α
1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ε∂␈ελe␈↓ εh␈εα,␈↓ π@␈ελx␈↓ π]␈ε⊗∃␈εα␈α
0.␈↓ 
p␈εα(31)
␈βλ$␈↓ λ⊃␈ε→␈␈↓ λ.␈εx␈↓ λ>␈ε¬/␈↓ λL␈ε⊗␈↓ 
'␈ε→␈␈ε¬1
␈βλ*␈↓ ↓H␈εα(␈ελ1␈↓ ↓k␈εα)␈ε∂␈αLogarithm␈αmethod.␈εα␈α↔Clearly,␈αif␈↓ ¬v␈ελy␈↓ ε∀␈εα=␈↓ εB␈ελF␈↓ ε\␈εα(␈↓ εh␈ελx␈↓ ε{␈εα)␈α
=␈α
1␈ε⊗␈απ␈␈↓ λβ␈ελe␈↓ λ\␈εα,␈αthen␈↓ 	C␈ελx␈↓ 	`␈εα=␈↓ 
∞␈ελF␈↓ 
R␈εα(␈↓ 
↑␈ελy␈↓ 
r␈εα)␈α
=
␈βλU␈↓ ↓H␈ε⊗␈␈↓ ↓l␈ελ⊗␈↓ αε␈εαln␈↓ α$␈εα(1␈ε⊗␈αα␈␈↓ αj␈ελy␈↓ α}␈εα).␈α
Therefore␈αλby␈απEq.␈αλ(7),␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ε	␈ελ⊗␈↓ ε#␈εαln␈↓ εA␈εα(1␈ε⊗␈αα␈␈↓ πλ␈ελU␈↓ π%␈εα)␈αλhas␈απthe␈αλexponen␈α␈tial␈απdistribution.
␈β	␈↓ ↓H␈εαSince␈α1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ αl␈ελU␈↓ β∃␈εαis␈αuniformly␈αdistributed␈αwhen␈↓ εu␈ελU␈↓ π∨␈εαis,␈αw␈α␈e␈αconclude␈αthat
␈β	K␈↓ ¬O␈ελX␈↓ ¬w␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈↓ εI␈ελ⊗␈↓ εc␈εαln␈↓ ππ␈ελU␈↓ 
p␈εα(32)
␈β
∃␈↓ ↓H␈εαis␈αexponen␈α␈tially␈αdistributed␈αwith␈αmean␈↓ ε5␈ελ⊗␈↓ εI␈εα.␈α→(The␈αcase␈↓ λ∞␈ελU␈↓ λ5␈εα=␈α
0␈αm␈α␈ust␈αbe␈αav␈α␈oided.)
␈β
Q␈↓ ↓H␈εα(␈ελ2␈↓ ↓k␈εα)␈ε∂␈α	Random␈α	minimization␈α
method␈εα.␈α∩We␈α
saw␈α	in␈α	Algorithm␈α	F␈α
that␈α	there␈α	are␈α	simple
␈β
|␈↓ ↓H␈εαand␈α⊂fast␈α⊃alternativ␈α␈es␈α⊂to␈α⊃calculating␈α⊃the␈α⊂logarithm␈α⊃of␈α⊂a␈α⊃uniform␈α⊃deviate.␈α→The
␈β'␈↓ ↓H␈εαfollo␈α␈wing␈α
especially␈α∞e}cien␈α␈t␈α
approach␈α∞has␈α
been␈α∞dev␈α␈eloped␈α
by␈α∞G.␈α∞Marsaglia,␈α
M.
␈βS␈↓ ↓H␈εαSibuya,␈αand␈αJ.␈αH.␈αAhrens.
␈β∞␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈α
S␈εα␈α
(␈ε∂Exponen␈α␈tial␈α
distribution␈α
with␈α
mean␈ελ␈α
⊗␈↓ πy␈εα)␈ε∩.␈εα␈α≠This␈α
algorithm␈α
produces
␈β9␈↓ ↓H␈εαexponen␈α␈tial␈α∂deviates␈α∂on␈α⊂a␈α∂binary␈α⊂computer,␈α⊂using␈α∂uniform␈α⊂deviates␈α∂with␈↓ 
g␈ελt␈↓ 
t␈εα-bit
␈βe␈↓ ↓H␈εαaccuracy.␈αThe␈αconstan␈α␈ts
␈β
(␈↓ ¬u␈ε¬2␈↓ πk␈εk
␈β
-␈↓ ¬'␈εα(␈↓ ¬3␈εαln␈↓ ¬W␈εα2␈↓ ¬i␈εα)␈↓ π≥␈εα(␈↓ π)␈εαln␈↓ πM␈εα2␈↓ π←␈εα)
␈β
/␈↓ ∧5␈εαln␈↓ ∧Y␈εα2
␈β
F␈↓ β9␈ελQ␈↓ βS␈εα[␈↓ β]␈ελk␈↓ βo␈εα]␈α
=␈↓ ∧w␈εα+␈↓ ε∂␈εα+␈↓ ε;␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εm␈εα+␈↓ π}␈εα,␈↓ λV␈ελk␈↓ λq␈ε⊗∃␈εα␈α
1,␈↓ 
p␈εα(33)
␈β
V␈↓ ∧5␈∧
V∧5α6␈↓ ¬'␈∧
V¬'α]␈↓ π≥␈∧
Vπ≥α]
␈β
↑␈↓ ∧B␈εα1!␈↓ ¬G␈εα2!␈↓ π=␈ελk␈↓ πO␈εα!
␈β∞≠␈↓ λ↔␈ε¬1␈ε→␈␈↓ λB␈εt
␈β∞ ␈↓ ↓H␈εαshould␈αbe␈αprecomputed,␈αextending␈αun␈α␈til␈↓ εG␈ελQ␈↓ εa␈εα[␈↓ εk␈ελk␈↓ ε⎇␈εα]␈α
>␈α
1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ λ¬␈εα2␈↓ λL␈εα.
␈β∞S␈↓ ↓P␈ε∩S1.␈↓ α␈εα[Get␈↓ αd␈ελU␈↓ β⊗␈εαand␈α∀shift.]␈α(Generate␈α∀a␈α∀uniform␈α∃random␈α∀binary␈α∀fraction␈↓ 
S␈ελU␈↓ λ␈εα=
␈β∞}␈↓ α␈εα(.␈↓ α"␈ελb␈↓ α=␈ελb␈↓ α←␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β∂␈ελb␈↓ β&␈εα)␈↓ βA␈εα;␈α
locate␈αλthe␈α	|rst␈α	zero␈α	bit␈↓ ε8␈ελb␈↓ εS␈εα,␈α	and␈α	shift␈α	o{␈αλthe␈α	leading␈↓ 	\␈ελj␈↓ 	u␈εαbits,␈α	setting
␈β∂␈↓ α/␈ε¬1␈↓ αJ␈ε¬2␈↓ β≤␈εt␈↓ β2␈ε¬2␈↓ εE␈εj
␈β∂*␈↓ α␈ελU␈↓ α4␈ε⊗ ␈εα␈α
(.␈↓ αx␈ελb␈↓ βC␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βs␈ελb␈↓ ∧␈εα)␈↓ ∧%␈εα.␈α→(As␈αin␈αAlgorithm␈αF␈↓ εv␈εα,␈αthe␈αav␈α␈erage␈αvalue␈αof␈↓ 	W␈ελj␈↓ 	t␈εαis␈α2.)
␈β∂7␈↓ β¬␈εj␈↓ β∩␈ε¬+1␈↓ ∧␈εt␈↓ ∧↔␈ε¬2
␈β∂]␈↓ ↓P␈ε∩S2.␈↓ α␈εα[Immediate␈αacceptance?]␈α~If␈↓ ¬H␈ελU␈↓ ¬o␈εα<␈↓ ε≡␈εαln␈↓ εB␈εα2,␈αset␈↓ π"␈ελX␈↓ πJ␈ε⊗ ␈↓ πx␈ελ⊗␈↓ λ␈εα(␈↓ λ_␈ελj␈↓ λ.␈εαln␈↓ λR␈εα2␈α	+␈↓ 	→␈ελU␈↓ 	6␈εα)␈αand␈αterminate
␈β⊂λ␈↓ α␈εαthe␈αalgorithm.␈α→(Note␈αthat␈↓ ¬7␈ελQ␈↓ ¬Q␈εα[1]␈α
=␈↓ ε/␈εαln␈↓ εS␈εα2.)
␈β⊂<␈↓ ↓P␈ε∩S3.␈↓ α␈εα[Minimize.]␈α Find␈α⊂the␈α∂least␈↓ ¬M␈ελk␈↓ ¬o␈ε⊗∃␈εα␈α⊂2␈α⊂such␈α⊂that␈↓ πl␈ελU␈↓ λ~␈εα<␈↓ λN␈ελQ␈↓ λh␈εα[␈↓ λr␈ελk␈↓ 	∧␈εα].␈α↔Generate␈↓ 
M␈ελk␈↓ 
n␈εαnew
␈β⊂g␈↓ α␈εαuniform␈αdeviates␈↓ ∧ ␈ελU␈↓ ∧E␈εα,␈↓ ∧[␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬␈εα,␈↓ ¬!␈ελU␈↓ ¬S␈εαand␈αset␈↓ εQ␈ελV␈↓ εu␈ε⊗ ␈↓ π#␈εαmin␈↓ π←␈εα(␈↓ πk␈ελU␈↓ λ⊂␈εα,␈↓ λ ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λP␈εα,␈↓ λ`␈ελU␈↓ 	ε␈εα).
␈β⊂t␈↓ ∧7␈ε¬1␈↓ ¬8␈εk␈↓ λα␈ε¬1␈↓ λw␈εk
␈β⊃~␈↓ ↓P␈ε∩S4.␈↓ α␈εα[Deliv␈α␈er␈αthe␈αansw␈α␈er.]␈α→Set␈↓ ¬'␈ελX␈↓ ¬O␈ε⊗ ␈↓ ¬⎇␈ελ⊗␈↓ ε⊃␈εα(␈↓ ε≥␈ελj␈↓ ε5␈εα+␈↓ εa␈ελV␈↓ ε{␈εα)␈↓ π
␈εαln␈↓ π1␈εα2.
␈β⊃∨␈↓ πu␈∧⊃∨πu≠∂
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.4.1␈ε∞␈↓ π+NUMERICAL␈α	DIST␈α␈RIBUT␈α␈IONS␈↓ 
v␈εα127
␈βα&␈↓ α␈εαAlternativ␈α␈e␈αways␈αto␈αgenerate␈αexponen␈α␈tial␈αdeviates␈α(e.g.,␈αa␈αratio␈αof␈αuniforms
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαas␈αin␈αAlgorithm␈αR)␈αmigh␈α␈t␈αalso␈αbe␈αused.
␈ββ*␈↓ ↓H␈ε∩E.␈α∞Other␈α∞con␈α␈tin␈α␈uous␈α∂distributions.␈εα␈α≥Let␈α∞us␈α∂no␈α␈w␈α∞consider␈α∞brie⎇y␈α∂ho␈α␈w␈α∞to␈α∞handle
␈ββU␈↓ ↓H␈εαsome␈αother␈αdistributions␈αthat␈αarise␈αreasonably␈αoften␈αin␈αpractice.
␈β∧B␈↓ ↓H␈εα(␈ελ1␈↓ ↓k␈εα)␈ε∂␈αThe␈αgamma␈αdistribution␈εα␈αof␈αorder␈↓ ε↔␈ελa␈↓ ε3␈εα>␈α
0␈αis␈αde|ned␈αby
␈β¬∞␈↓ ¬Q␈ε↓Z
␈β¬↔␈↓ ¬u␈εx
␈β¬$␈↓ ¬≡␈εα1
␈β¬5␈↓ ε_␈εa␈↓ ε&␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ε`␈ε→␈␈↓ ε⎇␈εt
␈β¬;␈↓ ∧π␈ελF␈↓ ∧ ␈εα(␈↓ ∧,␈ελx␈↓ ∧?␈εα)␈α
=␈↓ ε␈ελt␈↓ εR␈ελe␈↓ π
␈ελd␈↓ π!␈ελt␈↓ π.␈εα,␈↓ λε␈ελx␈↓ λ#␈ε⊗∃␈εα␈α
0.␈↓ 
p␈εα(34)
␈β¬K␈↓ ¬π␈∧¬K¬πα@
␈β¬T␈↓ ¬π␈εα␈(␈↓ ¬)␈ελa␈↓ ¬;␈εα)
␈β¬←␈↓ ¬e␈ε¬0
␈βε/␈↓ 
J␈ε¬1
␈βε2␈↓ ↓H␈εαWhen␈↓ α/␈ελa␈↓ αK␈εα=␈α
1,␈αthis␈αis␈αthe␈αexponen␈α␈tial␈αdistribution␈αwith␈αmean␈α1;␈αwhen␈↓ 	|␈ελa␈↓ 
_␈εα=␈↓ 
\␈εα,␈αit␈αis
␈βεC␈↓ 
J␈∧εC
Jα∂
␈βεE␈↓ 
J␈ε¬2
␈βεX␈↓ ∧$␈ε¬2
␈βεZ␈↓ βx␈ε¬1
␈βε]␈↓ ↓H␈εαthe␈αdistribution␈αof␈↓ ∧␈ελZ␈↓ ∧3␈εα,␈αwhere␈↓ ¬1␈ελZ␈↓ ¬W␈εαhas␈αthe␈αnormal␈α
distribution␈α(mean␈α0,␈αvariance
␈βεn␈↓ βx␈∧εnβxα∂
␈βεp␈↓ βx␈ε¬2
␈βπ	␈↓ ↓H␈εα1).␈α⊃If␈↓ α'␈ελX␈↓ αR␈εαand␈↓ β~␈ελY␈↓ βC␈εαare␈α
independen␈α␈t␈α∞gamma-distributed␈α∞random␈α∞variables,␈α∞of␈α
order
␈βπ4␈↓ ↓H␈ελa␈↓ ↓g␈εαand␈↓ α/␈ελb␈↓ α>␈εα,␈α∞respectiv␈α␈ely,␈α∞then␈↓ ∧{␈ελX␈↓ ¬"␈εα+␈↓ ¬P␈ελY␈↓ ¬x␈εαhas␈α∞the␈α∞gamma␈α∞distribution␈α∞of␈α∞order␈↓ 
L␈ελa␈↓ 
g␈εα+␈↓ ∀␈ελb␈↓ "␈εα.
␈βπ←␈↓ ↓H␈εαTh␈α␈us,␈αfor␈αexample,␈αthe␈αsum␈α
of␈↓ ¬2␈ελk␈↓ ¬P␈εαindependen␈α␈t␈αexponen␈α␈tial␈αdeviates␈αwith␈αmean␈α1
␈βλ
␈↓ ↓H␈εαhas␈α	the␈α	gamma␈α	distribution␈α
of␈α	order␈↓ ¬␈␈ελk␈↓ ε⊃␈εα.␈αIf␈α	the␈α	logarithm␈α
method␈α	(32)␈α	is␈α	being␈α	used
␈βλ5␈↓ ↓H␈εαto␈α∂generate␈α⊂these␈α⊂exponen␈α␈tial␈α⊂deviates,␈α⊃w␈α␈e␈α∂need␈α⊂compute␈α⊂only␈α⊂one␈α∂logarithm:
␈βλa␈↓ ↓H␈ελX␈↓ ↓p␈ε⊗ ␈α
␈␈↓ αH␈εαln␈↓ αf␈εα(␈↓ αr␈ελU␈↓ β≥␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βM␈ελU␈↓ βs␈εα),␈αwhere␈↓ ∧|␈ελU␈↓ ¬!␈εα,␈↓ ¬7␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬g␈εα,␈↓ ¬⎇␈ελU␈↓ ε.␈εαare␈αnonzero␈αuniform␈αdeviates.␈αThis␈αtech-
␈βλn␈↓ β	␈ε¬1␈↓ βd␈εk␈↓ ¬∪␈ε¬1␈↓ ε∀␈εk
␈β	␈↓ ↓H␈εαnique␈α
handles␈αall␈α
in␈α␈teger␈αorders␈↓ ¬7␈ελa␈↓ ¬I␈εα;␈αto␈αcomplete␈α
the␈αpicture,␈αa␈α
suitable␈αmethod␈α
for
␈β	7␈↓ ↓H␈εα0␈α
<␈↓ α∩␈ελa␈↓ α.␈εα<␈α
1␈αappears␈αin␈αex␈α␈ercise␈α16.
␈β	f␈↓ α␈εαThe␈α⊃simple␈α⊂logarithm␈α⊃method␈α⊂is␈α⊃m␈α␈uch␈α⊂too␈α⊃slo␈α␈w␈α⊃when␈↓ 	¬␈ελa␈↓ 	(␈εαis␈α⊂large,␈α∩since␈α⊂it
␈β
⊃␈↓ ↓H␈εαrequires␈ε⊗␈α⊂b␈↓ α`␈ελa␈↓ αr␈ε⊗c␈εα␈α⊂uniform␈α⊂deviates.␈α→For␈α⊂large␈↓ εc␈ελa␈↓ εu␈εα,␈α⊃the␈α⊃follo␈α␈wing␈α⊂algorithm␈α⊂due␈α⊂to␈α⊂J.
␈β
<␈↓ ↓H␈εαH.␈α∂Ahrens␈α∂is␈α∂reasonably␈α∂e}cien␈α␈t,␈α⊂and␈α∂it␈α∂is␈α∂easy␈α∂to␈α∂write␈α∂in␈α∂terms␈α∂of␈α∂standard
␈β
g␈↓ ↓H␈εαsubroutines.
␈β@␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈αA␈εα␈α(␈ε∂Gamma␈αdistribution␈αof␈αorder␈↓ εz␈ελa␈↓ π⊗␈εα>␈α
1)␈ε∩.
␈ββ␈↓ ↓J␈ε∩A1.␈↓ α␈εα[Generate␈αcandidate.]␈α↔Set␈↓ ¬/␈ελY␈↓ ¬T␈ε⊗ ␈↓ εα␈εαtan␈↓ ε6␈εα(␈↓ εB␈ελ→␈↓ εV␈ελU␈↓ εs␈εα),␈αwhere␈↓ π|␈ελU␈↓ λ$␈εαis␈αa␈αuniform␈αdeviate,␈αand
␈β(␈↓ βI␈∧(βIαj
␈β)␈↓ β%␈ε⊗p
␈β.␈↓ α␈εαset␈↓ αG␈ελX␈↓ αs␈ε⊗ ␈↓ βI␈εα2␈↓ β[␈ελa␈↓ βu␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ ∧9␈ελY␈↓ ∧↑␈εα+␈↓ ¬␈ελa␈↓ ¬'␈ε⊗␈␈εα␈α
1.␈α≡(In␈α∞place␈α∂of␈↓ πU␈εαtan␈↓ λ	␈εα(␈↓ λ∃␈ελ→␈↓ λ)␈ελU␈↓ λF␈εα)␈α∂w␈α␈e␈α∂could␈α∞use␈α∂a␈α∞polar
␈βY␈↓ α␈εαmethod,␈αe.g.,␈↓ βd␈ελV␈↓ ∧ε␈εα/␈↓ ∧_␈ελV␈↓ ∧G␈εαin␈αstep␈αP4␈αof␈αAlgorithm␈αP.)
␈βg␈↓ βx␈ε¬2␈↓ ∧,␈ε¬1
␈β
≥␈↓ ↓J␈ε∩A2.␈↓ α␈εα[Accept?]␈α∩If␈↓ βN␈ελX␈↓ βv␈ε⊗∀␈εα␈α
0,␈α	return␈α	to␈α
A1.␈αOtherwise␈α	generate␈α	a␈α	new␈α	uniform␈α	deviate
␈β
)␈↓ εs␈ε↓␈␈↓ λ␈ε↓␈␈↓ 	.␈ε↓↓␈↓ ∀␈ε↓↓
␈β
B␈↓ 

␈∧
B

αj
␈β
C␈↓ ε≠␈ε¬2␈↓ 	f␈ε⊗p
␈β
H␈↓ α␈ελU␈↓ α*␈εα,␈α	and␈αλreturn␈αλto␈αλA1␈αλif␈↓ ∧c␈ελU␈↓ ¬␈εα>␈α
(1␈αα+␈↓ ε␈ελY␈↓ ε)␈εα)␈↓ ε;␈εαexp␈↓ π↓␈εα(␈↓ π
␈ελa␈↓ π"␈ε⊗␈␈εα␈αβ1)␈↓ πm␈εαln␈↓ λ→␈ελX␈↓ λ7␈εα/(␈↓ λU␈ελa␈↓ λi␈ε⊗␈␈εα␈αβ1)␈↓ 	?␈ε⊗␈␈↓ 

␈εα2␈↓ 
≤␈ελa␈↓ 
5␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ 
y␈ελY␈↓ "␈εα.
␈β
x␈↓ α⊂␈∧
xα⊂≠∂
␈β∞L␈↓ α␈εαThe␈αav␈α␈erage␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αtimes␈αstep␈αA1␈αis␈αperformed␈αis␈α<␈α
1.902␈αwhen␈↓ 
G␈ελa␈↓ 
b␈ε⊗∃␈εα␈α
3.
␈β∞w␈↓ ↓H␈εαFor␈α
further␈α
discussion,␈αproof,␈α
and␈αa␈α
sligh␈α␈tly␈α
more␈α
complex␈α
method␈αthat␈α
is␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
to
␈β∂"␈↓ ↓H␈εαthree␈αλtimes␈α	faster,␈α	see␈αλJ.␈α	H.␈αλAhrens␈α	and␈αλU.␈α	Dieter,␈ε∂␈α	Computing␈ε∩␈α	12␈εα␈αλ(1974),␈α	223↑246.
␈β∂Q␈↓ α␈εαThere␈α
is␈α	also␈α
an␈α	attractiv␈α␈e␈α
approach␈α	for␈α
large␈↓ πO␈ελa␈↓ πj␈εαbased␈α
on␈α	the␈α
remarkable␈α	fact
␈β∂w␈↓ λβ␈ε¬3
␈β∂|␈↓ ↓H␈εαthat␈αgamma␈αdeviates␈αare␈αappro␈α␈ximately␈αequal␈αto␈↓ πS␈ελa␈↓ πe␈ελX␈↓ λ⊃␈εα,␈αwhere␈↓ 	∂␈ελX␈↓ 	9␈εαis␈αnormally␈αdis-
␈β⊂!␈↓ λi␈∧⊂!λiα$
␈β⊂"␈↓ λE␈ε⊗p
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εαtributed␈α
with␈α
mean␈α1␈ε⊗␈α¬␈␈εα␈αε1/(9␈↓ ¬∧␈ελa␈↓ ¬⊗␈εα)␈α
and␈α
standard␈αdeviation␈α
1/␈↓ λi␈εα9␈↓ λ{␈ελa␈↓ 	
␈εα;␈αsee␈α
G.␈α
Marsaglia,
␈β⊂R␈↓ ↓H␈ε∂Computers␈αand␈αMath.␈ε∩␈α3␈εα␈α(1977),␈α321↑325.*
␈β⊃∀␈↓ ↓H␈∧⊃∀↓Hα↓X
␈β⊃!␈↓ ↓H␈ε∧*Change␈α
\+(3␈↓ β∂␈ε
a␈↓ β$␈ε_␈␈ε∧␈απ1)"␈αto␈α
\␈ε_␈␈ε∧(3␈↓ ∧j␈ε
a␈↓ ∧␈␈ε_␈␈ε∧␈απ1)"␈αi␈α␈n␈α
Step␈α
3␈αof␈α
the␈α
algorithm␈α	o␈α↓n␈α
page␈α
3␈α↓23.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα128␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.4.1
␈βα&␈↓ ↓H␈εα(␈ελ2␈↓ ↓k␈εα)␈ε∂␈αThe␈αbeta␈αdistribution␈εα␈αwith␈αpositiv␈α␈e␈αparameters␈↓ πr␈ελa␈↓ λ⊂␈εαand␈↓ λV␈ελb␈↓ λp␈εαis␈αde|ned␈αby
␈βαf␈↓ ¬↔␈ε↓Z
␈βαo␈↓ ¬;␈εx
␈βα{␈↓ ∧␈εα␈(␈↓ ∧-␈ελa␈↓ ∧F␈εα+␈↓ ∧r␈ελb␈↓ ¬↓␈εα)
␈ββ
␈↓ ¬↑␈εa␈↓ ¬l␈ε→␈␈ε¬1␈↓ πα␈εb␈↓ π∞␈ε→␈␈ε¬1
␈ββ∪␈↓ β␈ελF␈↓ β$␈εα(␈↓ β0␈ελx␈↓ βC␈εα)␈α
=␈↓ ¬Q␈ελt␈↓ ε↔␈εα(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ εi␈ελt␈↓ εv␈εα)␈↓ π@␈ελd␈↓ πT␈ελt␈↓ πa␈εα,␈↓ λ90␈ε⊗␈α
∀␈↓ 	β␈ελx␈↓ 	 ␈ε⊗∀␈εα␈α
1.␈↓ 
p␈εα(35)
␈ββ$␈↓ ∧␈∧β$∧α↓β
␈ββ,␈↓ ∧∞␈εα␈(␈↓ ∧0␈ελa␈↓ ∧A␈εα)␈(␈↓ ∧o␈ελb␈↓ ∧}␈εα)
␈ββ7␈↓ ¬+␈ε¬0
␈ββz␈↓ ↓H␈εαLet␈↓ α␈ελX␈↓ αB␈εαand␈↓ β
␈ελX␈↓ β?␈εαbe␈α∂independen␈α␈t␈α∞gamma␈α∞deviates␈α∞of␈α∂order␈↓ λZ␈ελa␈↓ λz␈εαand␈↓ 	B␈ελb␈↓ 	Q␈εα,␈α∞respectiv␈α␈ely,
␈β∧π␈↓ α%␈ε¬1␈↓ β#␈ε¬2
␈β∧%␈↓ ↓H␈εαand␈αset␈↓ αG␈ελX␈↓ αp␈ε⊗ ␈↓ β∨␈ελX␈↓ βF␈εα/(␈↓ βd␈ελX␈↓ ∧∀␈εα+␈↓ ∧@␈ελX␈↓ ∧h␈εα).␈α∞Another␈αmethod,␈α
useful␈α
for␈αsmall␈↓ 	%␈ελa␈↓ 	C␈εαand␈↓ 

␈ελb␈↓ 
_␈εα,␈α
is␈α
to␈αset
␈β∧3␈↓ β8␈ε¬1␈↓ β⎇␈ε¬1␈↓ ∧Y␈ε¬2
␈β∧J␈↓ αA␈ε¬1/␈↓ α]␈εa␈↓ ∧3␈ε¬1/␈↓ ∧P␈εb
␈β∧P␈↓ ↓H␈ελY␈↓ ↓u␈ε⊗ ␈↓ α#␈ελU␈↓ αv␈εαand␈↓ β:␈ελY␈↓ βg␈ε⊗ ␈↓ ∧∃␈ελU␈↓ ∧f␈εαrepeatedly␈α	un␈α␈til␈↓ εf␈ελY␈↓ π∂␈εα+␈↓ π8␈ελY␈↓ πe␈ε⊗∀␈εα␈α
1;␈αthen␈↓ 	
␈ελX␈↓ 	2␈ε⊗ ␈↓ 	`␈ελY␈↓ 
β␈εα/(␈↓ 
!␈ελY␈↓ 
J␈εα+␈↓ 
s␈ελY␈↓ ⊗␈εα).
␈β∧↑␈↓ ↓]␈ε¬1␈↓ βO␈ε¬2␈↓ ε{␈ε¬1␈↓ πM␈ε¬2␈↓ 	u␈ε¬1␈↓ 
6␈ε¬1␈↓ λ␈ε¬2
␈β∧c␈↓ αA␈ε¬1␈↓ ∧3␈ε¬2
␈β∧|␈↓ ↓H␈εα[See␈α
M.␈α
D.␈αJ␈↓ βπ␈εα∪␈↓ βπ␈εαo␈↓ β→␈εαhnk,␈ε∂␈α
Metrika␈ε∩␈α8␈εα␈α
(1964),␈α5↑15.]␈α∃Still␈α
another␈α
approach,␈αif␈↓ 
β␈ελa␈↓ 
∨␈εαand␈↓ 
d␈ελb␈↓ 
|␈εαare
␈β¬'␈↓ ↓H␈εαin␈α␈tegers␈α(not␈α
too␈α
large),␈α
is␈αto␈α
set␈↓ ¬R␈ελX␈↓ ¬⎇␈εαto␈αthe␈↓ εh␈ελb␈↓ εv␈εαth␈α
largest␈α
of␈↓ λE␈ελa␈↓ λ←␈εα+␈↓ 	␈ελb␈↓ 	"␈ε⊗␈␈εα␈α	1␈αindependen␈α␈t
␈β¬R␈↓ ↓H␈εαuniform␈αλdeviates␈α	(cf.␈α	ex␈α␈ercise␈α	7␈α	at␈α	the␈αλbeginning␈α	of␈α	Chapter␈α	5).␈αSee␈α	also␈α	the␈αλdirect
␈β¬⎇␈↓ ↓H␈εαmethod␈αdescribed␈αby␈αR.␈αC.␈αH.␈αCheng,␈ε∂␈αCA␈α␈CM␈ε∩␈α21␈εα␈α(1978),␈α317↑322.
␈βε=␈↓ ↓H␈εα(␈ελ3␈↓ ↓k␈εα)␈ε∂␈α∞The␈α∞chi-square␈α∞distribution␈εα␈α
with␈↓ ε⊗␈ελ↔␈↓ ε5␈εαdegrees␈α∞of␈α∞freedom␈α∞(Eq.␈α∞3.3.1↑22)␈α∞is␈α
ob-
␈βεh␈↓ ↓H␈εαtained␈α∞by␈α
setting␈↓ βe␈ελX␈↓ ∧⊃␈ε⊗ ␈εα␈α
2␈↓ ∧T␈ελY␈↓ ∧o␈εα,␈α∞where␈↓ ¬q␈ελY␈↓ ε~␈εαhas␈α∞the␈α∞gamma␈α∞distribution␈α∞of␈α∞order␈↓ 
m␈ελ↔␈↓ 
}␈εα/2.
␈βπ(␈↓ ↓H␈εα(␈ελ4␈↓ ↓k␈εα)␈ε∂␈α⊃The␈α⊂F-distribution␈εα␈α⊃(variance-ratio␈α⊃distribution)␈α⊂with␈↓ λe␈ελ↔␈↓ 	∪␈εαand␈↓ 	↑␈ελ↔␈↓ 
␈εαdegrees␈α⊂of
␈βπ5␈↓ λt␈ε¬1␈↓ 	m␈ε¬2
␈βπS␈↓ ↓H␈εαfreedom␈αis␈αde|ned␈αby
␈βλλ␈↓ ∧7␈ε↓␈␈↓ ¬p␈ε↓↓
␈βλ⊗␈↓ ελ␈ε↓Z
␈βλ∨␈↓ ε,␈εx
␈βλ!␈↓ β!␈ε↔␈↓ β9␈ε¬/2␈↓ βg␈ε↔␈↓ β␈␈ε¬/2
␈βλ'␈↓ β⊂␈ελ↔␈↓ βV␈ελ↔␈↓ ∧!␈εα␈␈↓ ∧E␈εα(␈↓ ∧Q␈ελ↔␈↓ ∧w␈εα+␈↓ ¬#␈ελ↔␈↓ ¬@␈εα)/2
␈βλ*␈↓ β-␈επ1␈↓ βs␈επ2
␈βλ5␈↓ ∧`␈ε¬1␈↓ ¬2␈ε¬2
␈βλ:␈↓ β!␈ε¬1␈↓ βg␈ε¬2
␈βλ=␈↓ εO␈ε↔␈↓ εg␈ε¬/2␈ε→␈α↓␈␈ε¬1␈↓ λC␈ε→␈␈↓ λ`␈ε↔␈↓ λx␈ε¬/2␈ε→␈␈↓ 	1␈ε↔␈↓ 	I␈ε¬/␈α↓2
␈βλC␈↓ α⊂␈ελF␈↓ α)␈εα(␈↓ α5␈ελx␈↓ αH␈εα)␈α
=␈↓ εB␈ελt␈↓ π/␈εα(␈↓ π;␈ελ↔␈↓ π`␈εα+␈↓ λ␈ελ↔␈↓ λ*␈ελt␈↓ λ7␈εα)␈↓ 	l␈ελd␈↓ 
␈ελt␈↓ 

␈εα,␈↓ 
p␈εα(36)
␈βλF␈↓ ε\␈επ1␈↓ λl␈επ1␈↓ 	>␈επ2
␈βλQ␈↓ πJ␈ε¬2␈↓ λ≠␈ε¬1
␈βλS␈↓ β⊂␈∧λSβ⊂ααo
␈βλ\␈↓ βX␈εα␈(␈↓ βz␈ελ↔␈↓ ∧↔␈εα/2)␈(␈↓ ∧i␈ελ↔␈↓ ¬ε␈εα/2)
␈βλg␈↓ ε≤␈ε¬0
␈βλi␈↓ ∧	␈ε¬1␈↓ ∧x␈ε¬2
␈β	*␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α0␈ελx␈↓ αN␈ε⊗∃␈εα␈α0.␈α
Let␈↓ βi␈ελY␈↓ ∧_␈εαand␈↓ ∧←␈ελY␈↓ ¬∂␈εαbe␈αindependen␈α␈t,␈α
having␈αthe␈α
chi-square␈αdistribution
␈β	7␈↓ β}␈ε¬1␈↓ ∧t␈ε¬2
␈β	U␈↓ ↓H␈εαwith␈↓ α→␈ελ↔␈↓ αC␈εαand␈↓ βλ␈ελ↔␈↓ β2␈εαdegrees␈αof␈αfreedom,␈αrespectiv␈α␈ely;␈αset␈↓ πs␈ελX␈↓ λ≠␈ε⊗ ␈↓ λI␈ελY␈↓ λm␈ελ↔␈↓ 	
␈εα/␈↓ 	≤␈ελY␈↓ 	@␈ελ↔␈↓ 	]␈εα.␈αOr␈αset␈↓ 
`␈ελX␈↓ λ␈ε⊗ 
␈β	b␈↓ α(␈ε¬1␈↓ β↔␈ε¬2␈↓ λ↑␈ε¬1␈↓ λ|␈ε¬2␈↓ 	1␈ε¬2␈↓ 	O␈ε¬1
␈β
␈↓ ↓H␈ελ↔␈↓ ↓e␈ελY␈↓ α␈εα/␈↓ α∩␈ελ↔␈↓ α/␈εα(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ β↓␈ελY␈↓ β≤␈εα),␈αwhere␈↓ ∧&␈ελY␈↓ ∧M␈εαhas␈αthe␈αbeta␈αdistribution␈αwith␈αparameters␈↓ 	k␈ελ↔␈↓ 
	␈εα/2,␈↓ 
=␈ελ↔␈↓ 
Z␈εα/2.
␈β
∞␈↓ ↓W␈ε¬2␈↓ α!␈ε¬1␈↓ 	z␈ε¬1␈↓ 
L␈ε¬2
␈β
@␈↓ ↓H␈εα(␈ελ5␈↓ ↓k␈εα)␈ε∂␈αThe␈↓ αM␈ελt␈↓ αZ␈ε∂-distribution␈εα␈αwith␈↓ ∧|␈ελ↔␈↓ ¬→␈εαdegrees␈αof␈αfreedom␈αis␈αde|ned␈αby
␈β
t␈↓ ∧X␈ε↓␈␈↓ ¬y␈ε↓↓
␈βα␈↓ ε⊃␈ε↓Z
␈β
␈↓ ε5␈εx
␈β∀␈↓ ∧B␈εα␈␈↓ ∧f␈εα(␈↓ ∧r␈ελ↔␈↓ ¬␈εα+␈αλ1)/2
␈β(␈↓ π>␈ε¬2␈↓ π{␈ε→␈␈ε¬(␈↓ λ!␈ε↔␈↓ λ/␈ε¬+1␈α↓)␈α␈/␈α↓2
␈β/␈↓ βB␈ελF␈↓ β[␈εα(␈↓ βg␈ελx␈↓ βz␈εα)␈α
=␈↓ ε←␈εα(1␈αλ+␈↓ π1␈ελt␈↓ πL␈εα/␈↓ π↑␈ελ↔␈↓ πo␈εα)␈↓ 	π␈ελd␈↓ 	≠␈ελt␈↓ 	(␈εα.␈↓ 
p␈εα(37)
␈β?␈↓ ∧B␈∧?∧Bα↓E
␈βH␈↓ ∧o␈∧H∧oα&
␈βI␈↓ ∧K␈ε⊗p␈↓ ∧o␈ελ→␈↓ ¬∧␈ελ↔␈↓ ¬≠␈εα␈(␈↓ ¬=␈ελ↔␈↓ ¬N␈εα/2)
␈βR␈↓ ε%␈ε→␈1
␈β~␈↓ ↓H␈εαLet␈↓ αλ␈ελY␈↓ α5␈εαbe␈αa␈α
normal␈α
deviate␈α
(mean␈α
0,␈αvariance␈α
1)␈α
and␈αlet␈↓ λ2␈ελY␈↓ λ←␈εαbe␈αindependen␈α␈t␈α
of␈↓ 
␈␈ελY␈↓ "␈εα,
␈β#␈↓ 
8␈ε↓p
␈β'␈↓ α≥␈ε¬1␈↓ λG␈ε¬2␈↓ ∀␈ε¬1
␈β>␈↓ 
\␈∧>
\αG
␈βE␈↓ ↓H␈εαhaving␈αλthe␈α	chi-square␈α	distribution␈αλwith␈↓ ε+␈ελ↔␈↓ εE␈εαdegrees␈α	of␈αλfreedom;␈α
set␈↓ 	-␈ελX␈↓ 	U␈ε⊗ ␈↓ 
β␈ελY␈↓ 
&␈εα/␈↓ 
\␈ελY␈↓ 
␈␈εα/␈↓ ⊃␈ελ↔␈↓ "␈εα.
␈βR␈↓ 
_␈ε¬1␈↓ 
q␈ε¬2
␈βp␈↓ ↓H␈εα[See␈αalso␈αA.␈αJ.␈αKinderman,␈αJ.␈αF.␈αMonahan,␈αand␈αJ.␈αG.␈αRamage,␈ε∂␈αMath.␈αComp.␈ε∩␈α31
␈β
≠␈↓ ↓H␈εα(1977),␈α1009↑1018.]
␈β
[␈↓ ↓H␈εα(␈ελ6␈↓ ↓k␈εα)␈ε∂␈αRandom␈α
poin␈α␈t␈αon␈↓ ∧≥␈ελn␈↓ ∧3␈ε∂-dimensional␈αsphere␈α
with␈αradius␈αone.␈εα␈α∃Let␈↓ 	D␈ελX␈↓ 	k␈εα,␈↓ 
␈ελX␈↓ 
(␈εα,␈↓ 
=␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
m␈εα,␈↓ α␈ελX
␈β
h␈↓ 	]␈ε¬1␈↓ 
→␈ε¬2␈↓ ≠␈εn
␈β∞ε␈↓ ↓H␈εαbe␈α
independen␈α␈t␈α∞normal␈α
deviates␈α∞(mean␈α
0,␈α∞variance␈α
1);␈α∂the␈α
desired␈α
poin␈α␈t␈α∞on␈α
the
␈β∞1␈↓ ↓H␈εαunit␈αsphere␈αis
␈β∞f␈↓ π+␈ε↓q
␈β∂↓␈↓ πO␈∧∂↓πOααO
␈β∂∩␈↓ πm␈ε¬2␈↓ λM␈ε¬2␈↓ 
␈ε¬2
␈β∂∀␈↓ αL␈εα(␈↓ αX␈ελX␈↓ β␈εα/␈↓ β∩␈ελr␈↓ β"␈εα,␈↓ β2␈ελX␈↓ βY␈εα/␈↓ βk␈ελr␈↓ β{␈εα,␈↓ ∧␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧;␈εα,␈↓ ∧K␈ελX␈↓ ∧v␈εα/␈↓ ¬λ␈ελr␈↓ ¬↔␈εα),␈↓ ¬{␈εαwhere␈↓ εc␈ελr␈↓ ε⎇␈εα=␈↓ πO␈ελX␈↓ λ∧␈εα+␈↓ λ0␈ελX␈↓ λd␈εα+␈↓ 	⊂␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	B␈εα+␈↓ 	n␈ελX␈↓ 
≡␈εα.␈↓ 
p␈εα(38)
␈β∂"␈↓ αq␈ε¬1␈↓ βK␈ε¬2␈↓ ∧d␈εn
␈β∂&␈↓ πm␈ε¬1␈↓ λM␈ε¬2␈↓ 
␈εn
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαNote␈α∂that␈α⊂if␈α⊂the␈↓ β\␈ελX␈↓ βz␈εα's␈α⊂are␈α⊂calculated␈α∂using␈α⊂the␈α⊂polar␈α⊂method,␈α⊂Algorithm␈α⊂P␈↓ 
i␈εα,␈α⊂w␈α␈e
␈β⊂∀␈↓ π"␈ε¬2␈↓ πx␈ε¬2
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαcompute␈αλt␈α␈w␈α␈o␈αλindependen␈α␈t␈↓ ∧]␈ελX␈↓ ∧{␈εα's␈αλeach␈αλtime,␈α	and␈↓ π∧␈ελX␈↓ π3␈εα+␈↓ πZ␈ελX␈↓ λ⊂␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈εα2␈↓ λz␈εαln␈↓ 	≡␈ελS␈↓ 	<␈εα(in␈αλthe␈αλnotation
␈β⊂+␈↓ π"␈ε¬1␈↓ πx␈ε¬2
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαof␈απthat␈αλalgorithm);␈α	this␈αλsav␈α␈es␈αλa␈απlittle␈αλof␈αλthe␈αλtime␈απneeded␈αλto␈αλevaluate␈↓ 	H␈ελr␈↓ 	X␈εα.␈αThe␈απvalidity
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαof␈αthis␈α
method␈αcomes␈α
from␈α
the␈αfact␈α
that␈αthe␈α
distribution␈α
function␈αfor␈α
the␈αpoin␈α␈t
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελX␈↓ ↓{␈εα,␈↓ α␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α;␈εα,␈↓ αK␈ελX␈↓ αv␈εα)␈αhas␈αa␈αdensity␈αthat␈αdepends␈αonly␈αon␈αthe␈αdistance␈αfrom␈αthe␈αorigin,␈αso
␈β⊃(␈↓ ↓m␈ε¬1␈↓ αd␈εn
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.4.1␈ε∞␈↓ π+NUMERICAL␈α	DIST␈α␈RIBUT␈α␈IONS␈↓ 
v␈εα129
␈βα(␈↓ ↓H␈εαwhen␈α
it␈α∞is␈α
projected␈α∞on␈α␈to␈α∞the␈α
unit␈α∞sphere␈α
it␈α∞has␈α∞the␈α
uniform␈α∞distribution.␈α⊂This
␈βαS␈↓ ↓H␈εαmethod␈α∂was␈α∂|rst␈α∂suggested␈α⊂by␈α∂G.␈α∂W.␈α∂Bro␈α␈wn,␈α⊂in␈ε∂␈α⊂Modern␈α∂Mathematics␈α∂for␈α∂the
␈βα}␈↓ ↓H␈ε∂Engineer␈εα,␈αFirst␈α
series,␈αed.␈αby␈αE.␈αF.␈α
Beck␈α␈en␈α␈bach␈α(New␈αYork:␈αMcGraw-Hill,␈α1956),
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαp.␈α302.␈α∂To␈αget␈α
a␈α
random␈α
poin␈α␈t␈ε∂␈αinside␈εα␈α
the␈↓ ε]␈ελn␈↓ εs␈εα-sphere,␈αR.␈α
P.␈α
Bren␈α␈t␈α
suggests␈αtaking
␈ββP␈↓ π)␈ε¬1␈α↓/␈↓ πF␈εn
␈ββU␈↓ ↓H␈εαa␈αpoin␈α␈t␈αon␈αthe␈αsurface␈αand␈αm␈α␈ultiplying␈αit␈αby␈↓ π␈ελU␈↓ πX␈εα.
␈β∧␈↓ α␈εαIn␈α
three␈α
dimensions␈α∞a␈α
signi|can␈α␈tly␈α
simpler␈α
method␈α
can␈α∞be␈α
used,␈α
since␈α
each
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαindividual␈α
coordinate␈αis␈αuniformly␈αdistributed␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈ε⊗␈α␈␈εα1␈αand␈α
1:␈αFind␈↓ 
'␈ελV␈↓ 
J␈εα,␈↓ 
←␈ελV␈↓ ↓␈εα,␈↓ ⊗␈ελS
␈β∧9␈↓ 
;␈ε¬1␈↓ 
s␈ε¬2
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαby␈αsteps␈αP1↑P3␈αof␈αAlgorithm␈αP␈↓ ¬+␈εα;␈αthen␈αthe␈αdesired␈αrandom␈αpoin␈α␈t␈αon␈αthe␈αsurface␈αof
␈β∧{␈↓ εt␈∧∧{εtα]
␈β∧|␈↓ εP␈ε⊗p
␈β¬α␈↓ ↓H␈εαa␈αglobe␈αis␈α(␈↓ αq␈ελ␈↓ β¬␈ελV␈↓ β'␈εα,␈↓ β7␈ελ␈↓ βK␈ελV␈↓ βn␈εα,␈αε2␈↓ ∧⊂␈ελS␈↓ ∧-␈ε⊗␈␈εα␈απ1),␈αwhere␈↓ ¬r␈ελ␈↓ ε⊂␈εα=␈α
2␈↓ εt␈εα1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ π:␈ελS␈↓ πP␈εα.␈α_[Robert␈αE.␈αKnop,␈ε∂␈αCA␈α␈CM␈ε∩␈α13
␈β¬∂␈↓ β→␈ε¬1␈↓ β←␈ε¬2
␈β¬-␈↓ ↓H␈εα(1970),␈α326.]
␈β¬k␈↓ ↓H␈ε∩F.␈αImportan␈α␈t␈αin␈α␈teger-valued␈α
distributions.␈εα␈α~A␈αprobability␈α
distribution␈αthat␈αcon-
␈βε⊗␈↓ ↓H␈εαsists␈α	only␈α	of␈α	in␈α␈teger␈α	values␈α	can␈α	essen␈α␈tially␈α	be␈α	handled␈α	by␈α	the␈α	techniques␈α	described
␈βεA␈↓ ↓H␈εαat␈α
the␈α
beginning␈αof␈α
this␈αsection;␈αbut␈α
some␈α
of␈αthese␈α
distributions␈αare␈α
so␈α
importan␈α␈t
␈βεm␈↓ ↓H␈εαin␈αpractice,␈αthey␈αdeserv␈α␈e␈αspecial␈αmen␈α␈tion␈αhere.
␈βπ+␈↓ ↓H␈εα(␈ελ1␈↓ ↓k␈εα)␈ε∂␈α⊂The␈α⊂geometric␈α∂distribution.␈εα␈α If␈α⊂some␈α⊂ev␈α␈en␈α␈t␈α⊂occurs␈α⊂with␈α⊂probability␈↓ 
M␈ελp␈↓ 
`␈εα,␈α⊂the
␈βπV␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈↓ αK␈ελN␈↓ αy␈εαof␈α
independen␈α␈t␈α
trials␈α
needed␈α
un␈α␈til␈α
the␈α
ev␈α␈en␈α␈t␈α
|rst␈α
occurs␈α
(or␈αbet␈α␈w␈α␈een
␈βλ↓␈↓ ↓H␈εαoccurrences␈α
of␈αthe␈α
ev␈α␈en␈α␈t)␈α
has␈α
the␈α
geometric␈α
distribution.␈α∞We␈α
hav␈α␈e␈↓ 	k␈ελN␈↓ 
_␈εα=␈α1␈αwith
␈βλ,␈↓ ↓H␈εαprobability␈↓ β∧␈ελp␈↓ β⊗␈εα,␈↓ β/␈ελN␈↓ β↑␈εα=␈α
2␈α∞with␈α∞probability␈α∞(1␈ε⊗␈α
␈␈↓ π∀␈ελp␈↓ π'␈εα)␈↓ π3␈ελp␈↓ πE␈εα,␈↓ π]␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ
␈εα,␈↓ λ&␈ελN␈↓ λU␈εα=␈↓ 	π␈ελn␈↓ 	*␈εαwith␈α∞probability
␈βλR␈↓ α8␈εn␈↓ αJ␈ε→␈␈ε¬1
␈βλX␈↓ ↓H␈εα(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ α~␈ελp␈↓ α,␈εα)␈↓ αu␈ελp␈↓ βλ␈εα.␈αThis␈αis␈αessen␈α␈tially␈αthe␈α
situation␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αalready␈αconsidered␈αin␈αthe
␈β	β␈↓ ↓H␈εαgap␈α
test␈α
of␈α
Section␈α
3.3.2;␈αit␈α
is␈α
also␈α
directly␈αrelated␈α
to␈α
the␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
times␈α
certain
␈β	.␈↓ ↓H␈εαloops␈α	in␈α
the␈α
algorithms␈α	of␈α
this␈α	section␈α
are␈α
ex␈α␈ecuted,␈α
e.g.,␈α
steps␈α
P1↑P3␈α	of␈α
the␈α	polar
␈β	Y␈↓ ↓H␈εαmethod.
␈β
∧␈↓ α␈εαA␈αcon␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈αway␈αto␈αgenerate␈αa␈αvariable␈αwith␈αthis␈αdistribution␈αis␈αto␈αset
␈β
U␈↓ ¬␈ελN␈↓ ¬,␈ε⊗ ␈α
d␈↓ ¬h␈εαln␈↓ ε␈ελU␈↓ ε0␈εα/␈↓ εN␈εαln␈↓ εl␈εα(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ π>␈ελp␈↓ πP␈εα)␈ε⊗e␈εα.␈↓ 
p␈εα(39)
␈β%␈↓ ↓H␈εαTo␈α∂check␈α⊂this␈α∂form␈α␈ula,␈α⊃w␈α␈e␈α∂observ␈α␈e␈α⊂that␈ε⊗␈α∂d␈↓ εd␈εαln␈↓ πλ␈ελU␈↓ π,␈εα/␈↓ πJ␈εαln␈↓ πh␈εα(1␈ε⊗␈α
␈␈↓ λ?␈ελp␈↓ λQ␈εα)␈ε⊗e␈εα␈α⊂=␈↓ 	/␈ελn␈↓ 	T␈εαif␈α∂and␈α⊂only␈α∂if
␈βK␈↓ π8␈εn␈↓ πJ␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ 
↓␈εn
␈βP␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓f␈ε⊗␈␈εα␈α
1␈α<␈↓ αc␈εαln␈↓ βπ␈ελU␈↓ β+␈εα/␈↓ βI␈εαln␈↓ βg␈εα(1␈ε⊗␈α	␈␈↓ ∧;␈ελp␈↓ ∧N␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ ¬↔␈ελn␈↓ ¬-␈εα,␈α∞that␈α∞is,␈α∞(1␈ε⊗␈α	␈␈↓ π→␈ελp␈↓ π,␈εα)␈↓ λα␈εα>␈↓ λ3␈ελU␈↓ λ]␈ε⊗∃␈εα␈α
(1␈ε⊗␈α	␈␈↓ 	b␈ελp␈↓ 	u␈εα)␈↓ 
∪␈εα,␈α∞and␈α
this
␈βw␈↓ ¬Q␈εn␈↓ ¬c␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β|␈↓ ↓H␈εαhappens␈α	with␈αλprobability␈↓ ∧V␈ελp␈↓ ∧i␈εα(1␈ε⊗␈αβ␈␈↓ ¬2␈ελp␈↓ ¬E␈εα)␈↓ ε↔␈εαas␈αλrequired.␈αNote␈α	that␈↓ λt␈εαln␈↓ 	_␈ελU␈↓ 	?␈εαcan␈α	be␈αλreplaced
␈β'␈↓ ↓H␈εαby␈ε⊗␈α␈␈↓ α ␈ελY␈↓ α;␈εα,␈αwhere␈↓ β9␈ελY␈↓ β`␈εαhas␈αthe␈αexponen␈α␈tial␈αdistribution␈αwith␈αmean␈α1.
␈βO␈↓ ∧l␈ε¬1
␈βR␈↓ α␈εαThe␈α
special␈α
case␈↓ ∧→␈ελp␈↓ ∧8␈εα=␈↓ ¬␈εαcan␈α
be␈α∞handled␈α
more␈α
easily␈α
on␈α
a␈α
binary␈α
computer,
␈βb␈↓ ∧l␈∧b∧lα∂
␈βe␈↓ ∧l␈ε¬2
␈β⎇␈↓ ↓H␈εαsince␈α∞form␈α␈ula␈α∂(39)␈α∂becomes␈↓ ¬ε␈ελN␈↓ ¬6␈ε⊗ ␈α∂d␈␈↓ ε!␈εαlog␈↓ εc␈ελU␈↓ π↓␈ε⊗e␈εα;␈α⊂that␈α∂is,␈↓ λ+␈ελN␈↓ λ[␈εαis␈α∂one␈α∂more␈α∂than␈α∞the
␈β
∞␈↓ εO␈ε¬2
␈β
(␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αleading␈αzero␈αbits␈αin␈αthe␈αbinary␈αrepresen␈α␈tation␈αof␈↓ λq␈ελU␈↓ 	∞␈εα.
␈β
g␈↓ ↓H␈εα(␈ελ2␈↓ ↓k␈εα)␈ε∂␈α
The␈αbinomial␈αdistribution␈εα␈α
(␈↓ ¬+␈ελt␈↓ ¬8␈εα,␈↓ ¬H␈ελp␈↓ ¬Z␈εα)␈ε∂.␈εα␈α⊗If␈αsome␈α
ev␈α␈en␈α␈t␈αoccurs␈α
with␈αprobability␈↓ 
V␈ελp␈↓ 
r␈εαand
␈β∞∩␈↓ ↓H␈εαif␈α
w␈α␈e␈α∞carry␈α∞out␈↓ βD␈ελt␈↓ β←␈εαindependen␈α␈t␈α∞trials,␈α∞the␈α∞total␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈↓ λ/␈ελN␈↓ λ←␈εαof␈α∞occurrences␈α
equals
␈β∞≥␈↓ βw␈ε↓␈␈↓ ∧↔␈ε↓↓
␈β∞5␈↓ ∧	␈εt
␈β∞8␈↓ ∧7␈εn␈↓ ¬:␈εt␈↓ ¬E␈ε→␈␈↓ ¬a␈εn
␈β∞=␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓j␈εαwith␈αprobability␈↓ ∧%␈ελp␈↓ ∧I␈εα(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ¬≤␈ελp␈↓ ¬.␈εα)␈↓ ¬s␈εα.␈α~(See␈α
Section␈α1.2.10.)␈α~In␈α
other␈αw␈α␈ords␈α
if␈αw␈α␈e
␈β∞P␈↓ ∧¬␈εn
␈β∞h␈↓ ↓H␈εαgenerate␈↓ αX␈ελU␈↓ α}␈εα,␈↓ β∀␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βD␈εα,␈↓ β[␈ελU␈↓ β|␈εα,␈α
w␈α␈e␈αwan␈α␈t␈α
to␈αcoun␈α␈t␈α
ho␈α␈w␈αman␈α␈y␈α
of␈αthese␈αare␈α
<␈↓ 	S␈ελp␈↓ 	e␈εα.␈α
For␈α
small␈↓ ∨␈ελt
␈β∞v␈↓ αo␈ε¬1␈↓ βr␈εt
␈β∂∪␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αcan␈αobtain␈↓ β/␈ελN␈↓ β\␈εαin␈αexactly␈αthis␈αway.
␈β∂?␈↓ α␈εαFor␈αlarge␈↓ β%␈ελt␈↓ β2␈εα,␈αw␈α␈e␈αcan␈αgenerate␈α
a␈αbeta␈αvariate␈↓ π.␈ελX␈↓ πW␈εαwith␈αin␈α␈teger␈α
parameters␈↓ 
V␈ελa␈↓ 
r␈εαand
␈β∂j␈↓ ↓H␈ελb␈↓ ↓e␈εαwhere␈↓ αO␈ελa␈↓ αk␈εα+␈↓ β→␈ελb␈↓ β1␈ε⊗␈␈εα␈α
1␈α∂=␈↓ ∧2␈ελt␈↓ ∧?␈εα;␈α⊂this␈α∂e{ectiv␈α␈ely␈α∂giv␈α␈es␈α∂us␈α∞the␈↓ λ≥␈ελb␈↓ λ+␈εαth␈α∂largest␈α∂of␈↓ 
␈ελt␈↓ 
≠␈εαelemen␈α␈ts,
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈εαwithout␈α	bothering␈α
to␈α	generate␈α
the␈α	other␈α
elemen␈α␈ts.␈αNo␈α␈w␈α	if␈↓ λE␈ελX␈↓ λm␈ε⊗∃␈↓ 	≠␈ελp␈↓ 	-␈εα,␈α
w␈α␈e␈α
set␈↓ 
)␈ελN␈↓ 
U␈ε⊗ ␈↓ β␈ελN
␈β⊂"␈↓ ≡␈ε¬1
␈β⊂@␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α-␈ελN␈↓ αa␈εαhas␈α	the␈α
binomial␈α
distribution␈α	(␈↓ ε9␈ελa␈↓ εP␈ε⊗␈␈εα␈α¬1,␈↓ π≠␈ελp␈↓ π.␈εα/␈↓ π@␈ελX␈↓ π↑␈εα),␈α
since␈α
this␈α	tells␈α
us␈α
ho␈α␈w␈α	man␈α␈y
␈β⊂N␈↓ αH␈ε¬1
␈β⊂k␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓u␈ελa␈↓ α⊂␈ε⊗␈␈εα␈α
1␈α∂random␈α∂n␈α␈um␈α␈bers␈α∂in␈α∂the␈α∂range␈α∂[0,␈↓ εx␈ελX␈↓ π⊗␈εα)␈α∂are␈α∂<␈↓ λ"␈ελp␈↓ λ5␈εα;␈α⊂and␈α∂if␈↓ 	=␈ελX␈↓ 	j␈εα<␈↓ 
≥␈ελp␈↓ 
/␈εα,␈α⊂w␈α␈e␈α∞set
␈β⊂w␈↓ λ⊗␈ε↓␈␈↓ ∀␈ε↓↓
␈β⊃↔␈↓ ↓H␈ελN␈↓ ↓t␈ε⊗ ␈↓ α#␈ελa␈↓ α=␈εα+␈↓ αj␈ελN␈↓ β∨␈εαwhere␈↓ ∧λ␈ελN␈↓ ∧>␈εαhas␈αthe␈α
binomial␈αdistribution␈↓ λ$␈ελb␈↓ λ;␈ε⊗␈␈εα␈αλ1,␈αε(␈↓ 	∃␈ελp␈↓ 	0␈ε⊗␈␈↓ 	\␈ελX␈↓ 	z␈εα)/(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ 
j␈ελX␈↓ λ␈εα)␈↓ "␈εα,
␈β⊃$␈↓ β¬␈ε¬1␈↓ ∧#␈ε¬1
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα130␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.4.1
␈βα&␈↓ ↓H␈εαsince␈↓ α≡␈ελN␈↓ αQ␈εαtells␈α
us␈αho␈α␈w␈α
man␈α␈y␈α
of␈↓ ¬~␈ελb␈↓ ¬.␈ε⊗␈␈εα␈α¬1␈α
random␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈αin␈α
the␈α
range␈α
[␈↓ 	R␈ελX␈↓ 	p␈εα,␈αε1)␈α
are␈α
<␈↓ ⊂␈ελp␈↓ "␈εα.
␈βα4␈↓ α9␈ε¬1
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαBy␈αchoosing␈↓ β⊃␈ελa␈↓ β-␈εα=␈α
1␈απ+␈ε⊗␈απb␈↓ ∧-␈ελt␈↓ ∧:␈εα/2␈ε⊗c␈εα,␈αthe␈αparameter␈↓ εk␈ελt␈↓ πβ␈εαwill␈αbe␈αreduced␈αto␈αa␈αreasonable␈αsize
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαafter␈αabout␈↓ β¬␈εαlg␈↓ β'␈ελt␈↓ β@␈εαreductions␈α
of␈α
this␈αkind.␈α~(This␈α
approach␈α
is␈αdue␈α
to␈αJ.␈α
H.␈αAhrens,
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαwho␈αhas␈αalso␈αsuggested␈αan␈αalternativ␈α␈e␈αfor␈αmedium-sized␈↓ λ?␈ελt␈↓ λL␈εα;␈αsee␈αex␈α␈ercise␈α27.)
␈ββ←␈↓ ↓H␈εα(␈ελ3␈↓ ↓k␈εα)␈ε∂␈α
The␈α∞Poisson␈α
distribution␈εα␈α∞with␈α
mean␈↓ εK␈ελ⊗␈↓ ε←␈εα.␈α,This␈α∞distribution␈α
is␈α∞related␈α
to␈α
the
␈β∧
␈↓ ↓H␈εαexponen␈α␈tial␈αdistribution␈αas␈αthe␈αbinomial␈αdistribution␈αis␈αrelated␈α
to␈αthe␈αgeometric:
␈β∧5␈↓ ↓H␈εαit␈α	represen␈α␈ts␈α
the␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α	occurrences,␈α
per␈α
unit␈α	time,␈α
of␈α
an␈α	ev␈α␈en␈α␈t␈α	that␈α
can␈α	occur
␈β∧a␈↓ ↓H␈εαat␈α
an␈α␈y␈α
instan␈α␈t␈α
of␈α
time.␈α∂For␈α
example,␈α∞the␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
alpha␈α
particles␈α
emitted␈α
by
␈β¬␈↓ ↓H␈εαa␈αradioactiv␈α␈e␈αsubstance␈αin␈αa␈αsingle␈αsecond␈αhas␈αa␈αPoisson␈αdistribution.
␈β¬7␈↓ α␈εαAccording␈α
to␈α
this␈αprinciple,␈α
w␈α␈e␈α
can␈α
produce␈α
a␈α
Poisson␈αdeviate␈↓ 	i␈ελN␈↓ 
_␈εαby␈αgener-
␈β¬b␈↓ ↓H␈εαating␈α
independen␈α␈t␈α
exponen␈α␈tial␈α
deviates␈↓ ε@␈ελX␈↓ εh␈εα,␈↓ ε␈␈ελX␈↓ π'␈εα,␈↓ π>␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πu␈εαwith␈α∞mean␈α
1/␈↓ 	N␈ελ⊗␈↓ 	b␈εα,␈α
stopping␈α
as
␈β¬p␈↓ εY␈ε¬1␈↓ π_␈ε¬2
␈βε
␈↓ ↓H␈εαsoon␈αas␈↓ αD␈ελX␈↓ αr␈εα+␈↓ β≥␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ βN␈εα+␈↓ βy␈ελX␈↓ ∧6␈ε⊗∃␈εα␈α
1;␈αthen␈↓ ¬\␈ελN␈↓ ελ␈ε⊗ ␈↓ ε6␈ελm␈↓ ε\␈ε⊗␈␈εα␈απ1.␈αThe␈αprobability␈αthat␈↓ 	}␈ελX␈↓ 
-␈εα+␈↓ 
X␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ␈εα+
␈βε≠␈↓ α]␈ε¬1␈↓ ∧∩␈εm␈↓ 
↔␈ε¬1
␈βε9␈↓ ↓H␈ελX␈↓ α
␈ε⊗∃␈εα␈α∞1␈α∂is␈α∂the␈α∂probability␈α∂that␈α∂a␈α∂gamma␈α∂deviate␈α∂of␈α∂order␈↓ 	∧␈ελm␈↓ 	3␈εαis␈ε⊗␈α∂∃␈↓ 

␈ελ⊗␈↓ 
!␈εα,␈α∂namely
␈βεF␈↓ ↓a␈εm
␈βεH␈↓ ↓H␈ε↓R
␈βεV␈↓ ↓`␈ε→1
␈βε←␈↓ α∂␈εm␈↓ α)␈ε→␈␈ε¬1␈↓ αc␈ε→␈␈↓ β␈εt
␈βεd␈↓ αα␈ελt␈↓ αU␈ελe␈↓ β⊂␈ελd␈↓ β$␈ελt␈↓ β1␈εα/(␈↓ βO␈ελm␈↓ βw␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)!;␈αhence␈αthe␈αprobability␈αthat␈↓ λ␈ελN␈↓ λ7␈εα=␈↓ λe␈ελn␈↓ 	ε␈εαis
␈βεw␈↓ ↓Y␈ε⊗
␈βπ_␈↓ ↓u␈ε↓Z␈↓ ¬␈ε↓Z
␈βπ ␈↓ α→␈ε→1␈↓ ¬/␈ε→1
␈βπ)␈↓ λ∧␈εn
␈βπ.␈↓ ↓R␈εα1␈↓ ∧9␈εα1␈↓ πp␈ελ⊗
␈βπ?␈↓ αI␈εn␈↓ αi␈ε→␈␈↓ βε␈εt␈↓ ¬←␈εn␈↓ ¬q␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ε*␈ε→␈␈↓ εG␈εt␈↓ π?␈ε→␈␈↓ π\␈ε⊗
␈βπE␈↓ α<␈ελt␈↓ α[␈ελe␈↓ β⊗␈ελd␈↓ β+␈ελt␈↓ βJ␈ε⊗␈␈↓ ¬R␈ελt␈↓ ε≤␈ελe␈↓ εX␈ελd␈↓ εl␈ελt␈↓ πβ␈εα=␈↓ π1␈ελe␈↓ λ~␈εα,␈↓ λr␈ελn␈↓ 	⊃␈ε⊗∃␈εα␈α
0.␈↓ 
p␈εα(40)
␈βπU␈↓ ↓L␈∧πU↓Lα ␈↓ ∧∧␈∧πU∧∧α}␈↓ πp␈∧πUπpα&
␈βπ]␈↓ ↓L␈ελn␈↓ ↓a␈εα!␈↓ ∧∧␈εα(␈↓ ∧⊂␈ελn␈↓ ∧-␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)!␈↓ πs␈ελn␈↓ λ	␈εα!
␈βπh␈↓ α	␈ε⊗␈↓ ¬∨␈ε⊗
␈βλ_␈↓ ↓H␈εαIf␈α
w␈α␈e␈α
generate␈α
exponen␈α␈tial␈α
deviates␈α
by␈α
the␈α∞logarithm␈α
method,␈α
the␈α
abo␈α␈v␈α␈e␈α
recipe
␈βλD␈↓ ↓H␈εαtells␈α
us␈αto␈αstop␈α
when␈ε⊗␈α␈␈εα(␈↓ ∧C␈εαln␈↓ ∧g␈ελU␈↓ ¬∩␈εα+␈↓ ¬=␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬m␈εα+␈↓ ε↔␈εαln␈↓ ε;␈ελU␈↓ εl␈εα)/␈↓ π
␈ελ⊗␈↓ π(␈ε⊗∃␈εα␈α
1.␈αSimplifying␈αthis␈α
expression,
␈βλQ␈↓ ∧}␈ε¬1␈↓ εR␈εm
␈βλj␈↓ 
)␈ε→␈␈↓ 
E␈ε⊗
␈βλo␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈α
see␈αthat␈αthe␈α
desired␈αPoisson␈αdeviate␈α
can␈αbe␈α
obtained␈αby␈αcalculating␈↓ 
~␈ελe␈↓ 
V␈εα,␈α
con-
␈β	~␈↓ ↓H␈εαv␈α␈erting␈α
it␈α
to␈α
a␈α
|x␈α␈ed-poin␈α␈t␈α
represen␈α␈tation,␈α∞then␈α
generating␈α
one␈α
or␈α
more␈α
uniform
␈β	@␈↓ 	␈ε→␈␈↓ 	)␈ε⊗
␈β	E␈↓ ↓H␈εαdeviates␈↓ αV␈ελU␈↓ α{␈εα,␈↓ β∀␈ελU␈↓ β:␈εα,␈↓ βS␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧␈εαun␈α␈til␈α∂the␈α∞product␈α∞satis|es␈↓ π2␈ελU␈↓ π]␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ
␈ελU␈↓ λL␈ε⊗∀␈↓ λ}␈ελe␈↓ 	9␈εα,␈α∂|nally␈α∞setting
␈β	S␈↓ αm␈ε¬1␈↓ β+␈ε¬2␈↓ πI␈ε¬1␈↓ λ$␈εm
␈β	p␈↓ ↓H␈ελN␈↓ ↓z␈ε⊗ ␈↓ α/␈ελm␈↓ αZ␈ε⊗␈␈εα␈α1.␈α→On␈α⊂the␈α⊂av␈α␈erage␈α⊂this␈α⊃requires␈α⊂the␈α⊂generation␈α⊂of␈↓ 	A␈ελ⊗␈↓ 	←␈εα+␈α1␈α⊂uniform
␈β
≤␈↓ ↓H␈εαdeviates,␈αso␈αit␈αis␈αa␈αv␈α␈ery␈αuseful␈αapproach␈αwhen␈↓ π#␈ελ⊗␈↓ πC␈εαis␈αnot␈αtoo␈αlarge.
␈β
G␈↓ α␈εαWhen␈↓ αq␈ελ⊗␈↓ β∂␈εαis␈α	large,␈α
w␈α␈e␈α	can␈α	obtain␈α
a␈α	method␈α	of␈α
order␈↓ λ␈εαlog␈↓ λ@␈ελ⊗␈↓ λ]␈εαby␈α	using␈α
the␈α	fact␈α	that
␈β
r␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αkno␈α␈w␈αho␈α␈w␈α
to␈αhandle␈αthe␈α
gamma␈αand␈αbinomial␈αdistributions␈α
for␈αlarge␈αorders:
␈β≥␈↓ ↓H␈εαFirst␈αgenerate␈↓ β1␈ελX␈↓ β[␈εαwith␈α
the␈αgamma␈α
distribution␈α
of␈αorder␈↓ λ9␈ελm␈↓ λc␈εα=␈ε⊗␈αb␈↓ 	 ␈ελ␈↓ 	4␈ελ⊗␈↓ 	H␈ε⊗c␈εα,␈α
where␈↓ 
U␈ελ␈↓ 
v␈εαis␈αa
␈βH␈↓ ↓H␈εαsuitable␈α
constan␈α␈t.␈α≤(Since␈↓ ∧f␈ελX␈↓ ¬⊃␈εαis␈α∞equivalen␈α␈t␈α
to␈ε⊗␈α∞␈␈↓ π=␈εαln␈↓ π[␈εα(␈↓ πg␈ελU␈↓ λ∩␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λB␈ελU␈↓ λs␈εα),␈α∞w␈α␈e␈α∞are␈α
essen␈α␈tially
␈βV␈↓ π}␈ε¬1␈↓ λY␈εm
␈βt␈↓ ↓H␈εαbypassing␈↓ αm␈ελm␈↓ β_␈εαsteps␈αof␈αthe␈αprevious␈αmethod.)␈α_If␈↓ π/␈ελX␈↓ πW␈εα<␈↓ λ¬␈ελ⊗␈↓ λ→␈εα,␈αset␈↓ λf␈ελN␈↓ 	⊃␈ε⊗ ␈↓ 	?␈ελm␈↓ 	f␈εα+␈↓ 
∩␈ελN␈↓ 
;␈εα,␈αwhere
␈β↓␈↓ 
-␈ε¬1
␈β∨␈↓ ↓H␈ελN␈↓ ↓}␈εαis␈α∞a␈α
Poisson␈α
deviate␈α∞of␈α
mean␈↓ ¬Q␈ελ⊗␈↓ ¬m␈ε⊗␈␈↓ ε~␈ελX␈↓ ε8␈εα;␈α∞and␈α∞if␈↓ π;␈ελX␈↓ πe␈ε⊗∃␈↓ λ∃␈ελ⊗␈↓ λ)␈εα,␈α∞set␈↓ λz␈ελN␈↓ 	(␈ε⊗ ␈↓ 	Y␈ελN␈↓ 
α␈εα,␈α∞where␈↓ β␈ελN
␈β,␈↓ ↓c␈ε¬1␈↓ 	t␈ε¬1␈↓ ≡␈ε¬1
␈βJ␈↓ ↓H␈εαhas␈αthe␈αbinomial␈αdistribution␈α(␈↓ ¬(␈ελm␈↓ ¬O␈ε⊗␈␈εα␈απ1,␈↓ ε≤␈ελ⊗␈↓ ε0␈εα/␈↓ εB␈ελX␈↓ ε`␈εα).␈αThis␈αmethod␈αis␈αdue␈αto␈αJ.␈αH.␈αAhrens
␈βr␈↓ π9␈ε¬7
␈βu␈↓ ↓H␈εαand␈αU.␈αDieter,␈αwhose␈αexperimen␈α␈ts␈αsuggest␈αthat␈↓ πW␈εαis␈αa␈αgood␈αchoice␈αfor␈↓ 
∪␈ελ␈↓ 
'␈εα.
␈β
¬␈↓ π9␈∧
¬π9α∂
␈β
λ␈↓ π9␈ε¬8
␈β
 ␈↓ α␈εαThe␈α
validity␈α
of␈α
the␈α
abo␈α␈v␈α␈e␈α
reduction␈α
when␈↓ π~␈ελX␈↓ πB␈ε⊗∃␈↓ πp␈ελ⊗␈↓ λ∞␈εαis␈α
a␈α
consequence␈α
of␈α
the␈α
fol-
␈β
L␈↓ ↓H␈εαlo␈α␈wing␈αλimportan␈α␈t␈απprinciple:␈α
\Let␈↓ ¬E␈ελX␈↓ ¬m␈εα,␈↓ ¬␈␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε/␈εα,␈↓ εB␈ελX␈↓ ε⎇␈εαbe␈αλindependen␈α␈t␈αλexponen␈α␈tial␈απdeviates
␈β
Y␈↓ ¬↑␈ε¬1␈↓ ε[␈εm
␈β
w␈↓ ↓H␈εαwith␈α
the␈αsame␈α
mean;␈αlet␈↓ ∧I␈ελS␈↓ ∧r␈εα=␈↓ ¬ ␈ελX␈↓ ¬M␈εα+␈↓ ¬w␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε'␈εα+␈↓ εQ␈ελX␈↓ πα␈εαand␈αlet␈↓ πy␈ελV␈↓ λ$␈εα=␈↓ λR␈ελS␈↓ λq␈εα/␈↓ 	β␈ελS␈↓ 	:␈εαfor␈α
1␈ε⊗␈α
∀␈↓ 
:␈ελj␈↓ 
U␈ε⊗∀␈↓ β␈ελm␈↓ "␈εα.
␈β∞∧␈↓ ∧[␈εj␈↓ ¬9␈ε¬1␈↓ εj␈εj␈↓ λ
␈εj␈↓ λd␈εj␈↓ 	∃␈εm
␈β∞"␈↓ ↓H␈εαThen␈αλthe␈α	distribution␈αλof␈↓ ∧D␈ελV␈↓ ∧f␈εα,␈↓ ∧z␈ελV␈↓ ¬≤␈εα,␈↓ ¬/␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬←␈εα,␈↓ ¬r␈ελV␈↓ εT␈εαis␈α	the␈αλsame␈α	as␈αλthe␈α	distribution␈αλof␈↓ 
P␈ελm␈↓ 
s␈ε⊗␈␈εα␈αβ1
␈β∞/␈↓ ∧X␈ε¬1␈↓ ¬∞␈ε¬2␈↓ εε␈εm␈↓ ε ␈ε→␈␈ε¬1
␈β∞M␈↓ ↓H␈εαindependen␈α␈t␈α∂uniform␈α⊂deviates␈α⊂sorted␈α∂in␈α␈to␈α⊂increasing␈α⊂order."␈α↔To␈α⊂establish␈α∂this
␈β∞x␈↓ ↓H␈εαprinciple␈αλformally,␈α
w␈α␈e␈α	compute␈α	the␈αλprobability␈α	that␈↓ πm␈ελV␈↓ λ→␈ε⊗∀␈↓ λG␈ελv␈↓ λf␈εα,␈↓ λy␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	)␈εα,␈↓ 	<␈ελV␈↓ 
 ␈ε⊗∀␈↓ 
N␈ελv␈↓ "␈εα,
␈β∂ε␈↓ λ↓␈ε¬1␈↓ λW␈ε¬1␈↓ 	P␈εm␈↓ 	j␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 
]␈εm␈↓ 
w␈ε→␈␈ε¬1
␈β∂$␈↓ ↓H␈εαgiv␈α␈en␈αthe␈αvalue␈αof␈↓ βo␈ελS␈↓ ∧%␈εα=␈↓ ∧S␈ελs␈↓ ∧b␈εα,␈αfor␈αarbitrary␈αvalues␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ λα␈ελv␈↓ λ*␈ε⊗∀␈↓ λX␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	␈ε⊗∀␈↓ 	:␈ελv␈↓ 
→␈ε⊗∀␈εα␈α
1:
␈β∂1␈↓ ∧↓␈εm␈↓ λ⊃␈ε¬1␈↓ 	J␈εm␈↓ 	c␈ε→␈␈ε¬1
␈β∂L␈↓ ↓L␈ε↓R␈↓ β∪␈ε↓R␈↓ ¬"␈ε↓R
␈β∂\␈↓ ↓d␈ε
v␈↓ ↓{␈ε
s␈↓ β+␈ε
v␈↓ βC␈ε
s␈↓ βN␈ε≠␈␈↓ βd␈ε
t␈↓ ¬:␈ε
v␈↓ ¬}␈ε
s␈↓ ε	␈ε≠␈␈↓ ε∨␈ε
t␈↓ ε3␈ε≠␈␈↓ εJ␈ε≠↓↓↓␈↓ ε\␈ε≠␈␈↓ εs␈ε
t
␈β∂b␈↓ ↓p␈επ1␈↓ β8␈επ2␈↓ βm␈επ1␈↓ ¬F␈ε
m␈↓ ¬\␈ε≠␈␈επ1␈↓ ε(␈επ1␈↓ ε{␈ε
m␈↓ π⊃␈ε≠␈␈επ2
␈β∂i␈↓ α!␈ε≠␈␈↓ α8␈ε
t␈↓ αL␈επ/␈↓ αW␈ε
⊗␈↓ ∧∪␈ε≠␈␈↓ ∧*␈ε
t␈↓ ∧>␈επ/␈↓ ∧I␈ε
⊗␈↓ πN␈ε≠␈␈↓ πe␈ε
t␈↓ λ%␈επ/␈↓ λ0␈ε
⊗␈↓ 	8␈ε≠␈␈επ␈α␈(␈↓ 	V␈ε
s␈↓ 	`␈ε≠␈␈↓ 	w␈ε
t␈↓ 
␈ε≠␈␈↓ 
!␈ε≠↓␈α↓↓↓␈↓ 
4␈ε≠␈␈↓ 
K␈ε
t␈↓ ␈επ)␈α␈/␈↓ ≥␈ε
⊗
␈β∂m␈↓ α¬␈ε⊗␈↓ α⊗␈εe␈↓ αj␈εd␈↓ αz␈εt␈↓ βw␈ε⊗␈↓ ∧λ␈εe␈↓ ∧\␈εd␈↓ ∧l␈εt␈↓ ¬¬␈ε¬...␈↓ π2␈ε⊗␈↓ πB␈εe␈↓ λC␈εd␈↓ λS␈εt␈↓ 	∀␈ε→↓␈↓ 	≤␈ε⊗␈↓ 	,␈εe
␈β∂p␈↓ αA␈επ1␈↓ ∧3␈επ2␈↓ πm␈ε
m␈↓ λβ␈ε≠␈␈επ1␈↓ 
␈επ1␈↓ 
S␈ε
m␈↓ 
i␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β∂v␈↓ ββ␈επ1␈↓ ∧u␈επ2␈↓ λ\␈ε
m␈↓ λr␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β∂␈␈↓ ↓⎇␈ε↓R␈↓ β2␈ε↓R␈↓ ¬/␈ε↓R
␈β⊂␈↓ ↓]␈επ0␈↓ β$␈επ0␈↓ ¬3␈επ0
␈β⊂∞␈↓ ↓L␈∧⊂∞↓Lα	`
␈β⊂∂␈↓ α∃␈ε
s␈↓ βJ␈ε
s␈↓ βU␈ε≠␈␈↓ βl␈ε
t␈↓ ¬G␈ε
s␈↓ ¬R␈ε≠␈␈↓ ¬i␈ε
t␈↓ ¬|␈ε≠␈␈↓ ε∪␈ε≠↓↓↓␈↓ ε&␈ε≠␈␈↓ ε<␈ε
t
␈β⊂⊗␈↓ βt␈επ1␈↓ ¬q␈επ1␈↓ εE␈ε
m␈↓ εZ␈ε≠␈␈επ2
␈β⊂≥␈↓ αA␈ε≠␈␈↓ αW␈ε
t␈↓ αk␈επ/␈↓ αv␈ε
⊗␈↓ ∧ ␈ε≠␈␈↓ ∧7␈ε
t␈↓ ∧K␈επ/␈↓ ∧V␈ε
⊗␈↓ π≥␈ε≠␈␈↓ π3␈ε
t␈↓ πt␈επ/␈↓ π␈␈ε
⊗␈↓ 	ε␈ε≠␈␈επ(␈↓ 	$␈ε
s␈↓ 	/␈ε≠␈␈↓ 	F␈ε
t␈↓ 	Z␈ε≠␈␈↓ 	p␈ε≠↓↓␈α↓↓␈↓ 
β␈ε≠␈␈↓ 
→␈ε
t␈↓ 
Y␈επ)/␈↓ 
l␈ε
⊗
␈β⊂!␈↓ α%␈ε⊗␈↓ α5␈εe␈↓ β	␈εd␈↓ β→␈εt␈↓ ∧∧␈ε⊗␈↓ ∧∃␈εe␈↓ ∧i␈εd␈↓ ∧y␈εt␈↓ ¬∩␈ε¬...␈↓ π↓␈ε⊗␈↓ π⊃␈εe␈↓ λ⊃␈εd␈↓ λ"␈εt␈↓ λb␈ε→↓␈↓ λj␈ε⊗␈↓ λ{␈εe
␈β⊂#␈↓ α`␈επ1␈↓ ∧@␈επ2␈↓ π<␈ε
m␈↓ πR␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ 	N␈επ1␈↓ 
"␈ε
m␈↓ 
8␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β⊂)␈↓ β"␈επ1␈↓ ¬α␈επ2␈↓ λ+␈ε
m␈↓ λA␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β⊂3␈↓ α∞␈επ0␈↓ βC␈επ0␈↓ ¬@␈επ0
␈β⊂9␈↓ εy␈ε↓R␈↓ πy␈ε↓R␈↓ 	)␈ε↓R
␈β⊂G␈↓ π⊃␈εv␈↓ λ⊃␈εv␈↓ 	A␈εv
␈β⊂P␈↓ π∨␈επ1␈↓ λ∨␈επ2␈↓ 	O␈ε
m␈↓ 	e␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β⊂U␈↓ π6␈ελd␈↓ πJ␈ελu␈↓ λ6␈ελd␈↓ λK␈ελu␈↓ λs␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 

␈ελd␈↓ 
!␈ελu
␈β⊂b␈↓ π←␈ε¬1␈↓ λ←␈ε¬2␈↓ 
5␈εm␈↓ 
O␈ε→␈␈ε¬1
␈β⊂h␈↓ π
␈ε¬0␈↓ λ
␈εu␈↓ 	:␈εu
␈β⊂p␈↓ λ≤␈επ1␈↓ 	L␈ε
m␈↓ 	b␈ε≠␈␈επ␈α␈2
␈β⊂r␈↓ εG␈εα=␈↓ 
}␈εα,
␈β⊂y␈↓ πα␈ε↓R␈↓ πw␈ε↓R␈↓ 	$␈ε↓R
␈β⊃α␈↓ εy␈∧⊃αεyα∧α
␈β⊃π␈↓ π~␈ε¬1␈↓ λ∂␈ε¬1␈↓ 	<␈ε¬1
␈β⊃∃␈↓ π4␈ελd␈↓ πH␈ελu␈↓ λ1␈ελd␈↓ λE␈ελu␈↓ λn␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
∧␈ελd␈↓ 
_␈ελu
␈β⊃"␈↓ π]␈ε¬1␈↓ λZ␈ε¬2␈↓ 
-␈εm␈↓ 
G␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β⊃(␈↓ π∪␈ε¬0␈↓ λλ␈εu␈↓ 	5␈εu
␈β⊃0␈↓ λ~␈επ1␈↓ 	G␈ε
m␈↓ 	\␈ε≠␈␈επ2
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.4.1␈ε∞␈↓ π+NUMERICAL␈α	DIST␈α␈RIBUT␈α␈IONS␈↓ 
v␈εα131
␈βα(␈↓ ↓H␈εαby␈απmaking␈αλthe␈απsubstitution␈↓ ∧p␈ελt␈↓ ¬∪␈εα=␈↓ ¬A␈ελs␈↓ ¬P␈ελu␈↓ ¬s␈εα,␈↓ ε¬␈ελt␈↓ ε!␈εα+␈↓ εG␈ελt␈↓ εj␈εα=␈↓ π_␈ελs␈↓ π'␈ελu␈↓ πJ␈εα,␈↓ π\␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ␈εα,␈↓ λ∨␈ελt␈↓ λ:␈εα+␈↓ λ`␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	␈εα+␈↓ 	2␈ελt␈↓ 
␈εα=␈↓ 
:␈ελs␈↓ 
I␈ελu␈↓ "␈εα.
␈βα5␈↓ ∧{␈ε¬1␈↓ ¬d␈ε¬1␈↓ ε⊂␈ε¬1␈↓ εQ␈ε¬2␈↓ π;␈ε¬2␈↓ λ)␈ε¬1␈↓ 	=␈εm␈↓ 	W␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ 
]␈εm␈↓ 
w␈ε→␈␈ε¬1
␈βαS␈↓ ↓H␈εαThe␈αlatter␈α
ratio␈α
is␈α
the␈α
corresponding␈α
probability␈αthat␈α
uniform␈α
deviates␈↓ 
6␈ελU␈↓ 
[␈εα,␈↓ 
r␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ "␈εα,
␈βαa␈↓ 
M␈ε¬1
␈βα}␈↓ ↓H␈ελU␈↓ α0␈εαsatisfy␈↓ β"␈ελU␈↓ βQ␈ε⊗∀␈↓ β␈␈ελv␈↓ ∧≥␈εα,␈↓ ∧3␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧c␈εα,␈↓ ∧y␈ελU␈↓ ¬←␈ε⊗∀␈↓ ε
␈ελv␈↓ εb␈εα,␈αgiv␈α␈en␈αthat␈↓ λ%␈ελU␈↓ λU␈ε⊗∀␈↓ 	β␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	7␈ε⊗∀␈↓ 	e␈ελU␈↓ 
A␈εα.
␈ββ␈↓ ↓←␈εm␈↓ ↓y␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ β9␈ε¬1␈↓ ∧∂␈ε¬1␈↓ ¬⊂␈εm␈↓ ¬*␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ε≥␈εm␈↓ ε7␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ<␈ε¬1␈↓ 	|␈εm␈↓ 
⊗␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈ββ+␈↓ α␈εαA␈α
more␈α	e}cien␈α␈t␈α
but␈α	somewhat␈α
more␈α	complicated␈α
technique␈α	for␈α
binomial␈α	and
␈ββW␈↓ ↓H␈εαPoisson␈αdeviates␈αis␈αsk␈α␈etched␈αin␈αex␈α␈ercise␈α22.
␈β∧$␈↓ ↓H␈ε∩G.␈αFor␈αfurther␈αreading.␈εα␈α↔The␈αforthcoming␈αbook␈ε∂␈αNon-Uniform␈αRandom␈αNum␈α␈bers
␈β∧O␈↓ ↓H␈εαby␈α∞J.␈α∂H.␈α∞Ahrens␈α∞and␈α∂U.␈α∞Dieter␈α∂discusses␈α∞man␈α␈y␈α∂more␈α∞algorithms␈α∂for␈α∞the␈α∞gener-
␈β∧z␈↓ ↓H␈εαation␈α
of␈α
random␈α	variables␈α
with␈α
non␈α␈uniform␈α
distributions,␈αtogether␈α
with␈α
a␈α	careful
␈β¬%␈↓ ↓H␈εαconsideration␈αof␈αthe␈αe}ciency␈αof␈αeach␈αtechnique␈αon␈αtypical␈αcomputers.
␈β¬R␈↓ α␈εαFrom␈α	a␈α	theoretical␈α	poin␈α␈t␈α	of␈αλview␈α	it␈α	is␈α	in␈α␈teresting␈α	to␈α	consider␈ε∂␈α	optimal␈εα␈αλmethods
␈β¬}␈↓ ↓H␈εαfor␈αgenerating␈αrandom␈αvariables␈αwith␈αa␈αgiv␈α␈en␈αdistribution,␈αin␈αthe␈αsense␈αthat␈αthe
␈βε)␈↓ ↓H␈εαmethod␈απproduces␈αλthe␈αλdesired␈αλresult␈αλfrom␈απthe␈αλminim␈α␈um␈αλpossible␈αλn␈α␈um␈α␈ber␈αλof␈απrandom
␈βεT␈↓ ↓H␈εαbits.␈αFor␈α
the␈α	beginnings␈α
of␈α
a␈α	theory␈α
dealing␈α
with␈α	such␈α
questions,␈α
see␈α
D.␈α
E.␈α	Kn␈α␈uth
␈βε␈␈↓ ↓H␈εαand␈α∂A.␈α∂C.␈α∂Yao,␈ε∂␈α⊂Algorithms␈α∂and␈α∂Complexity␈εα,␈α⊂ed.␈α⊗by␈α∂J.␈α∂F.␈α∂Traub␈α∂(New␈α∂York:
␈βπ*␈↓ ↓H␈εαAcademic␈αPress,␈α1976),␈α357↑428.
␈βπW␈↓ α␈εαEx␈α␈ercise␈α∞16␈α
is␈α∞recommended␈α∞as␈α∞a␈α
review␈α∞of␈α∞man␈α␈y␈α∞of␈α
the␈α∞techniques␈α∞in␈α
this
␈βλα␈↓ ↓H␈εαsection.
␈β	→␈↓ ↓H␈ε≥E␈α␈XERCI␈α↓SE␈α␈S
␈β	s␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ[␈ε	10␈↓ α;␈εβ]␈α⊗If␈↓ α|␈ε	␈↓ β→␈εβand␈↓ βZ␈ε	␈␈↓ βz␈εβare␈αrea␈α␈l␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers␈αwith␈↓ εE␈ε	␈↓ εa␈εβ<␈↓ π␈ε	␈␈↓ π ␈εβ,␈αh␈α␈o␈α␈w␈αwo␈α␈uld␈αy␈α}ou␈αge␈α␈nera␈α␈te␈αa␈αrand␈α␈om
␈β
~␈↓ ↓H␈εβre␈α␈al␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈αu␈α␈niform␈α␈l␈α↓y␈α
distribu␈α␈ted␈α
bet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈↓ εD␈ε	␈↓ εa␈εβand␈↓ π"␈ε	␈␈↓ π7␈εβ?
␈β
T␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ[␈ε	M16␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Assu␈α␈ming␈α∞that␈↓ ∧↑␈ε	m␈↓ ∧|␈ε	U␈↓ ¬&␈εβis␈α∂a␈α∂ra␈α␈nd␈α␈om␈α∂in␈α␈te␈α␈ger␈α∂b␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α∞0␈α∂an␈α␈d␈↓ 	C␈ε	m␈↓ 	j␈ε↔␈␈εβ␈α
1,␈α⊂wha␈α␈t␈α∂is
␈β
{␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈ε⊂␈α
exa␈α␈ct␈εβ␈α∞p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈α
th␈α␈at␈ε↔␈α∞b␈↓ ∧e␈ε	k␈↓ ∧u␈ε	U␈↓ ¬⊂␈ε↔c␈εβ␈α
=␈↓ ¬Y␈ε	r␈↓ ¬g␈εβ,␈α∂if␈α∞0␈ε↔␈α∀␈↓ εm␈ε	r␈↓ π	␈εβ<␈↓ π7␈ε	k␈↓ πH␈εβ?␈α∩Co␈α␈mpa␈α␈re␈α∞th␈α␈is␈α∞with␈α
th␈α␈e␈α∞d␈α␈esired
␈β#␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈α1␈α␈/␈↓ β∃␈ε	k␈↓ β%␈εβ.
␈βX␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β\␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβ[␈ε	14␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Discus␈α␈s␈αtreatin␈α␈g␈↓ ∧P␈ε	U␈↓ ∧w␈εβas␈αa␈α␈n␈αin␈α␈te␈α␈ger␈αa␈α␈nd␈ε⊂␈αdivid␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈εβ␈αb␈α␈y␈↓ λ4␈ε	k␈↓ λP␈εβto␈αg␈α␈et␈αa␈αr␈α␈and␈α␈om␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈r
␈β∧␈↓ ↓H␈εβb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α0␈αand␈↓ β&␈ε	k␈↓ β>␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈αi␈α↓n␈α␈stea␈α␈d␈αo␈α␈f␈αm␈α␈ultiply␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αa␈α␈s␈αsu␈α␈gge␈α␈sted␈αi␈α↓n␈αthe␈αtex␈α␈t.␈α∞Th␈α}us␈α(1␈α␈)␈αwo␈α␈uld
␈β+␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e␈αch␈α␈an␈α␈ged␈αt␈α␈o
␈βM␈↓ ¬N␈ε∃E␈α␈NTA␈↓ εJ␈ε∃0
␈βt␈↓ ¬N␈ε∃L␈α␈DX␈↓ εJ␈ε∃U
␈β
≤␈↓ ¬N␈ε∃D␈α␈IV␈↓ εJ␈ε∃K
␈β
T␈↓ ↓H␈εβwith␈α
the␈αresu␈α␈lt␈αap␈α␈pea␈α␈ri␈α↓n␈α␈g␈αin␈αre␈α␈gister␈αX.␈αIs␈αth␈α␈is␈αa␈αgo␈α␈od␈αm␈α␈etho␈α␈d?
␈β∞
␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈αthe␈αt␈α␈w␈α␈o␈αre␈α␈l␈α↓a␈α␈tions␈αin␈α
(␈α↓8␈α␈).
␈β∞C␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∞G␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβ[␈ε	21␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Su␈α␈gg␈α␈est␈α
a␈α␈n␈α
e␈α␈}cien␈α␈t␈α	meth␈α␈od␈α	to␈α	comp␈α␈ut␈α␈e␈α
a␈α	ran␈α␈dom␈α	v␈α␈ariab␈α␈l␈α↓e␈α	with␈α
th␈α␈e␈α	distribu␈α␈-
␈β∞j␈↓ α␈␈εε2␈↓ β[␈εε3
␈β∞n␈↓ ↓H␈εβtio␈α␈n␈↓ α␈ε	p␈↓ α≥␈ε	x␈↓ α6␈εβ+␈↓ α↑␈ε	q␈↓ αm␈ε	x␈↓ β∪␈εβ+␈↓ β;␈ε	r␈↓ βJ␈ε	x␈↓ βh␈εβ,␈αwhere␈↓ ∧\␈ε	p␈↓ ∧w␈ε↔∃␈εβ␈α	0,␈↓ ¬F␈ε	q␈↓ ¬↑␈ε↔∃␈εβ␈α
0␈α␈,␈↓ ε.␈ε	r␈↓ εF␈ε↔∃␈εβ␈α	0,␈αan␈α␈d␈↓ πV␈ε	p␈↓ πn␈εβ+␈↓ λ↔␈ε	q␈↓ λ-␈εβ+␈↓ λV␈ε	r␈↓ λn␈εβ=␈α	1.
␈β∂(␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈21␈↓ αm␈εβ]␈α⊗A␈αqu␈α␈an␈α␈tity␈↓ ∧5␈ε	X␈↓ ∧\␈εβis␈αcom␈α␈pu␈α␈ted␈αb␈α␈y␈αth␈α␈e␈αfoll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈αme␈α␈tho␈α␈d:
␈β∂w␈↓ α[␈εβ\␈ε⊂S␈α␈tep␈εβ␈α1␈α␈.␈↓ β]␈εβGe␈α␈nera␈α␈te␈αt␈α␈w␈α␈o␈αind␈α␈epe␈α␈nd␈α␈en␈α␈t␈αu␈α␈niform␈αd␈α␈ev␈α␈i␈α↓a␈α␈tes␈↓ λe␈ε	U␈↓ 	␈εβ,␈↓ 	∂␈ε	V␈↓ 	'␈εβ.
␈β⊂%␈↓ ∧→␈εε2␈↓ ∧n␈εε2
␈β⊂)␈↓ αl␈ε⊂S␈α␈tep␈εβ␈α2␈α␈.␈↓ β]␈εβIf␈↓ β}␈ε	U␈↓ ∧-␈εβ+␈↓ ∧V␈ε	V␈↓ ¬β␈ε↔∃␈εβ␈α
1,␈αretu␈α␈rn␈αto␈α
step␈α1␈α␈;␈αo␈α␈therwise␈αset␈↓ 	∃␈ε	X␈↓ 	9␈ε↔ ␈↓ 	d␈ε	U␈↓ 	␈␈εβ."
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβWh␈α␈at␈α∞is␈α∞the␈α
distribu␈α␈tion␈α
fun␈α␈ction␈α∞o␈α␈f␈↓ ¬o␈ε	X␈↓ ε␈εβ?␈α∪Ho␈α␈w␈α∞ma␈α␈n␈α␈y␈α
times␈α∞will␈α∂ste␈α␈p␈α∞1␈α
be␈α
perfo␈α␈rmed␈α␈?
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβ(Giv␈α}e␈αthe␈αm␈α␈ean␈αa␈α␈nd␈α
stan␈α␈da␈α␈rd␈αde␈α␈viation␈α␈.)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα132␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.4.1
␈βα&␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβ[␈ε	20␈↓ α;␈εβ]␈α⊗(A.␈αJ␈α␈.␈αWa␈α␈l␈α↓k␈α}er.)␈α→Su␈α␈pp␈α␈ose␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e␈α
a␈αbu␈α␈nc␈α␈h␈αof␈αcu␈α␈be␈α␈s␈αof␈↓ λu␈ε	k␈↓ 	⊃␈εβd␈α␈i{␈α↓e␈α␈ren␈α␈t␈αco␈α␈lors,␈αsay
␈βαR␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓p␈εβcu␈α␈bes␈α	o␈α␈f␈α
co␈α␈l␈α↓o␈α␈r␈↓ β=␈ε	C␈↓ βi␈εβfor␈α	1␈ε↔␈α	∀␈↓ ∧←␈ε	j␈↓ ∧w␈ε↔∀␈↓ ¬"␈ε	k␈↓ ¬2␈εβ,␈α
an␈α␈d␈α	w␈α␈e␈α	also␈α	ha␈α␈v␈α␈e␈↓ πA␈ε	k␈↓ πZ␈εβbo␈α␈x␈α}es␈ε↔␈α	f␈↓ λD␈ε	B␈↓ λd␈εβ,␈↓ λs␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 	∨␈εβ,␈↓ 	.␈ε	B␈↓ 	N␈ε↔g␈εβ␈α	each␈αλof␈α	which
␈βα\␈↓ ↓[␈εj␈↓ βT␈εj␈↓ λW␈εε1␈↓ 	A␈εk
␈βαy␈↓ ↓H␈εβc␈α␈an␈α	hold␈α	ex␈α␈actly␈↓ β?␈ε	n␈↓ β]␈εβcub␈α␈es.␈αFu␈α␈rtherm␈α␈ore␈↓ ε∧␈ε	n␈↓ ε)␈εβ+␈↓ εP␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε⎇␈εβ+␈↓ π$␈ε	n␈↓ πM␈εβ=␈↓ πx␈ε	k␈↓ λλ␈ε	n␈↓ λ≤␈εβ,␈αs␈α␈o␈α
th␈α␈e␈α
cu␈α␈bes␈α	wi␈α↓ll␈α
just␈α	|t␈α
in
␈ββ∧␈↓ ε↔␈εε1␈↓ π7␈εk
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αbo␈α}x␈α␈es.␈αPro␈α␈v␈α}e␈α(c␈α␈onstr␈α␈uctiv␈α␈e␈α␈l␈α↓y␈α␈)␈αt␈α␈hat␈αth␈α␈ere␈αi␈α↓s␈αa␈α␈l␈α↓wa␈α␈ys␈αa␈αway␈αto␈αp␈α␈ut␈αth␈α␈e␈αc␈α␈ub␈α␈es␈αi␈α↓n␈α}to␈αthe
␈ββI␈↓ ↓H␈εβb␈α␈o␈α␈x␈α}es␈αso␈αth␈α␈at␈αeach␈αb␈α␈o␈α␈x␈αco␈α␈n␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈αa␈α␈t␈αmo␈α␈st␈αt␈α␈w␈α␈o␈αd␈α␈i␈α↓{eren␈α}t␈αc␈α␈olors␈αof␈αc␈α␈ub␈α␈es;␈αin␈αfact,␈αth␈α␈ere␈αis
␈ββp␈↓ ↓H␈εβa␈αwa␈α␈y␈αto␈αdo␈αit␈αso␈αth␈α␈at,␈αwh␈α␈en␈α␈ev␈α␈er␈αb␈α␈o␈α␈x␈↓ ¬q␈ε	B␈↓ ε≤␈εβco␈α␈n␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈αt␈α␈wo␈α
colors,␈αone␈αo␈α␈f␈αth␈α␈ose␈αco␈α␈l␈α↓o␈α␈rs␈αi␈α↓s␈↓ ↓␈ε	C␈↓ #␈εβ.
␈ββ{␈↓ ε∧␈εj␈↓ ↔␈εj
␈β∧_␈↓ ↓H␈εβS␈α␈ho␈α}w␈αho␈α␈w␈αto␈α
use␈αth␈α␈is␈αprinc␈α␈i␈α↓p␈α␈le␈αto␈αco␈α␈mpu␈α␈te␈αth␈α␈e␈↓ εy␈ε	P␈↓ π≤␈εβan␈α␈d␈↓ π]␈ε	Y␈↓ λ␈εβtables␈αre␈α␈qu␈α␈i␈α↓re␈α␈d␈αin␈α(3),␈αgiv␈α}en␈αa
␈β∧?␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αd␈α␈istri␈α↓b␈α␈ut␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α(␈↓ ∧4␈ε	p␈↓ ∧P␈εβ,␈↓ ∧←␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬␈εβ,␈↓ ¬~␈ε	p␈↓ ¬7␈εβ).
␈β∧J␈↓ ∧D␈εε1␈↓ ¬*␈εk
␈β∧s␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβ[␈ε	M15␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈αth␈α␈at␈αo␈α␈pera␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α(3)␈αco␈α␈uld␈αb␈α␈e␈αch␈α␈an␈α␈ged␈α
to
␈β¬C␈↓ β3␈εβif␈↓ βi␈ε	U␈↓ ∧
␈εβ<␈↓ ∧8␈ε	P␈↓ ¬α␈εβth␈α␈en␈↓ ¬d␈ε	X␈↓ ελ␈ε↔ ␈↓ ε3␈ε	x␈↓ π∨␈εβot␈α␈herwise␈↓ λI␈ε	X␈↓ λn␈ε↔ ␈↓ 	_␈ε	Y
␈β¬M␈↓ ∧K␈εK␈↓ εB␈εK␈↓ εX␈εε+1␈↓ 	,␈εK
␈βε∪␈↓ ↓H␈εβ(i.e.,␈α	usin␈α␈g␈αλthe␈αλo␈α␈rigina␈α␈l␈α	v␈α␈alue␈αλo␈α␈f␈↓ ¬λ␈ε	U␈↓ ¬,␈εβin␈α␈stead␈απof␈↓ ε?␈ε	V␈↓ εW␈εβ)␈αλif␈α	th␈α␈is␈αλw␈α␈ere␈αλmor␈α␈e␈αλcon␈α}v␈α␈en␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈t,␈α	b␈α␈y␈αλsu␈α␈i␈α↓ta␈α␈bly
␈βε;␈↓ ↓H␈εβm␈α␈odify␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈↓ αe␈ε	P␈↓ β¬␈εβ,␈↓ β→␈ε	P␈↓ β9␈εβ,␈↓ βN␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ βz␈εβ,␈↓ ∧∞␈ε	P␈↓ ∧U␈εβ.
␈βεE␈↓ αx␈εε0␈↓ β-␈εε1␈↓ ∧"␈εk␈↓ ∧/␈ε~␈␈εε1
␈βεn␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈10␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Wh␈α␈y␈α
is␈α∞th␈α␈e␈α∞c␈α␈urv␈α}e␈↓ ¬≠␈ε	f␈↓ ¬+␈εβ(␈↓ ¬6␈ε	x␈↓ ¬G␈εβ)␈α∞o␈α␈f␈α∞Fig.␈α∞9␈α
con␈α␈cav␈α}e␈α
do␈α␈wn␈α}ward␈α
for␈↓ 	E␈ε	x␈↓ 	d␈εβ<␈α∞1␈α␈,␈α∂c␈α␈onc␈α␈av␈α␈e
␈βπ⊗␈↓ ↓H␈εβu␈α␈pwa␈α␈rd␈αfor␈↓ αt␈ε	x␈↓ β∞␈εβ>␈α
1?
␈βπE␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βπI␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈24␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Exp␈α␈l␈α↓a␈α␈in␈αh␈α␈o␈α␈w␈αto␈αcalcu␈α␈l␈α↓a␈α␈te␈αau␈α␈xiliary␈αcon␈α␈stan␈α}ts␈↓ λ%␈ε	P␈↓ λE␈εβ,␈↓ λZ␈ε	Q␈↓ λ|␈εβ,␈↓ 	⊃␈ε	Y␈↓ 	1␈εβ,␈↓ 	F␈ε	Z␈↓ 	d␈εβ,␈↓ 	y␈ε	S␈↓ 
⊗␈εβ,␈↓ 
+␈ε	D␈↓ 
N␈εβ,␈↓ 
d␈ε	E␈↓ ∂␈εβso
␈βπT␈↓ λ8␈εj␈↓ λp␈εj␈↓ 	%␈εj␈↓ 	X␈εj␈↓ 

␈εj␈↓ 
B␈εj␈↓ 
w␈εj
␈βπq␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αAlgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αM␈αd␈α␈eliv␈α␈ers␈αa␈α␈nsw␈α␈ers␈αwith␈αth␈α␈e␈αco␈α␈rrect␈αd␈α␈i␈α↓strib␈α␈ution␈α␈.
␈βλ ␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βλ$␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈27␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈αλtha␈α␈t␈α	step␈α␈s␈α	M7␈α␈↑M␈α␈8␈α	o␈α␈f␈α	Al␈α↓g␈α␈orithm␈αλM␈αλgen␈α␈erate␈αλa␈α	ra␈α␈nd␈α␈om␈αλvar␈α␈i␈α↓a␈α␈ble␈α	with
␈βλL␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈απa␈α␈pp␈α␈rop␈α␈ri␈α↓a␈α␈te␈απta␈α␈i␈α↓l␈απo␈α␈f␈απthe␈αεno␈α␈rmal␈απd␈α␈i␈α↓st␈α␈ri␈α↓b␈α␈ution␈α␈;␈αλi␈α↓.e.,␈αλth␈α␈e␈απp␈α␈roba␈α␈bility␈απth␈α␈at␈↓ 	?␈ε	X␈↓ 	c␈ε↔∀␈↓ 
∞␈ε	x␈↓ 
&␈εβsh␈α␈ould␈αεbe
␈β	ε␈↓ ∧⊃␈ε↓Z␈↓ ¬r␈ε↓Z
␈β	∂␈↓ ∧5␈εx␈↓ ε⊗␈ε~1
␈β	→␈↓ ¬G␈ε↓≡
␈β	+␈↓ ∧y␈επ2␈↓ εe␈επ2
␈β	/␈↓ ∧V␈ε~␈␈↓ ∧o␈εt␈↓ ¬∧␈εε/2␈↓ εB␈ε~␈␈↓ ε[␈εt␈↓ εp␈εε/␈α␈2
␈β	5␈↓ ∧I␈ε	e␈↓ ¬#␈ε	d␈↓ ¬5␈ε	t␈↓ ε5␈ε	e␈↓ π∂␈ε	d␈↓ π!␈ε	t␈↓ π-␈εβ,␈↓ λ∧␈ε	x␈↓ λ≡␈ε↔∃␈εβ␈α
3.
␈β	Y␈↓ ∧%␈εε3␈↓ εε␈εε3
␈β
≠␈↓ 
T␈επ2
␈β
∨␈↓ 
1␈ε~␈␈↓ 
J␈εt␈↓ 
←␈εε/␈α␈2
␈β
#␈↓ ↓H␈εβ[␈ε⊂Hin␈α␈t:␈εβ␈αSh␈α␈o␈α␈w␈αth␈α␈at␈αit␈αis␈αa␈αspe␈α␈cial␈αcase␈αof␈αth␈α␈e␈αre␈α␈jection␈αmeth␈α␈od␈α␈,␈α
with␈↓ 	∃␈ε	g␈↓ 	%␈εβ(␈↓ 	0␈ε	t␈↓ 	<␈εβ)␈α
=␈↓ 	⎇␈ε	C␈↓ 
_␈ε	t␈↓ 
$␈ε	e␈↓ ∧␈εβfo␈α␈r
␈β
K␈↓ ↓H␈εβso␈α␈me␈↓ α≠␈ε	C␈↓ α6␈εβ.]
␈β
}␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈23␈↓ αm␈εβ]␈α⊗(R.␈αλP.␈αλBren␈α}t.)␈α⊂Pro␈α␈v␈α␈e␈απth␈α␈at␈απthe␈απn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈↓ π.␈ε	a␈↓ πQ␈εβde|␈α␈ne␈α␈d␈απin␈απ(23)␈απsatisfy␈απth␈α␈e␈απrelation
␈β	␈↓ π>␈εj
␈β␈↓ λR␈ε↓R
␈β~␈↓ λj␈ε~1
␈β!␈↓ λ(␈επ2␈↓ 	9␈επ2
␈β&␈↓ ↓X␈εε2␈↓ αK␈εε2␈↓ λ~␈εx␈↓ λ3␈εε/2␈↓ 	⊗␈ε~␈␈↓ 	/␈εt␈↓ 	D␈εε/2
␈β*␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓e␈εβ/␈α␈2␈ε↔␈α
␈␈↓ α;␈ε	a␈↓ α⎇␈εβ/␈α␈2␈α∂<␈↓ β]␈εβln␈↓ β}␈εβ2␈α∞f␈α↓o␈α␈r␈α∂a␈α␈l␈α↓l␈↓ ¬ε␈ε	j␈↓ ¬$␈ε↔∃␈εβ␈α∂1.␈α [␈ε⊂Hin␈α␈t:␈εβ␈α∩If␈↓ π↔␈ε	f␈↓ π&␈εβ(␈↓ π1␈ε	x␈↓ πC␈εβ)␈α∂=␈↓ λ
␈ε	e␈↓ 		␈ε	e␈↓ 	c␈ε	d␈↓ 	u␈ε	t␈↓ 
↓␈εβ,␈α⊂sh␈α␈o␈α␈w␈α∞tha␈α␈t
␈β9␈↓ ↓X␈εj␈↓ αK␈εj␈↓ αW␈ε~␈␈εε1
␈β<␈↓ λc␈εx
␈βQ␈↓ ↓H␈ε	f␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	x␈↓ ↓t␈εβ)␈α	<␈↓ α3␈ε	f␈↓ αC␈εβ(␈↓ αN␈ε	y␈↓ α`␈εβ)␈αfor␈α0␈ε↔␈α	∀␈↓ βo␈ε	x␈↓ ∧	␈εβ<␈↓ ∧4␈ε	y␈↓ ∧F␈εβ.␈α↓]
␈β¬␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈25␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Giv␈α␈en␈α	a␈α	se␈α␈t␈α
o␈α␈f␈↓ ∧]␈ε	n␈↓ ∧z␈εβi␈α↓n␈α␈de␈α␈pen␈α␈den␈α}t␈α
n␈α␈orm␈α␈al␈α
d␈α␈evia␈α␈tes,␈↓ λ-␈ε	X␈↓ λQ␈εβ,␈↓ λd␈ε	X␈↓ 	λ␈εβ,␈↓ 	≠␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 	G␈εβ,␈↓ 	Z␈ε	X␈↓ 
α␈εβ,␈α
with␈α	m␈α␈ean
␈β∂␈↓ λD␈εε1␈↓ λ{␈εε2␈↓ 	q␈εn
␈β,␈↓ ↓H␈εβ0␈α
and␈α
va␈α␈rianc␈α␈e␈α1,␈αsho␈α␈w␈αh␈α␈o␈α␈w␈αto␈α|␈α␈nd␈α
con␈α␈stan␈α}ts␈↓ εd␈ε	b␈↓ πλ␈εβa␈α␈nd␈↓ πH␈ε	a␈↓ πo␈εβ,␈α1␈ε↔␈α	∀␈↓ λG␈ε	j␈↓ λ`␈ε↔∀␈↓ 	
␈ε	i␈↓ 	 ␈ε↔∀␈↓ 	K␈ε	n␈↓ 	←␈εβ,␈αso␈αth␈α␈at␈αif
␈β7␈↓ εp␈εj␈↓ πX␈εi␈↓ πc␈εj
␈β|␈↓ ↓i␈ε	Y␈↓ α∩␈εβ=␈↓ α=␈ε	b␈↓ α]␈εβ+␈↓ β¬␈ε	a␈↓ β.␈ε	X␈↓ βR␈εβ,␈↓ ∧)␈ε	Y␈↓ ∧R␈εβ=␈↓ ∧⎇␈ε	b␈↓ ¬≥␈εβ+␈↓ ¬E␈ε	a␈↓ ¬n␈ε	X␈↓ ε→␈εβ+␈↓ εB␈ε	a␈↓ εk␈ε	X␈↓ π∞␈εβ,␈↓ πe␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ⊃␈εβ,
␈β
π␈↓ ↓|␈εε1␈↓ αI␈εε1␈↓ β∃␈εε11␈↓ βE␈εε1␈↓ ∧<␈εε2␈↓ ¬	␈εε2␈↓ ¬U␈εε2␈α␈1␈↓ ε¬␈εε1␈↓ εQ␈εε22␈↓ πα␈εε2
␈β
+␈↓ ε/␈ε	Y␈↓ ε\␈εβ=␈↓ πε␈ε	b␈↓ π*␈εβ+␈↓ πS␈ε	a␈↓ π␈␈ε	X␈↓ λ*␈εβ+␈↓ λS␈ε	a␈↓ 	␈ε	X␈↓ 	+␈εβ+␈↓ 	S␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
α␈εβ+␈↓ 
*␈ε	a␈↓ 
Z␈ε	X␈↓ α␈εβ,
␈β
6␈↓ εB␈εn␈↓ π∩␈εn␈↓ πb␈εn␈↓ πs␈εε1␈↓ λ⊗␈εε1␈↓ λc␈εn␈↓ λs␈εε2␈↓ 	↔␈εε2␈↓ 
:␈εn␈↓ 
J␈εn␈↓ 
r␈εn
␈β
{␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈↓ α∪␈ε	Y␈↓ α3␈εβ,␈↓ αG␈ε	Y␈↓ αg␈εβ,␈↓ αz␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β'␈εβ,␈↓ β:␈ε	Y␈↓ βi␈εβa␈α␈re␈α
dep␈α␈en␈α␈den␈α}t␈αn␈α␈orm␈α␈all␈α↓y␈α
d␈α␈istribu␈α␈ted␈α
v␈α␈ariab␈α␈l␈α↓es␈α␈,␈↓ 		␈ε	Y␈↓ 	3␈εβha␈α␈s␈αm␈α␈ean␈↓ 
F␈ε	⊗␈↓ 
c␈εβ,␈αa␈α␈nd
␈β∞ε␈↓ α&␈εε1␈↓ αZ␈εε2␈↓ βN␈εn␈↓ 	≥␈εj␈↓ 
W␈εj
␈β∞ ␈↓ εK␈εα(
␈β∞#␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈↓ ↓}␈ε	Y␈↓ α↔␈εβ's␈αλh␈α␈av␈α}e␈αλa␈αλgiv␈α}en␈αλc␈α␈o␈α␈va␈α␈rianc␈α␈e␈αλmatrix␈απ(␈↓ εβ␈ε	c␈↓ ε&␈εβ).␈↓ εW␈εβT␈α↓h␈α␈e␈αλco␈α}va␈α␈ri␈α↓a␈α␈nce␈α␈,␈↓ λC␈ε	c␈↓ λf␈εβ,␈α	o␈α␈f␈↓ 	≤␈ε	Y␈↓ 	B␈εβa␈α␈nd␈↓ 	␈␈ε	Y␈↓ 
'␈εβis␈αλd␈α␈e|n␈α␈ed
␈β∞-␈↓ ε∂␈εi␈↓ ε~␈εj␈↓ λO␈εi␈↓ λZ␈εj␈↓ 	/␈εi␈↓ 
∪␈εj
␈β∞J␈↓ ↓H␈εβto␈αb␈α␈e␈α
th␈α␈e␈αav␈α␈e␈α␈rage␈αva␈α␈lue␈αof␈α
(␈↓ ∧c␈ε	Y␈↓ ¬	␈ε↔␈␈↓ ¬3␈ε	⊗␈↓ ¬O␈εβ)(␈↓ ¬e␈ε	Y␈↓ ε
␈ε↔␈␈↓ ε7␈ε	⊗␈↓ εT␈εβ).␈α⊂In␈αp␈α␈articula␈α␈r,␈↓ λG␈ε	c␈↓ λw␈εβis␈α
th␈α␈e␈α
v␈α␈arian␈α␈ce␈αof␈↓ ∧␈ε	Y␈↓ #␈εβ,
␈β∞U␈↓ ∧v␈εi␈↓ ¬D␈εi␈↓ ¬x␈εj␈↓ εH␈εj␈↓ λS␈εj␈↓ λ←␈εj␈↓ ↔␈εj
␈β∞r␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αsq␈α␈uare␈α
of␈αits␈αstan␈α␈da␈α␈rd␈αd␈α␈ev␈α␈i␈α↓a␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.␈αNot␈α
all␈αm␈α␈atrices␈α(␈↓ πd␈ε	c␈↓ λε␈εβ)␈αcan␈α
be␈αc␈α␈o␈α␈va␈α␈rianc␈α␈e␈αma␈α␈tri␈α↓c␈α␈es,
␈β∞⎇␈↓ πp␈εi␈↓ πz␈εj
␈β∂~␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
y␈α␈ou␈α␈r␈αcon␈α␈struc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αis,␈αo␈α␈f␈αc␈α␈our␈α␈se,␈αo␈α␈nly␈αsu␈α␈pp␈α␈osed␈α
to␈αw␈α␈ork␈αwh␈α␈en␈α␈ev␈α␈er␈αa␈αs␈α␈olution␈α
to␈αthe
␈β∂>␈↓ ∧Z␈εα)
␈β∂A␈↓ ↓H␈εβg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αc␈α␈on␈α␈ditions␈αis␈αp␈α␈ossible.
␈β∂u␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβ[␈ε	M21␈↓ αX␈εβ]␈α⊗If␈↓ β→␈ε	X␈↓ βA␈εβis␈α
a␈αra␈α␈nd␈α␈om␈αva␈α␈ri␈α↓a␈α␈ble␈αwith␈αcon␈α}tin␈α␈u␈α␈ous␈αd␈α␈i␈α↓strib␈α␈ution␈↓ 	(␈ε	F␈↓ 	@␈εβ(␈↓ 	K␈ε	x␈↓ 	\␈εβ),␈α
an␈α␈d␈αif␈↓ 
`␈ε	c␈↓ 
y␈εβis␈α
a
␈β⊂≤␈↓ ↓H␈εβc␈α␈onst␈α␈an␈α␈t,␈αwha␈α␈t␈αi␈α↓s␈αth␈α␈e␈αd␈α␈i␈α↓strib␈α␈ution␈α
of␈↓ ¬a␈ε	c␈↓ ¬n␈ε	X␈↓ ε
␈εβ?
␈β⊂P␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈21␈↓ αm␈εβ]␈α⊗If␈↓ β/␈ε	X␈↓ β`␈εβa␈α␈nd␈↓ ∧"␈ε	X␈↓ ∧S␈εβa␈α␈re␈α
ind␈α␈epe␈α␈nd␈α␈en␈α␈t␈α
r␈α␈and␈α␈om␈αvar␈α␈i␈α↓a␈α␈bles␈α
with␈αthe␈αrespe␈α␈ctiv␈α␈e␈α
d␈α␈is-
␈β⊂Z␈↓ βF␈εε1␈↓ ∧9␈εε2
␈β⊂p␈↓ λ	␈ε~0␈↓ 	f␈ε~0
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβtrib␈α␈ution␈α␈s␈↓ αc␈ε	F␈↓ βα␈εβ(␈↓ β
␈ε	x␈↓ β∨␈εβ)␈α
an␈α␈d␈↓ βz␈ε	F␈↓ ∧→␈εβ(␈↓ ∧$␈ε	x␈↓ ∧5␈εβ),␈α∞and␈αwith␈α
de␈α␈nsities␈↓ εq␈ε	f␈↓ πλ␈εβ(␈↓ π∪␈ε	x␈↓ π$␈εβ)␈α
=␈↓ πj␈ε	F␈↓ λ∂␈εβ(␈↓ λ≠␈ε	x␈↓ λ,␈εβ),␈↓ λN␈ε	f␈↓ λe␈εβ(␈↓ λp␈ε	x␈↓ 	↓␈εβ)␈α
=␈↓ 	G␈ε	F␈↓ 	l␈εβ(␈↓ 	w␈ε	x␈↓ 
	␈εβ),␈α∞wh␈α␈at␈α
are
␈β⊃α␈↓ αv␈εε1␈↓ ∧␈εε2␈↓ ε{␈εε1␈↓ π⎇␈εε1␈↓ λX␈εε2␈↓ 	Y␈εε2
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αd␈α␈i␈α↓strib␈α␈ution␈α
an␈α␈d␈αde␈α␈nsity␈αfu␈α␈nc␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αof␈αth␈α␈e␈αqu␈α␈an␈α}ti␈α↓ty␈↓ πb␈ε	X␈↓ λ
␈εβ+␈↓ λ6␈ε	X␈↓ λZ␈εβ?
␈β⊃*␈↓ πy␈εε1␈↓ λM␈εε2
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.4.1␈ε∞␈↓ π+NUMERICAL␈α	DIST␈α␈RIBUT␈α␈IONS␈↓ 
v␈εα133
␈βα&␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈22␈↓ αm␈εβ]␈α⊗(J.␈αλH␈α↓.␈αλAhre␈α␈ns.)␈α∩Dev␈α␈e␈α␈l␈α↓o␈α␈p␈αλan␈αλa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈αλfo␈α␈r␈α	g␈α␈amma␈αλd␈α␈ev␈α␈i␈α↓a␈α␈tes␈αλof␈α	o␈α␈rde␈α␈r␈↓ 
H␈ε	a␈↓ 
a␈εβwh␈α␈en
␈βαN␈↓ πL␈εa␈↓ πZ␈ε~␈␈εε1␈↓ 
>␈ε~␈␈↓ 
W␈εt
␈βαR␈↓ ↓H␈εβ0␈α	<␈↓ α␈ε	a␈↓ α&␈ε↔∀␈εβ␈α	1,␈αu␈α␈sing␈α
th␈α␈e␈α
rejection␈α	meth␈α␈od␈α
with␈↓ εN␈ε	c␈↓ ε[␈ε	g␈↓ εk␈εβ(␈↓ εv␈ε	t␈↓ πα␈εβ)␈α	=␈↓ πA␈ε	t␈↓ λ␈εβ/␈α␈␈␈α↓(␈↓ λ0␈ε	a␈↓ λ@␈εβ)␈α
f␈α↓o␈α␈r␈α
0␈α	<␈↓ 	M␈ε	t␈↓ 	b␈εβ<␈α
1␈α␈,␈↓ 
1␈ε	e␈↓ 
a␈εβ/␈α␈␈␈α↓(␈↓ ⊃␈ε	a␈↓ !␈εβ)
␈βαy␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈↓ ↓{␈ε	t␈↓ α⊃␈ε↔∃␈εβ␈α	1.
␈ββ&␈↓ ↓;␈ε↓x
␈ββ*␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Wha␈α␈t␈αi␈α↓s␈αth␈α␈e␈ε⊂␈αdistribu␈α␈tion␈αfu␈α␈nctio␈α␈n␈↓ εg␈ε	F␈↓ ε}␈εβ(␈↓ π	␈ε	x␈↓ π≠␈εβ)␈αfor␈αth␈α␈e␈αgeom␈α␈etric␈αdistribu␈α␈tion␈αwith
␈ββR␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈↓ αs␈ε	p␈↓ β∧␈εβ?␈αWh␈α␈at␈α
i␈α↓s␈α
th␈α␈e␈ε⊂␈α
gen␈α␈eratin␈α␈g␈α
f␈α↓u␈α␈nc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈↓ εu␈ε	G␈↓ π∞␈εβ(␈↓ π→␈ε	z␈↓ π'␈εβ)?␈αWha␈α␈t␈αa␈α␈re␈α
the␈α
me␈α␈an␈α
a␈α␈nd␈α
sta␈α␈nd␈α␈ard
␈ββz␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ev␈α␈i␈α↓a␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αo␈α␈f␈αth␈α␈is␈αdistribu␈α␈tion?
␈β∧+␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ug␈α␈gest␈αa␈αme␈α␈tho␈α␈d␈αto␈αco␈α␈mpu␈α␈te␈αa␈αran␈α␈do␈α␈m␈αin␈α}teger␈↓ λ=␈ε	N␈↓ λh␈εβfor␈αwhich␈↓ 	⎇␈ε	N␈↓ 
(␈εβta␈α␈k␈α␈es␈αthe
␈β∧N␈↓ ∧S␈εε2␈↓ ¬B␈εn␈↓ ¬R␈ε~␈␈εε1
␈β∧R␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alue␈↓ α≡␈ε	n␈↓ α;␈εβwith␈α	p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈↓ ∧.␈ε	n␈↓ ∧B␈ε	p␈↓ ∧`␈εβ(1␈ε↔␈α∧␈␈↓ ¬&␈ε	p␈↓ ¬7␈εβ)␈↓ ¬x␈εβ,␈↓ ε
␈ε	n␈↓ ε(␈ε↔∃␈εβ␈α	0.␈α∪(T␈α↓h␈α␈e␈α	c␈α␈ase␈α	o␈α␈f␈α	pa␈α␈rti␈α↓c␈α␈ular␈α	in␈α}terest␈α	is␈α	wh␈α␈en
␈β∧z␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓d␈εβis␈αrath␈α␈er␈αsma␈α␈ll␈α↓.)
␈β¬+␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβ[␈ε	22␈↓ α;␈εβ]␈α⊗The␈ε⊂␈αλn␈α␈ega␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈αλbino␈α␈mial␈αλdistribu␈α␈tion␈εβ␈αλ(␈↓ εa␈ε	t␈↓ εm␈εβ,␈↓ ε|␈ε	p␈↓ π
␈εβ)␈αλha␈α␈s␈αλi␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈α	v␈α␈alue␈α␈s␈↓ 	'␈ε	N␈↓ 	O␈εβ=␈↓ 	y␈ε	n␈↓ 
⊗␈εβwith␈αλp␈α␈rob␈α␈-
␈β¬1␈↓ α3␈ε↓␈␈↓ β~␈ε↓↓
␈β¬K␈↓ αA␈εt␈↓ αJ␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈+␈↓ β	␈εn
␈β¬N␈↓ β9␈εt␈↓ ∧,␈εn
␈β¬R␈↓ ↓H␈εβa␈α␈bili␈α↓t␈α␈y␈↓ β(␈ε	p␈↓ βB␈εβ(1␈ε↔␈αλ␈␈↓ ∧⊂␈ε	p␈↓ ∧!␈εβ)␈↓ ∧=␈εβ.␈α≤(Unlik␈α␈e␈α
t␈α␈he␈α
o␈α␈rdin␈α␈ary␈αbin␈α␈omial␈α
d␈α␈istri␈α↓b␈α␈utio␈α␈n,␈↓ 	f␈ε	t␈↓ 	␈␈εβn␈α␈eed␈αno␈α␈t␈α
be
␈β¬c␈↓ αe␈εn
␈β¬z␈↓ ↓H␈εβa␈α␈n␈αin␈α␈teg␈α␈er,␈αsin␈α␈ce␈αthis␈αqua␈α␈n␈α␈tity␈αis␈αnon␈α␈ne␈α␈gativ␈α}e␈αfo␈α␈r␈αa␈α␈l␈α↓l␈↓ πE␈ε	n␈↓ πe␈εβwh␈α␈en␈α␈ev␈α␈er␈↓ λx␈ε	t␈↓ 	
␈εβ>␈α
0.)␈α~Gen␈α␈eralizing
␈βε"␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ercise␈α	18,␈α
ex␈α␈plain␈α
h␈α␈o␈α␈w␈α
to␈α	gen␈α␈erate␈α	i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈↓ εS␈ε	N␈↓ ε|␈εβwith␈α
th␈α␈is␈α
distribu␈α␈tion␈α	when␈↓ 
⊂␈ε	t␈↓ 
&␈εβis␈α
a␈α
sm␈α␈all
␈βεF␈↓ λL␈εε1
␈βεI␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ositiv␈α␈e␈αin␈α}teger.␈αWha␈α␈t␈αmeth␈α␈od␈αw␈α␈ou␈α␈ld␈αy␈α}ou␈αsu␈α␈gg␈α␈est␈αif␈↓ πD␈ε	t␈↓ πY␈εβ=␈↓ λβ␈ε	p␈↓ λ≡␈εβ=␈↓ λ\␈εβ?
␈βεW␈↓ λL␈∧εWλLα
␈βεY␈↓ λL␈εε2
␈βεz␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β6␈ε	A␈↓ βY␈εβb␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
area␈αof␈α
th␈α␈e␈α
sh␈α␈ade␈α␈d␈α
reg␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α
in␈αFi␈α↓g␈α␈.␈α∞1␈α␈3,␈α
and␈αlet␈ε	␈α
R␈εβ␈α
b␈α␈e␈α
the␈αarea
␈βπ"␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α
t␈α␈he␈αen␈α␈closing␈αrectan␈α␈gle.␈α∞Let␈↓ ¬∩␈ε	I␈↓ ¬-␈εβbe␈αth␈α␈e␈αarea␈αof␈αthe␈αin␈α␈te␈α␈ri␈α↓o␈α␈r␈αregion␈αreco␈α␈gnize␈α␈d␈αby␈αstep
␈βπJ␈↓ ↓H␈εβR2␈α␈,␈α
and␈α	let␈↓ αr␈ε	E␈↓ β∪␈εβbe␈α	the␈α	are␈α␈a␈α
b␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α	th␈α␈e␈α
ex␈α␈terior␈α	region␈α	re␈α␈jected␈α	in␈α	step␈α	R3␈α	and␈α	th␈α␈e␈α
o␈α␈ute␈α␈r
␈βπq␈↓ ↓H␈εβre␈α␈ctan␈α␈gle.␈α
Determin␈α␈e␈αth␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αof␈αti␈α↓m␈α␈es␈αea␈α␈ch␈αstep␈αof␈αAlgorith␈α␈m␈αR␈αis␈αp␈α␈erfor␈α␈med,␈αfo␈α␈r
␈βλ→␈↓ ↓H␈εβe␈α␈ach␈α
of␈αi␈α↓ts␈αfo␈α␈ur␈αv␈α␈arian␈α}ts␈αas␈αin␈α(25␈α␈)␈α↓,␈αin␈αte␈α␈rms␈αof␈↓ εu␈ε	A␈↓ π␈εβ,␈ε	␈αR␈εβ,␈↓ πK␈ε	I␈↓ πZ␈εβ,␈αan␈α␈d␈↓ λ/␈ε	E␈↓ λF␈εβ.
␈βλJ␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈29␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Deriv␈α␈e␈α¬f␈α↓o␈α␈rm␈α␈u␈α␈l␈α↓a␈α␈s␈αεfor␈αεthe␈αεq␈α␈ua␈α␈n␈α␈tities␈↓ εk␈ε	A␈↓ π↓␈εβ,␈ε	␈αλR␈εβ,␈↓ π9␈ε	I␈↓ πH␈εβ,␈απan␈α␈d␈↓ λ∀␈ε	E␈↓ λ1␈εβde|␈α␈ne␈α␈d␈αεin␈αεex␈α}ercise␈αε2␈α␈0.␈α
(Fo␈α␈r
␈βλq␈↓ ↓H␈ε	I␈↓ ↓`␈εβa␈α␈nd␈αλespe␈α␈ciall␈α↓y␈↓ β2␈ε	E␈↓ βR␈εβy␈α␈ou␈αλmay␈αλwi␈α↓s␈α␈h␈α	to␈α	u␈α␈se␈α	an␈αλi␈α↓n␈α}tera␈α␈ctiv␈α␈e␈α	co␈α␈mpu␈α␈ter␈α	alg␈α␈ebra␈αλsystem␈α␈.␈α↓)␈α∀S␈α␈ho␈α}w
␈β	∃␈↓ αY␈εε1␈α␈/4␈↓ λn␈εε2
␈β	→␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α␈ε	c␈↓ α!␈εβ=␈↓ αL␈ε	e␈↓ β∧␈εβi␈α↓s␈αεth␈α␈e␈αεb␈α␈est␈αεcon␈α␈stan␈α}t␈αεi␈α↓n␈α¬step␈α¬R2␈αεfor␈αεtes␈α␈ts␈αεof␈αεthe␈αεfo␈α␈rm␈αε\␈↓ λS␈ε	X␈↓ 	∧␈ε↔∀␈εβ␈α
4␈α␈(1␈α↓+␈↓ 	}␈εβln␈↓ 
∨␈ε	c␈↓ 
,␈εβ)␈ε↔␈α↓␈␈εβ␈α↓4␈↓ 
j␈ε	c␈↓ 
w␈ε	U␈↓ ∪␈εβ."
␈β	J␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈40␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Can␈α
th␈α␈e␈αe␈α␈xac␈α␈t␈αPoisson␈α
d␈α␈i␈α↓str␈α␈i␈α↓b␈α␈ution␈α
fo␈α␈r␈αlarg␈α␈e␈↓ λ∀␈ε	⊗␈↓ λ1␈εβb␈α␈e␈αo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α␈ed␈α
by␈α
g␈α␈ene␈α␈rating
␈β	r␈↓ ↓H␈εβa␈α␈n␈α	ap␈α␈pr␈α␈opria␈α␈te␈α	no␈α␈rmal␈α	de␈α␈viate,␈α	con␈α}v␈α␈ertin␈α␈g␈α	it␈α	to␈α	an␈αλin␈α␈teg␈α␈er␈α	i␈α↓n␈αλsom␈α␈e␈α	con␈α}v␈α␈en␈α␈ien␈α␈t␈α	way␈α␈,␈α
a␈α␈nd
␈β
→␈↓ ↓H␈εβa␈α␈pp␈α␈l␈α↓y␈α␈ing␈αa␈α
(pos␈α␈si␈α↓b␈α␈ly␈αco␈α␈mplicate␈α␈d)␈αcorr␈α␈ection␈αa␈α
small␈αper␈α␈cen␈α␈t␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αtime?
␈β
J␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈23␈↓ αm␈εβ]␈α⊗(J.␈α∞v␈α␈on␈α
Neum␈α␈an␈α␈n.)␈α Are␈α∞th␈α␈e␈α∞follo␈α␈wing␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α∞way␈α␈s␈α∞to␈α∞gen␈α␈erat␈α␈e␈α∂a␈α
rand␈α␈om
␈β
r␈↓ ↓H␈εβq␈α␈ua␈α␈n␈α␈tity␈↓ αN␈ε	X␈↓ αt␈εβequ␈α␈i␈α↓v␈α␈alen␈α}t␈α(i␈α↓.e.,␈αdoe␈α␈s␈αthe␈αq␈α␈uan␈α}tity␈↓ εh␈ε	X␈↓ π∞␈εβhav␈α}e␈αthe␈α
same␈αd␈α␈istri␈α↓b␈α␈ut␈α␈i␈α↓o␈α␈n)?
␈β$␈↓ β↓␈ελ1␈↓ ∧]␈εα(␈↓ ¬O␈εα)
␈β'␈↓ αε␈ε⊂Meth␈α␈od␈↓ β_␈εβ:␈↓ β,␈εβSe␈α␈t␈↓ βe␈ε	X␈↓ ∧
␈ε↔ ␈↓ ∧5␈εβsin␈↓ ∧i␈εβ(␈↓ ∧u␈ε	→␈↓ ¬π␈εβ/2␈α␈)␈↓ ¬3␈ε	U␈↓ ¬[␈εβ,␈αwhe␈α␈re␈↓ εO␈ε	U␈↓ εu␈εβi␈α↓s␈αu␈α␈niform␈α␈.
␈βU␈↓ λY␈εε2␈↓ 	.␈εε2
␈βV␈↓ β↓␈ελ2
␈βY␈↓ αε␈ε⊂Meth␈α␈od␈↓ β_␈εβ:␈↓ β,␈εβGen␈α␈erate␈αt␈α␈w␈α␈o␈α
un␈α␈i␈α↓fo␈α␈rm␈αdev␈α␈iates,␈↓ πα␈ε	U␈↓ π≥␈εβ,␈↓ π2␈ε	V␈↓ πI␈εβ,␈αa␈α␈nd␈α
i␈α↓f␈↓ λ>␈ε	U␈↓ λm␈εβ+␈↓ 	⊗␈ε	V␈↓ 	C␈ε↔∃␈εβ␈α
1,␈αrep␈α␈eat
␈β⎇␈↓ ∧⊗␈εε2␈↓ ∧j␈εε2␈↓ πN␈εε2␈↓ λ#␈εε2␈↓ λp␈εε2␈↓ 	D␈εε2
␈β↓␈↓ β,␈εβun␈α}til␈↓ β{␈ε	U␈↓ ∧*␈εβ+␈↓ ∧S␈ε	V␈↓ ¬␈εβ<␈α
1␈α␈.␈αTh␈α␈en␈αset␈↓ ε[␈ε	X␈↓ ε␈␈ε↔ ␈α
j␈↓ π3␈ε	U␈↓ πb␈ε↔␈␈↓ λ␈ε	V␈↓ λ/␈ε↔j␈εβ␈α↓/␈α␈(␈↓ λT␈ε	U␈↓ 	∧␈εβ+␈↓ 	,␈ε	V␈↓ 	Q␈εβ).
␈β=␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈40␈↓ αm␈εβ]␈α⊗(S.␈αUlam,␈αJ.␈αv␈α}on␈α
Neum␈α␈ann␈α␈.)␈α→Let␈↓ ε{␈ε	V␈↓ π%␈εβbe␈αa␈α
ran␈α␈do␈α␈mly␈αselec␈α␈ted␈αre␈α␈al␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈βG␈↓ π∞␈εε0
␈βd␈↓ ↓H␈εβb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α
0␈α∞an␈α␈d␈α∞1,␈α∂a␈α␈nd␈α
de|␈α␈ne␈α∞th␈α␈e␈α∞seq␈α␈uen␈α␈ce␈ε↔␈α∞h␈↓ εP␈ε	V␈↓ εs␈ε↔i␈εβ␈α∞by␈α
the␈α∞r␈α␈ule␈↓ λA␈ε	V␈↓ 	_␈εβ=␈α∂4␈↓ 	X␈ε	V␈↓ 	{␈εβ(1␈ε↔␈α	␈␈↓ 
K␈ε	V␈↓ 
n␈εβ).␈α∀If
␈βo␈↓ εc␈εn␈↓ λT␈εn␈↓ λd␈εε+1␈↓ 	k␈εn␈↓ 
]␈εn
␈β
␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈α
c␈α␈omp␈α␈uta␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αis␈α
d␈α␈on␈α␈e␈α
with␈αp␈α␈erfect␈αac␈α␈cura␈α␈cy,␈α
th␈α␈e␈αresu␈α␈l␈α↓t␈αsho␈α␈uld␈αb␈α␈e␈αa␈α
s␈α␈equ␈α␈ence␈αwith
␈β
,␈↓ βc␈εε2
␈β
4␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
distribu␈α␈tion␈↓ β;␈εβsin␈↓ βv␈ε	→␈↓ ∧λ␈ε	U␈↓ ∧#␈εβ,␈α∞where␈↓ ¬≥␈ε	U␈↓ ¬E␈εβi␈α↓s␈α
u␈α␈niform␈α␈,␈α∂i.e.,␈α∞wi␈α↓th␈αdistribu␈α␈tion␈α
fu␈α␈nction␈↓ 
?␈ε	F␈↓ 
W␈εβ(␈↓ 
b␈ε	x␈↓ 
s␈εβ)␈α
=
␈β
=␈↓ α(␈ε↓p
␈β
B␈↓ ↓H␈ε↓R
␈β
Q␈↓ ↓`␈εx
␈β
X␈↓ αL␈∧
XαLα↓≥␈↓ εb␈εε2
␈β
`␈↓ ↓s␈ε	d␈↓ αε␈ε	x␈↓ α↔␈εβ/␈↓ αL␈εβ2␈↓ α]␈ε	→␈↓ αo␈ε	x␈↓ β␈εβ(␈α↓1␈ε↔␈απ␈␈↓ βL␈ε	x␈↓ β↑␈εβ)␈↓ βi␈εβ.␈αF␈α↓o␈α␈r␈αi␈α↓f␈αw␈α␈e␈αwrite␈↓ ¬b␈ε	V␈↓ ε∞␈εβ=␈↓ ε9␈εβsin␈↓ εt␈ε	→␈↓ ππ␈ε	U␈↓ π,␈εβ,␈αw␈α␈e␈α|␈α␈nd␈α
tha␈α␈t␈↓ λ⎇␈ε	U␈↓ 	Q␈εβ=␈α
(2␈↓ 
_␈ε	U␈↓ 
=␈εβ)␈↓ 
N␈εβmo␈α␈d␈↓ ∪␈εβ1␈α␈;
␈β
k␈↓ ¬u␈εn␈↓ π≤␈εn␈↓ 	∩␈εn␈↓ 	"␈εε+1␈↓ 
-␈εn
␈β
s␈↓ ↓Y␈εε0
␈β∞λ␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α∞b␈α␈y␈α∂t␈α␈he␈α∞f␈α↓a␈α␈ct␈α∂t␈α␈hat␈α∞almos␈α␈t␈α∂all␈α∂rea␈α␈l␈α∂n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈α∂h␈α␈av␈α␈e␈α∞a␈α∞ran␈α␈dom␈α∞b␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α∞ex␈α␈pa␈α␈nsion␈α∞(see
␈β∞/␈↓ ↓H␈εβS␈α␈ection␈α3␈α␈.5),␈αth␈α␈i␈α↓s␈αseq␈α␈uen␈α␈ce␈↓ ∧Q␈ε	U␈↓ ¬α␈εβi␈α↓s␈αeq␈α␈uidistribu␈α␈ted␈α␈.␈α
Bu␈α␈t␈αif␈αth␈α␈e␈αcom␈α␈pu␈α␈tation␈αof␈↓ 
_␈ε	V␈↓ 
F␈εβi␈α↓s␈αd␈α␈one
␈β∞:␈↓ ∧g␈εn␈↓ 
+␈εn
␈β∞W␈↓ ↓H␈εβwith␈αλon␈α␈l␈α↓y␈αλ|␈α␈nite␈α	a␈α␈ccu␈α␈racy␈α␈,␈α
th␈α␈e␈α	a␈α␈bo␈α␈v␈α}e␈α	a␈α␈rgu␈α␈men␈α}t␈α	bre␈α␈aks␈αλdo␈α␈wn␈αλb␈α␈ecau␈α␈se␈α	w␈α␈e␈αλsoo␈α␈n␈α	a␈α␈re␈α	d␈α␈ealing
␈β∞␈␈↓ ↓H␈εβwith␈α
n␈α␈oise␈α
f␈α↓ro␈α␈m␈α
the␈α
rou␈α␈nd␈α␈o{␈α∞e␈α␈rror.␈α≡[␈ε⊂Referen␈α␈ce:␈εβ␈α⊂v␈α}on␈α
Neu␈α␈man␈α␈n's␈ε⊂␈α
Collected␈α
Work␈α␈s␈ε∪␈α∞5␈εβ␈α␈,
␈β∂&␈↓ ↓H␈εβ7␈α␈68↑␈α␈770␈α␈.]
␈β∂N␈↓ α␈εβAna␈α␈lyze␈α	th␈α␈e␈α	seq␈α␈uen␈α␈ce␈ε↔␈α	h␈↓ ∧S␈ε	V␈↓ ∧v␈ε↔i␈εβ␈α	d␈α␈e|n␈α␈ed␈αλabo␈α}v␈α␈e␈α	wh␈α␈en␈α	o␈α␈nly␈α	|␈α␈nite␈α	a␈α␈ccu␈α␈racy␈αλi␈α↓s␈α	p␈α␈resen␈α}t,␈α
b␈α␈oth
␈β∂X␈↓ ∧e␈εn
␈β∂u␈↓ ↓H␈εβe␈α␈mpirically␈α
(for␈α∞v␈α␈ariou␈α␈s␈α∞d␈α␈i␈α↓{ere␈α␈n␈α␈t␈α∞c␈α␈hoice␈α␈s␈α∞of␈↓ εR␈ε	V␈↓ εq␈εβ)␈α∞an␈α␈d␈α∞t␈α␈heo␈α␈retically.␈α∪Do␈α␈es␈α∞th␈α␈e␈α∞se␈α␈que␈α␈nce
␈β⊂␈↓ εe␈εε0
␈β⊂≥␈↓ ↓H␈εβh␈α␈av␈α}e␈αa␈αdistrib␈α␈ution␈α
resem␈α␈b␈α␈li␈α↓n␈α␈g␈αth␈α␈e␈αexp␈α␈ecte␈α␈d␈αd␈α␈i␈α↓strib␈α␈ution␈α␈?
␈β⊂N␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β4␈ε	X␈↓ βX␈εβ,␈↓ βm␈ε	X␈↓ ∧⊂␈εβ,␈↓ ∧%␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧R␈εβ,␈↓ ∧f␈ε	X␈↓ ¬∃␈εβbe␈αbin␈α␈ary␈αw␈α␈ord␈α␈s␈αe␈α␈ach␈αo␈α␈f␈αwh␈α␈ose␈αbits␈αi␈α↓s␈αind␈α␈ep␈α␈end␈α␈en␈α␈tly␈α0
␈β⊂Y␈↓ βK␈εε1␈↓ ∧∧␈εε2␈↓ ∧⎇␈εε5
␈β⊂r␈↓ ∧∧␈εε1
␈β⊂s␈↓ 
←␈εα(
␈β⊂v␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈α
1␈α
wi␈α↓t␈α␈h␈α
pro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈↓ ∧∀␈εβ.␈αW␈α↓h␈α␈at␈α
is␈α
the␈α
p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈α
th␈α␈at␈α
a␈α
g␈α␈i␈α↓v␈α}en␈α
b␈α␈i␈α↓t␈α
p␈α␈osition␈α	of␈↓ 
⊗␈ε	X␈↓ 
@␈ε↔←␈↓ 
k␈ε	X␈↓ ∀␈ε↔↑
␈β⊃␈↓ 
.␈εε1␈↓ α␈εε2
␈β⊃∧␈↓ ∧∧␈∧⊃∧∧∧α
␈β⊃ε␈↓ ∧∧␈εε2
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εα(␈↓ β#␈εα))
␈β⊃≥␈↓ ↓T␈ε	X␈↓ ↓␈␈ε↔←␈εβ␈απ(␈↓ α)␈ε	X␈↓ αT␈ε↔↑␈↓ αt␈ε	X␈↓ β_␈εβ)␈↓ βF␈εβco␈α␈n␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈αa␈α1?␈αGe␈α␈nera␈α␈l␈α↓ize␈α␈.
␈β⊃(␈↓ ↓k␈εε3␈↓ α@␈εε4␈↓ β␈εε5
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα134␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.4.1
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪26.␈↓ α␈εβ[␈ε	M18␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β5␈ε	N␈↓ βg␈εβa␈α␈nd␈↓ ∧)␈ε	N␈↓ ∧Z␈εβbe␈αind␈α␈epe␈α␈nd␈α␈en␈α␈t␈αPoisson␈αdev␈α␈iates␈αwith␈αresp␈α␈ectiv␈α␈e␈αm␈α␈ean␈α␈s␈↓ ∞␈ε	⊗
␈βα5␈↓ βN␈εε1␈↓ ∧B␈εε2␈↓  ␈εε1
␈βαR␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αε␈ε	⊗␈↓ α$␈εβ,␈α	w␈α↓h␈α␈ere␈↓ β∀␈ε	⊗␈↓ β<␈εβ>␈↓ βf␈ε	⊗␈↓ ∧
␈ε↔∃␈εβ␈α
0.␈α
Pro␈α␈v␈α␈e␈αλor␈α	d␈α␈ispro␈α}v␈α␈e:␈α∪(a)␈↓ π!␈ε	N␈↓ πK␈εβ+␈↓ πp␈ε	N␈↓ λ≡␈εβhas␈αλthe␈αλP␈α↓o␈α␈isson␈αλdistribu␈α␈tion
␈βα\␈↓ α↔␈εε2␈↓ β&␈εε1␈↓ βw␈εε2␈↓ π:␈εε1␈↓ λ	␈εε2
␈βαy␈↓ ↓H␈εβwith␈α
mean␈↓ αl␈ε	⊗␈↓ β∩␈εβ+␈↓ β:␈ε	⊗␈↓ βX␈εβ.␈α~(b␈α␈)␈↓ ∧/␈ε	N␈↓ ∧\␈ε↔␈␈↓ ¬∧␈ε	N␈↓ ¬5␈εβh␈α␈as␈αthe␈α
P␈α↓o␈α␈i␈α↓sso␈α␈n␈αd␈α␈i␈α↓str␈α␈i␈α↓b␈α␈ution␈α
with␈αmea␈α␈n␈↓ 	z␈ε	⊗␈↓ 
∨␈ε↔␈␈↓ 
H␈ε	⊗␈↓ 
f␈εβ.
␈ββ∧␈↓ α}␈εε1␈↓ βL␈εε2␈↓ ∧H␈εε1␈↓ ¬≥␈εε2␈↓ 
␈εε1␈↓ 
Y␈εε2
␈ββ)␈↓ ↓V␈ε∪27.␈↓ α␈εβ[␈ε	22␈↓ α;␈εβ]␈α⊗(J.␈α
H.␈α
A␈α↓h␈α␈ren␈α␈s.)␈α↔On␈α	most␈α
b␈α␈inar␈α␈y␈α
co␈α␈mpu␈α␈ters␈α
th␈α␈ere␈α
is␈α
an␈α	e}cien␈α}t␈α
way␈α	to␈α
co␈α␈un␈α}t
␈ββQ␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α
o␈α␈f␈α
1␈α␈'s␈α
in␈α	a␈α	b␈α␈ina␈α␈ry␈α	w␈α␈ord␈α	(cf.␈α	Se␈α␈ction␈α	7␈α␈.␈α↓1␈α␈).␈αHenc␈α␈e␈α	there␈α	is␈α	a␈α	nice␈α	wa␈α␈y␈α	to␈α	ob␈α␈tain
␈ββu␈↓ ε8␈εε1
␈ββy␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αbino␈α␈mial␈α
d␈α␈i␈α↓s␈α␈tri␈α↓b␈α␈utio␈α␈n␈α
(␈↓ ∧O␈ε	t␈↓ ∧[␈εβ,␈↓ ∧i␈ε	p␈↓ ∧z␈εβ)␈α
wh␈α␈en␈↓ ¬j␈ε	p␈↓ επ␈εβ=␈↓ εH␈εβ,␈α
simp␈α␈l␈α↓y␈αb␈α␈y␈αgen␈α␈eratin␈α␈g␈↓ 	!␈ε	t␈↓ 	9␈εβran␈α␈do␈α␈m␈α
b␈α␈its␈α
a␈α␈nd
␈β∧π␈↓ ε8␈∧∧πε8α
␈β∧	␈↓ ε8␈εε2
␈β∧ ␈↓ ↓H␈εβc␈α␈oun␈α}ting␈αth␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αof␈α1's.
␈β∧H␈↓ α␈εβDesign␈α
a␈α␈n␈α
algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α
tha␈α␈t␈αp␈α␈rodu␈α␈ces␈α
the␈α
b␈α␈i␈α↓n␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈αdistribu␈α␈tion␈α
(␈↓ 	⊂␈ε	t␈↓ 	≤␈εβ,␈↓ 	+␈ε	p␈↓ 	<␈εβ)␈α
for␈ε⊂␈α
arbitra␈α␈ry␈↓ ∩␈ε	p␈↓ #␈εβ,
␈β∧l␈↓ π⊂␈εε1
␈β∧o␈↓ ↓H␈εβu␈α␈sing␈αo␈α␈nly␈αa␈α
sub␈α␈rou␈α␈ti␈α↓n␈α␈e␈αfor␈αth␈α␈e␈αspe␈α␈ci␈α↓a␈α␈l␈αc␈α␈ase␈↓ εH␈ε	p␈↓ εb␈εβ=␈↓ π,␈εβa␈α␈s␈αa␈αsou␈α␈rce␈αof␈αra␈α␈nd␈α␈om␈αd␈α␈ata.␈α→[␈ε⊂Hi␈α↓n␈α}t:
␈β∧}␈↓ π⊂␈∧∧}π⊂α
␈β¬␈↓ π⊂␈εε2
␈β¬↔␈↓ ↓H␈εβS␈α␈im␈α␈ulate␈α
a␈αpro␈α␈cess␈α
tha␈α␈t␈α
|rst␈α
loo␈α␈ks␈α
at␈α
th␈α␈e␈α
most␈α
sign␈α␈i|ca␈α␈n␈α␈t␈α
bits␈α
of␈↓ 	∀␈ε	t␈↓ 	-␈εβu␈α␈niform␈α
d␈α␈evia␈α␈tes,
␈β¬?␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈α	at␈α
th␈α␈e␈α
seco␈α␈nd␈α	bit␈α
of␈α
th␈α␈ose␈α	dev␈α␈iates␈α
wh␈α␈ose␈α
lea␈α␈ding␈α	bit␈α
is␈α
no␈α␈t␈α
su}␈α␈cien␈α␈t␈α
to␈α	de␈α␈termine
␈β¬f␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈eth␈α␈er␈αor␈αn␈α␈ot␈αthe␈α␈i␈α↓r␈αv␈α␈alue␈αis␈α<␈↓ ¬∨␈ε	p␈↓ ¬0␈εβ,␈αe␈α␈tc.]
␈βε⊗␈↓ ↓V␈ε∪28.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈35␈↓ αm␈εβ]␈α⊗(R.␈α⊂P.␈α⊂Bren␈α}t.)␈α"Dev␈α}elop␈α∂a␈α∂m␈α␈etho␈α␈d␈α∂to␈α∂ge␈α␈nera␈α␈te␈α∂a␈α∂ran␈α␈do␈α␈m␈α⊂p␈α␈oin␈α}t␈α⊂o␈α␈n␈α∂the
␈βε ␈↓ ¬=␈ε↓P
␈βε:␈↓ ε↔␈εε2
␈βε>␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈rface␈α
of␈αthe␈αe␈α␈l␈α↓lipso␈α␈i␈α↓d␈α
de␈α␈|n␈α␈ed␈αb␈α␈y␈↓ ¬i␈ε	a␈↓ ε¬␈ε	x␈↓ ε-␈εβ=␈α
1␈α␈,␈αwh␈α␈ere␈↓ π]␈ε	a␈↓ λα␈ε↔∃␈↓ λ-␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ λ]␈ε↔∃␈↓ 	π␈ε	a␈↓ 	0␈εβ>␈α
0.
␈βεH␈↓ ¬x␈εk␈↓ πl␈εε1␈↓ 	↔␈εn
␈βεM␈↓ ε↔␈εk
␈βπ+␈↓ ↓H␈ε≥3␈α␈.4.2.␈α
Ran␈α↓do␈α␈m␈α∞Samplin␈α↓g␈α
and␈α
Shu␈␈␈α↓ing
␈βπl␈↓ ↓H␈εαMan␈α␈y␈α∂data␈α∂processing␈α∂applications␈α∂call␈α∂for␈α∂an␈α∂un␈α␈biased␈α∂choice␈α∂of␈↓ 	i␈ελn␈↓ 

␈εαrecords␈α∂at
␈βλ↔␈↓ ↓H␈εαrandom␈α
from␈α∞a␈α∞|le␈α
con␈α␈taining␈↓ ¬1␈ελN␈↓ ¬`␈εαrecords.␈α⊃This␈α∞problem␈α∞arises,␈α∞for␈α
example,␈α∞in
␈βλB␈↓ ↓H␈εαquality␈α	con␈α␈trol␈α	or␈α	other␈α	statistical␈α	calculations␈α	where␈αλsampling␈α	is␈α	needed.␈αUsually
␈βλm␈↓ ↓H␈ελN␈↓ ↓s␈εαis␈α	v␈α␈ery␈α	large,␈α
so␈α	that␈α	it␈α	is␈α
impossible␈α	to␈α	con␈α␈tain␈α	all␈α	the␈α
data␈α	in␈α	memory␈α	at␈α	once;
␈β	_␈↓ ↓H␈εαand␈α
the␈α
individual␈αrecords␈α
themselv␈α␈es␈α
are␈αoften␈α
v␈α␈ery␈α
large,␈αso␈α
that␈αw␈α␈e␈α
can't␈α
ev␈α␈en
␈β	D␈↓ ↓H␈εαhold␈↓ α↔␈ελn␈↓ α7␈εαrecords␈αin␈αmemory.␈αTherefore␈αw␈α␈e␈αseek␈αan␈αe}cien␈α␈t␈αprocedure␈αfor␈αselecting
␈β	o␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓h␈εαrecords␈αby␈αdeciding␈αeither␈αto␈αaccept␈α
or␈αto␈αreject␈αeach␈αrecord␈αas␈αit␈αcomes␈α
along,
␈β
~␈↓ ↓H␈εαwriting␈αthe␈αaccepted␈αrecords␈αon␈α␈to␈αan␈αoutput␈α|le.
␈β
E␈↓ α␈εαSev␈α␈eral␈αmethods␈αhav␈α␈e␈αbeen␈αdevised␈αfor␈αthis␈αproblem.␈αThe␈αmost␈αobvious␈αap-
␈β
p␈↓ ↓H␈εαproach␈α∂is␈α∂to␈α⊂select␈α∂each␈α∂record␈α⊂with␈α∂probability␈↓ πV␈ελn␈↓ πl␈εα/␈↓ π}␈ελN␈↓ λ ␈εα;␈α⊂this␈α⊂may␈α∂sometimes␈α∂be
␈β≤␈↓ ↓H␈εαappropriate,␈α	but␈αλit␈αλgiv␈α␈es␈α	only␈αλan␈ε∂␈αλav␈α␈erage␈εα␈αλof␈↓ εe␈ελn␈↓ πβ␈εαrecords␈αλin␈αλthe␈αλsample.␈αThe␈αλstandard
␈β&␈↓ β␈ε↓p
␈βA␈↓ β/␈∧Aβ/α↓=
␈βG␈↓ ↓H␈εαdeviation␈αis␈↓ β/␈ελn␈↓ βD␈εα(1␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ∧⊗␈ελn␈↓ ∧,␈εα/␈↓ ∧>␈ελN␈↓ ∧`␈εα)␈↓ ∧l␈εα,␈α
and␈αit␈α
is␈αpossible␈α
that␈αthe␈α
sample␈α
will␈αbe␈α
either␈αtoo
␈βr␈↓ ↓H␈εαlarge␈αfor␈αthe␈αdesired␈αapplication,␈αor␈αtoo␈αsmall␈αto␈αgiv␈α␈e␈αthe␈αnecessary␈αresults.
␈β≥␈↓ α␈εαA␈αsimple␈αmodi|cation␈αof␈αthe␈α\obvious"␈αprocedure␈αgiv␈α␈es␈αwhat␈αw␈α␈e␈αwan␈α␈t:␈αThe
␈βH␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελt␈↓ ↓g␈εα+␈αε1)st␈αrecord␈αshould␈αbe␈α
selected␈αwith␈αprobability␈α(␈↓ π⎇␈ελn␈↓ λ→␈ε⊗␈␈↓ λC␈ελm␈↓ λc␈εα)/(␈↓ 	
␈ελN␈↓ 	5␈ε⊗␈␈↓ 	←␈ελt␈↓ 	l␈εα),␈αif␈↓ 
.␈ελm␈↓ 
X␈εαitems
␈βt␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈αalready␈α
been␈α
selected.␈α∂This␈αis␈α
the␈α
appropriate␈α
probability,␈α
since␈α
of␈α
all␈αthe
␈β
∨␈↓ ↓H␈εαpossible␈αways␈αto␈αchoose␈↓ ∧B␈ελn␈↓ ∧c␈εαthings␈αfrom␈↓ ε$␈ελN␈↓ εP␈εαsuch␈αthat␈↓ πo␈ελm␈↓ λ~␈εαvalues␈αoccur␈αin␈αthe␈α|rst␈↓ ∃␈ελt␈↓ "␈εα,
␈β
J␈↓ ↓H␈εαexactly
␈β
o␈↓ ∧_␈ε↓∩␈↓ ¬↑␈ε↓∪␈↓ ¬t␈ε↓≡␈↓ ε→␈ε↓∩␈↓ π→␈ε↓∪
␈β
r␈↓ ∧2␈ελN␈↓ ∧[␈ε⊗␈␈↓ ¬π␈ελt␈↓ ¬≤␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ ε2␈ελN␈↓ ε\␈ε⊗␈␈↓ πλ␈ελt␈↓ πo␈ελn␈↓ λ␈ε⊗␈␈↓ λ8␈ελm
␈β∞	␈↓ π=␈εα=␈↓ α␈εα(1)
␈β∞→␈↓ πo␈∧∞→πoαj
␈β∞!␈↓ ∧.␈ελn␈↓ ∧L␈ε⊗␈␈↓ ∧x␈ελm␈↓ ¬ ␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ ε/␈ελn␈↓ εM␈ε⊗␈␈↓ εy␈ελm␈↓ πr␈ελN␈↓ λ≠␈ε⊗␈␈↓ λG␈ελt
␈β∞Y␈↓ ↓H␈εαof␈αthese␈αselect␈αthe␈α(␈↓ βz␈ελt␈↓ ∧∂␈εα+␈αλ1)st␈αelemen␈α␈t.
␈β∂¬␈↓ α␈εαThe␈α⊂idea␈α⊂dev␈α␈eloped␈α⊂in␈α⊂the␈α⊂preceding␈α⊂paragraph␈α⊂leads␈α⊂immediately␈α⊂to␈α∂the
␈β∂0␈↓ ↓H␈εαfollo␈α␈wing␈αalgorithm:
␈β∂g␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈α
S␈εα␈α	(␈ε∂Selection␈α
sampling␈α
technique␈εα)␈ε∩.␈εα␈α∀To␈α
select␈↓ λ≥␈ελn␈↓ λ=␈εαrecords␈α
at␈α
random␈α	from
␈β⊂∪␈↓ ↓H␈εαa␈αset␈αof␈↓ αH␈ελN␈↓ αi␈εα,␈αwhere␈α0␈α
<␈↓ ∧1␈ελn␈↓ ∧Q␈ε⊗∀␈↓ ∧␈␈ελN␈↓ ¬!␈εα.
␈β⊂D␈↓ ↓P␈ε∩S1.␈↓ α␈εα[Initialize.]␈α≥Set␈↓ ∧⊂␈ελt␈↓ ∧*␈ε⊗ ␈εα␈α∞0,␈↓ ¬π␈ελm␈↓ ¬5␈ε⊗ ␈εα␈α
0.␈α≡(During␈α∞this␈α∞algorithm,␈↓ 	!␈ελm␈↓ 	O␈εαrepresen␈α␈ts␈α∞the
␈β⊂o␈↓ α␈εαn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αrecords␈αselected␈αso␈αfar,␈αand␈↓ εg␈ελt␈↓ ε␈␈εαis␈αthe␈αtotal␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αinput␈α
records
␈β⊃~␈↓ α␈εαw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αdealt␈αwith.)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.4.2␈ε∞␈↓ ε1RANDOM␈α	SA␈α␈MPLING␈α	A␈α␈ND␈α	SHU␈α␈FFLING␈↓ 
v␈εα135
␈βα&␈↓ ↓P␈ε∩S2.␈↓ α␈εα[Generate␈↓ β-␈ελU␈↓ βK␈εα.]␈α∪Generate␈α	a␈α	random␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈↓ π%␈ελU␈↓ πB␈εα,␈α
uniformly␈α	distributed␈α	bet␈α␈w␈α␈een
␈βαQ␈↓ α␈εαzero␈αand␈αone.
␈ββ␈↓ ↓P␈ε∩S3.␈↓ α␈εα[Test.]␈α→If␈α(␈↓ β9␈ελN␈↓ βc␈ε⊗␈␈↓ ∧∂␈ελt␈↓ ∧≤␈εα)␈↓ ∧(␈ελU␈↓ ∧P␈ε⊗∃␈↓ ∧}␈ελn␈↓ ¬≠␈ε⊗␈␈↓ ¬G␈ελm␈↓ ¬g␈εα,␈αgo␈αto␈αstep␈αS5.
␈ββF␈↓ ↓P␈ε∩S4.␈↓ α␈εα[Select.]␈α∃Select␈α
the␈α
next␈α
record␈α
for␈α
the␈α
sample,␈αand␈α
increase␈↓ 	6␈ελm␈↓ 	`␈εαand␈↓ 
$␈ελt␈↓ 
;␈εαby␈α
1.␈αIf
␈ββq␈↓ α␈ελm␈↓ α7␈εα<␈↓ αf␈ελn␈↓ α|␈εα,␈α
go␈αto␈α
step␈α
S2;␈α
otherwise␈αthe␈α
sample␈α
is␈αcomplete␈α
and␈α
the␈αalgorithm
␈β∧≥␈↓ α␈εαterminates.
␈β∧W␈↓ ↓P␈ε∩S5.␈↓ α␈εα[Skip.]␈α_Skip␈αthe␈αnext␈αrecord␈α(do␈αnot␈αinclude␈αit␈αin␈αthe␈αsample),␈αincrease␈↓ 
l␈ελt␈↓ ∧␈εαby
␈β¬α␈↓ α␈εα1,␈αand␈αgo␈αto␈αstep␈αS2.
␈β¬π␈↓ ∧z␈∧¬π∧z≠∂
␈β¬K␈↓ α␈εαThis␈α
algorithm␈α∞may␈α
appear␈α
to␈α∞be␈α
unreliable␈α∞at␈α
|rst␈α
glance␈α∞and,␈α
in␈α∞fact,␈α
to
␈β¬v␈↓ ↓H␈εαbe␈α⊂incorrect;␈α∪but␈α⊃a␈α⊂careful␈α⊃analysis␈α⊂(see␈α⊃the␈α⊃ex␈α␈ercises␈α⊂belo␈α␈w)␈α⊃sho␈α␈ws␈α⊂that␈α⊃it␈α⊂is
␈βε!␈↓ ↓H␈εαcompletely␈αtrust␈α␈w␈α␈orth␈α␈y.␈αIt␈αis␈αnot␈αdi}cult␈αto␈αv␈α␈erify␈αthat
␈βε[␈↓ ↓b␈εαa)␈↓ α␈εαAt␈α∂most␈↓ β∨␈ελN␈↓ βP␈εαrecords␈α∂are␈α⊂input␈α∂(w␈α␈e␈α∂nev␈α␈er␈α⊂run␈α∂o{␈α⊂the␈α∂end␈α∂of␈α⊂the␈α∂|le␈α∂before
␈βπε␈↓ α␈εαchoosing␈↓ β≡␈ελn␈↓ β@␈εαitems).
␈βπA␈↓ ↓`␈εαb)␈↓ α␈εαThe␈α
sample␈α
is␈α∞completely␈α
un␈α␈biased;␈α
in␈α∞particular,␈α
the␈α
probability␈α
that␈α
an␈α␈y
␈βπl␈↓ α␈εαgiv␈α␈en␈αelemen␈α␈t␈αis␈αselected,␈αe.g.,␈αthe␈αlast␈αelemen␈α␈t␈αof␈αthe␈α|le,␈αis␈↓ 	G␈ελn␈↓ 	]␈εα/␈↓ 	o␈ελN␈↓ 
⊂␈εα.
␈βλ&␈↓ α␈εαStatemen␈α␈t␈α	(b)␈αλis␈α	true␈α	in␈αλspite␈α	of␈α	the␈αλfact␈α	that␈α	w␈α␈e␈α	are␈ε∂␈αλnot␈εα␈α	selecting␈α	the␈αλ(␈↓ 
:␈ελt␈↓ 
K␈εα+␈αβ1)st
␈βλR␈↓ ↓H␈εαitem␈αwith␈αprobability␈↓ ∧#␈ελn␈↓ ∧8␈εα/␈↓ ∧J␈ελN␈↓ ∧l␈εα,␈αw␈α␈e␈αselect␈αit␈αwith␈αthe␈αprobability␈αin␈αEq.␈α(1)!␈αThis␈αhas
␈βλ⎇␈↓ ↓H␈εαcaused␈α
some␈α∞confusion␈α
in␈α
the␈α∞published␈α
literature.␈α⊃Can␈α
the␈α∞reader␈α
explain␈α
this
␈β	(␈↓ ↓H␈εαseeming␈αcon␈α␈tradiction?
␈β	T␈↓ α␈εα(␈ε∂Note:␈εα␈α∪When␈α⊂using␈α⊂Algorithm␈α⊂S␈↓ ε∪␈εα,␈α⊂one␈α⊂should␈α⊂be␈α⊂careful␈α∂to␈α⊂use␈α⊂a␈α∂di{eren␈α␈t
␈β
␈↓ ↓H␈εαsource␈α
of␈α
random␈αn␈α␈um␈α␈bers␈↓ ∧m␈ελU␈↓ ¬∃␈εαeach␈α
time␈α
the␈αprogram␈α
is␈α
run,␈αto␈α
av␈α␈oid␈α
connections
␈β
+␈↓ ↓H␈εαbet␈α␈w␈α␈een␈αthe␈αsamples␈αobtained␈αon␈αdi{eren␈α␈t␈αdays.␈αThis␈αcan␈αbe␈αdone,␈αfor␈αexample,
␈β
V␈↓ ↓H␈εαby␈α
choosing␈α
a␈α
di{eren␈α␈t␈αvalue␈α
of␈↓ ¬:␈ελX␈↓ ¬l␈εαfor␈α
the␈α
linear␈αcongruen␈α␈tial␈α
method␈α
each␈α
time;
␈β
c␈↓ ¬S␈ε¬0
␈β↓␈↓ ↓H␈ελX␈↓ ↓␈␈εαcould␈α∂be␈α⊂set␈α⊂to␈α⊂the␈α∂curren␈α␈t␈α⊂date,␈α⊃or␈α∂to␈α⊂the␈α⊂last␈↓ λ␈ελX␈↓ λ9␈εαvalue␈α⊂generated␈α⊂on␈α∂the
␈β∂␈↓ ↓a␈ε¬0
␈β,␈↓ ↓H␈εαprevious␈αrun␈αof␈αthe␈αprogram.)
␈βY␈↓ α␈εαWe␈αwill␈αusually␈αnot␈αhav␈α␈e␈αto␈αpass␈αo␈α␈v␈α␈er␈αall␈↓ π⊗␈ελN␈↓ πC␈εαrecords;␈αin␈αfact,␈αsince␈α(b)␈αabo␈α␈v␈α␈e
␈β∧␈↓ ↓H␈εαsays␈αthat␈αthe␈αlast␈αrecord␈αis␈αselected␈αwith␈αprobability␈↓ λα␈ελn␈↓ λ↔␈εα/␈↓ λ)␈ελN␈↓ λK␈εα,␈αw␈α␈e␈αwill␈αterminate␈αthe
␈β/␈↓ ↓H␈εαalgorithm␈ε∂␈αbefore␈εα␈αconsidering␈αthe␈αlast␈αrecord␈αexactly␈α(1␈ε⊗␈απ␈␈↓ λL␈ελn␈↓ λa␈εα/␈↓ λs␈ελN␈↓ 	∃␈εα)␈αof␈αthe␈αtime.␈αThe
␈βW␈↓ λq␈ε¬2
␈βZ␈↓ ↓H␈εαav␈α␈erage␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αrecords␈αconsidered␈αwhen␈↓ ε{␈ελn␈↓ π~␈εα=␈α
2␈αis␈αabout␈↓ 	∧␈ελN␈↓ 	%␈εα,␈αand␈αthe␈αgeneral
␈βj␈↓ λq␈∧jλqα∂
␈βm␈↓ λq␈ε¬3
␈β
¬␈↓ ↓H␈εαform␈α␈ulas␈αare␈αgiv␈α␈en␈αin␈αex␈α␈ercises␈α5␈αand␈α6.
␈β
2␈↓ α␈εαAlgorithm␈α
S␈α
and␈α
a␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αof␈α
other␈α
sampling␈α
techniques␈α
are␈α
discussed␈α
in␈αa
␈β
]␈↓ ↓H␈εαpaper␈α
by␈αC.␈αT.␈αFan,␈αMervin␈αE.␈α
Muller,␈αand␈αIvan␈αRezucha,␈ε∂␈αJ.␈αAmer.␈αStat.␈α
Assoc.
␈β∞λ␈↓ ↓H␈ε∩57␈εα␈α
(1962),␈α
387↑402.␈α∞The␈α
method␈α
was␈α
independen␈α␈tly␈α
disco␈α␈v␈α␈ered␈α
by␈α
T.␈α
G.␈αJones,
␈β∞3␈↓ ↓H␈ε∂CA␈α␈CM␈ε∩␈α5␈εα␈α(1962),␈α343.
␈β∞n␈↓ α␈εαA␈α⊂problem␈α⊂arises␈α⊂if␈α⊂w␈α␈e␈α⊂don't␈α⊂kno␈α␈w␈α⊂the␈α⊂value␈α⊂of␈↓ λ$␈ελN␈↓ λU␈εαin␈α⊂advance,␈α⊃since␈α⊂the
␈β∂→␈↓ ↓H␈εαprecise␈αvalue␈αof␈↓ βH␈ελN␈↓ βv␈εαis␈αcrucial␈αin␈αAlgorithm␈αS␈↓ εx␈εα.␈αSuppose␈αw␈α␈e␈αwan␈α␈t␈α
to␈αselect␈↓ 
7␈ελn␈↓ 
X␈εαitems
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαat␈α
random␈α∞from␈α∞a␈α∞|le,␈α∞without␈α
kno␈α␈wing␈α∞exactly␈α∞ho␈α␈w␈α∞man␈α␈y␈α
are␈α∞presen␈α␈t␈α∞in␈α
that
␈β∂o␈↓ ↓H␈εα|le.␈α⊃We␈α∞could␈α∞|rst␈α
go␈α∞through␈α∞and␈α∞coun␈α␈t␈α
the␈α∞records,␈α∞then␈α∞tak␈α␈e␈α∞a␈α∞second␈α
pass
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαto␈αselect␈αthem;␈α
but␈α
it␈αis␈αgenerally␈α
better␈αto␈α
sample␈↓ πr␈ελm␈↓ λ≤␈ε⊗∃␈↓ λK␈ελn␈↓ λm␈εαof␈α
the␈αoriginal␈αitems
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαon␈α
the␈α∞|rst␈α
pass,␈α∞where␈↓ ∧I␈ελm␈↓ ∧w␈εαis␈α
m␈α␈uch␈α
less␈α∞than␈↓ π↔␈ελN␈↓ π9␈εα,␈α∞so␈α
that␈α∞only␈↓ 	∨␈ελm␈↓ 	L␈εαitems␈α∞m␈α␈ust␈α
be
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαconsidered␈αon␈α
the␈αsecond␈α
pass.␈α∞The␈αtrick,␈α
of␈α
course,␈αis␈α
to␈α
do␈αthis␈α
in␈αsuch␈α
a␈αway
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαthat␈αthe␈α|nal␈αresult␈αis␈αa␈αtruly␈αrandom␈αsample␈αof␈αthe␈αoriginal␈α|le.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα136␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.4.2
␈βα(␈↓ α␈εαSince␈αw␈α␈e␈αdon't␈αkno␈α␈w␈αwhen␈αthe␈αinput␈αis␈αgoing␈αto␈αend,␈αw␈α␈e␈αm␈α␈ust␈αk␈α␈eep␈αtrack␈αof
␈βαS␈↓ ↓H␈εαa␈α∞random␈α∞sample␈α∞of␈α∞the␈α∞input␈α∞records␈α∞seen␈α∞so␈α∂far,␈α∞th␈α␈us␈α∞always␈α∞being␈α∞prepared
␈βα}␈↓ ↓H␈εαfor␈α
the␈αend.␈α∂As␈α
w␈α␈e␈α
read␈α
the␈α
input␈α
w␈α␈e␈α
will␈α
construct␈α
a␈α
\reserv␈α␈oir"␈α
that␈αcon␈α␈tains
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαonly␈αthose␈↓ αt␈ελm␈↓ β∨␈εαrecords␈αthat␈αhav␈α␈e␈αappeared␈αamong␈αthe␈αprevious␈αsamples.␈αThe␈α|rst
␈ββU␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓i␈εαrecords␈αalways␈αgo␈αin␈α␈to␈αthe␈αreserv␈α␈oir.␈αWhen␈αthe␈α(␈↓ π[␈ελt␈↓ πo␈εα+␈απ1)st␈αrecord␈αis␈αbeing␈αinput,
␈β∧␈↓ ↓H␈εαfor␈↓ ↓␈␈ελt␈↓ α⊗␈ε⊗∃␈↓ αD␈ελn␈↓ αZ␈εα,␈αw␈α␈e␈αwill␈αhav␈α␈e␈αin␈αmemory␈αa␈αtable␈αof␈↓ π⊃␈ελn␈↓ π2␈εαindices␈αpoin␈α␈ting␈αto␈αthose␈αrecords
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαin␈αthe␈αreserv␈α␈oir␈αthat␈αbelong␈αto␈αthe␈αrandom␈αsample␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αchosen␈αfrom␈αthe␈α|rst
␈β∧V␈↓ ↓H␈ελt␈↓ ↓d␈εαrecords.␈α⊗The␈α∂problem␈α⊂is␈α∂to␈α∂main␈α␈tain␈α⊂this␈α∂situation␈α∂with␈↓ λy␈ελt␈↓ 	⊗␈εαincreased␈α∂by␈α∂one,
␈β¬α␈↓ ↓H␈εαnamely␈αto␈α|nd␈αa␈αnew␈αrandom␈αsample␈αfrom␈αamong␈αthe␈↓ λ"␈ελt␈↓ λ6␈εα+␈αλ1␈αrecords␈αno␈α␈w␈αkno␈α␈wn
␈β¬-␈↓ ↓H␈εαto␈αbe␈αpresen␈α␈t.␈αIt␈αis␈αnot␈αhard␈αto␈αsee␈αthat␈αw␈α␈e␈αshould␈αinclude␈αthe␈αnew␈αrecord␈αin␈αthe
␈β¬X␈↓ ↓H␈εαnew␈α∞sample␈α∞with␈α∞probability␈↓ ¬≡␈ελn␈↓ ¬4␈εα/(␈↓ ¬R␈ελt␈↓ ¬i␈εα+␈α	1),␈α∂and␈α∞in␈α∞such␈α∞a␈α∂case␈α∞it␈α∞should␈α∞replace␈α∞a
␈βεβ␈↓ ↓H␈εαrandom␈αelemen␈α␈t␈αof␈αthe␈αprevious␈αsample.
␈βε/␈↓ α␈εαTh␈α␈us,␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αprocedure␈αdoes␈αthe␈αjob:
␈βεu␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈αR␈εα␈α(␈ε∂Reserv␈α␈oir␈αsampling␈↓ ¬Q␈εα)␈ε∩.␈εα␈α_To␈αselect␈↓ π↔␈ελn␈↓ π8␈εαrecords␈αat␈αrandom␈αfrom␈αa␈α|le␈αof
␈βπ ␈↓ ↓H␈εαunkno␈α␈wn␈α
size␈ε⊗␈α
∃␈↓ βQ␈ελn␈↓ βg␈εα,␈αgiv␈α␈en␈↓ ∧Y␈ελn␈↓ ∧y␈εα>␈α
0.␈αAn␈αauxiliary␈α
|le␈α
called␈αthe␈α
\reserv␈α␈oir"␈α
con␈α␈tains
␈βπK␈↓ ↓H␈εαall␈αrecords␈α
that␈α
are␈α
candidates␈α
for␈α
the␈α
|nal␈αsample.␈α∂The␈α
algorithm␈α
uses␈α
a␈αtable
␈βπv␈↓ ↓H␈εαof␈αdistinct␈αindices␈↓ βh␈ελI␈↓ βx␈εα[␈↓ ∧α␈ελj␈↓ ∧∩␈εα]␈αfor␈α1␈ε⊗␈α
∀␈↓ ¬)␈ελj␈↓ ¬C␈ε⊗∀␈↓ ¬q␈ελn␈↓ επ␈εα,␈αeach␈αof␈αwhich␈αpoin␈α␈ts␈αto␈αone␈αof␈αthe␈αrecords
␈βλ"␈↓ ↓H␈εαin␈αthe␈αreserv␈α␈oir.
␈βλZ␈↓ ↓I␈ε∩R1.␈↓ α␈εα[Initialize.]␈α≡Input␈α∂the␈α∂|rst␈↓ ¬B␈ελn␈↓ ¬g␈εαrecords␈α∂and␈α∞copy␈α∂them␈α∂to␈α∞the␈α∂reserv␈α␈oir.␈α∀Set
␈β	ε␈↓ α␈ελI␈↓ α≤␈εα[␈↓ α&␈ελj␈↓ α7␈εα]␈ε⊗␈α
 ␈↓ αy␈ελj␈↓ β⊗␈εαfor␈α1␈ε⊗␈α
∀␈↓ ∧→␈ελj␈↓ ∧3␈ε⊗∀␈↓ ∧b␈ελn␈↓ ∧w␈εα,␈α
and␈αset␈↓ ε␈ελt␈↓ ε#␈ε⊗ ␈↓ εR␈ελm␈↓ ε|␈ε⊗ ␈↓ π*␈ελn␈↓ π@␈εα.␈α→(If␈α
the␈α|le␈αbeing␈αsampled␈αhas
␈β	1␈↓ α␈εαfew␈α␈er␈α∞than␈↓ βB␈ελn␈↓ βe␈εαrecords,␈α∞it␈α∞will␈α
of␈α∞course␈α
be␈α
necessary␈α∞to␈α
abort␈α∞the␈α
algorithm
␈β	\␈↓ α␈εαand␈αλreport␈α	failure.␈αDuring␈αλthis␈αλalgorithm,␈ε⊗␈α
f␈↓ π&␈ελI␈↓ π6␈εα[1],␈↓ πl␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ≤␈εα,␈↓ λ,␈ελI␈↓ λ<␈εα[␈↓ λF␈ελn␈↓ λ\␈εα]␈ε⊗g␈εα␈αλpoin␈α␈t␈α	to␈αλthe␈αλrecords
␈β
π␈↓ α␈εαin␈αthe␈αcurren␈α␈t␈αsample,␈↓ ∧s␈ελm␈↓ ¬∨␈εαis␈αthe␈αsize␈α
of␈αthe␈αreserv␈α␈oir,␈αand␈↓ 	⊃␈ελt␈↓ 	*␈εαis␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof
␈β
2␈↓ α␈εαinput␈αrecords␈αdealt␈αwith␈αso␈αfar.)
␈β
k␈↓ ↓I␈ε∩R2.␈↓ α␈εα[End␈αof␈α|le?]␈α→If␈αthere␈αare␈αno␈αmore␈αrecords␈αto␈αbe␈αinput,␈αgo␈αto␈αstep␈αR6.
␈β$␈↓ ↓I␈ε∩R3.␈↓ α␈εα[Generate␈α⊂and␈α∂test.]␈α Increase␈↓ ¬y␈ελt␈↓ ε∃␈εαby␈α⊂1,␈α⊃then␈α∂generate␈α⊂a␈α⊂random␈α∂in␈α␈teger␈↓ π␈ελM
␈βO␈↓ α␈εαbet␈α␈w␈α␈een␈α1␈αand␈↓ βz␈ελt␈↓ ∧∪␈εα(inclusiv␈α␈e).␈αIf␈↓ ¬l␈ελM␈↓ ε≤␈εα>␈↓ εJ␈ελn␈↓ ε←␈εα,␈αgo␈αto␈αR5.
␈βλ␈↓ ↓I␈ε∩R4.␈↓ α␈εα[Add␈α
to␈α
reserv␈α␈oir.]␈α~Copy␈α
the␈α
next␈α
record␈α
of␈αthe␈α
input␈α
|le␈α
to␈α
the␈αreserv␈α␈oir,
␈β3␈↓ α␈εαincrease␈↓ β∀␈ελm␈↓ βA␈εαby␈α1,␈α
and␈αset␈↓ ¬≤␈ελI␈↓ ¬-␈εα[␈↓ ¬7␈ελM␈↓ ¬\␈εα]␈ε⊗␈α ␈↓ ε ␈ελm␈↓ ε?␈εα.␈α~(The␈α
record␈αpreviously␈α
poin␈α␈ted␈αto␈αby
␈β←␈↓ α␈ελI␈↓ α≤␈εα[␈↓ α&␈ελM␈↓ αL␈εα]␈αis␈αbeing␈αreplaced␈αin␈αthe␈αsample␈αby␈αthe␈αnew␈αrecord.)␈α→Go␈αback␈αto␈αR2.
␈β
↔␈↓ ↓I␈ε∩R5.␈↓ α␈εα[Skip.]␈α~Skip␈α
o␈α␈v␈α␈er␈αthe␈α
next␈α
record␈αof␈α
the␈αinput␈α
|le␈α
(do␈αnot␈α
include␈αit␈α
in␈αthe
␈β
C␈↓ α␈εαreserv␈α␈oir),␈αand␈αreturn␈αto␈αstep␈αR2.
␈β
{␈↓ ↓I␈ε∩R6.␈↓ α␈εα[Second␈α∞pass.]␈α≥Sort␈α∞the␈↓ ¬∃␈ελI␈↓ ¬4␈εαtable␈α∞en␈α␈tries␈α∞so␈α∞that␈↓ λβ␈ελI␈↓ λ∪␈εα[1]␈α∞<␈↓ λx␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	0␈εα<␈↓ 	a␈ελI␈↓ 	r␈εα[␈↓ 	|␈ελn␈↓ 
⊃␈εα];␈α∂then␈α∞go
␈β∞'␈↓ α␈εαthrough␈α
the␈α
reserv␈α␈oir,␈α
copying␈α
the␈α
records␈α	with␈α
these␈α
indices␈α
in␈α␈to␈α
the␈α	output
␈β∞R␈↓ α␈εα|le␈αthat␈αis␈αto␈αhold␈αthe␈α|nal␈αsample.
␈β∞W␈↓ ε`␈∧∞Wε`≠∂
␈β∂↔␈↓ α␈εαAlgorithm␈α
R␈α
is␈α	due␈α
to␈α
Alan␈α
G.␈α
Waterman.␈αThe␈α
reader␈α	may␈α
wish␈α
to␈α
w␈α␈ork␈α	out
␈β∂C␈↓ ↓H␈εαthe␈αexample␈αof␈αits␈αoperation␈αthat␈αappears␈αin␈αex␈α␈ercise␈α9.
␈β∂o␈↓ α␈εαIf␈α⊂the␈α∂records␈α⊂are␈α⊂su}cien␈α␈tly␈α∂short,␈α⊃it␈α⊂is␈α∂of␈α⊂course␈α∂unnecessary␈α⊂to␈α⊂hav␈α␈e␈α∂a
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαreserv␈α␈oir␈α
at␈α
all;␈α∞w␈α␈e␈α
can␈α
k␈α␈eep␈α
the␈↓ ¬S␈ελn␈↓ ¬v␈εαrecords␈α
of␈α
the␈α
curren␈α␈t␈α
sample␈α
in␈α
memory␈α
at
␈β⊂E␈↓ ↓H␈εαall␈αtimes␈α(see␈αex␈α␈ercise␈α10).
␈β⊂q␈↓ α␈εαThe␈α∞natural␈α∞question␈α
to␈α∞ask␈α∞about␈α∞Algorithm␈α
R␈α∞is,␈α∞\What␈α∞is␈α∞the␈α
expected
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαsize␈αof␈α
the␈αreserv␈α␈oir?"␈α
Ex␈α␈ercise␈α
11␈αsho␈α␈ws␈α
that␈αthe␈α
av␈α␈erage␈αvalue␈αof␈↓ 	j␈ελm␈↓ 
⊗␈εαis␈αexactly
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.4.2␈ε∞␈↓ ε1RANDOM␈α	SA␈α␈MPLING␈α	A␈α␈ND␈α	SHU␈α␈FFLING␈↓ 
v␈εα137
␈βαβ␈↓ εO␈ε↓␈␈↓ λ"␈ε↓↓
␈βα#␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓]␈εα(1␈αλ+␈↓ α/␈ελH␈↓ αi␈ε⊗␈␈↓ β∃␈ελH␈↓ β>␈εα);␈αthis␈αis␈αappro␈α␈ximately␈↓ ε9␈ελn␈↓ ε]␈εα1␈αλ+␈↓ π#␈εαln␈↓ πA␈εα(␈↓ πM␈ελN␈↓ πo␈εα/␈↓ λ↓␈ελn␈↓ λ⊗␈εα)␈↓ λ0␈εα.␈α
So␈αif␈↓ 	≠␈ελN␈↓ 	<␈εα/␈↓ 	N␈ελn␈↓ 	n␈εα=␈α
1000,␈αthe
␈βα0␈↓ αF␈εN␈↓ β,␈εn
␈βαK␈↓ ¬f␈ε¬1
␈βαN␈↓ ↓H␈εαreserv␈α␈oir␈αwill␈αcon␈α␈tain␈αonly␈αabout␈↓ ε∪␈εαas␈αman␈α␈y␈αitems␈αas␈αthe␈αoriginal␈α|le.
␈βα↑␈↓ ¬X␈∧α↑¬Xα,
␈βαa␈↓ ¬X␈ε¬125
␈βαy␈↓ α␈εαNote␈α∂that␈α⊂Algorithms␈α∂S␈α∂and␈α∂R␈α⊂can␈α∂be␈α∂used␈α∂to␈α⊂obtain␈α∂samples␈α∂for␈α∂sev␈α␈eral
␈ββ$␈↓ ↓H␈εαindependen␈α␈t␈α∞categories␈α∞sim␈α␈ultaneously.␈α∪For␈α∂example,␈α∞if␈α∂w␈α␈e␈α∞hav␈α␈e␈α∞a␈α∂large␈α∞|le␈α∞of
␈ββO␈↓ ↓H␈εαnames␈αand␈α
addresses␈αof␈αU.S.␈αresiden␈α␈ts,␈αw␈α␈e␈αcould␈αpick␈αrandom␈αsamples␈αof␈α
exactly
␈ββ{␈↓ ↓H␈εα10␈αpeople␈αfrom␈αeach␈αof␈αthe␈α50␈αstates␈αwithout␈αmaking␈α50␈αpasses␈αthrough␈αthe␈α|le,
␈β∧&␈↓ ↓H␈εαand␈αwithout␈α|rst␈αsorting␈αthe␈α|le␈αby␈αstate.
␈β∧\␈↓ α␈εαThe␈ε∂␈αλsampling␈απproblem␈εα,␈αλas␈αλdescribed␈απhere,␈α	can␈απbe␈αλregarded␈απas␈αλthe␈απcomputation
␈β¬π␈↓ ↓H␈εαof␈α
a␈α
random␈ε∂␈α
com␈α␈bination␈εα,␈α∞according␈α
to␈α
the␈α
con␈α␈v␈α␈en␈α␈tional␈α
de|nition␈α
of␈α
com␈α␈bina-
␈β¬2␈↓ ↓H␈εαtions␈αof␈↓ αJ␈ελN␈↓ αx␈εαthings␈α
tak␈α␈en␈↓ ∧H␈ελn␈↓ ∧j␈εαat␈αa␈αtime␈α
(see␈αSection␈α1.2.6).␈α
No␈α␈w␈α
let␈αus␈αconsider␈αthe
␈β¬]␈↓ ↓H␈εαproblem␈α
of␈α∞computing␈α
a␈α
random␈ε∂␈α∞perm␈α␈utation␈εα␈α
of␈↓ πS␈ελt␈↓ πm␈εαobjects;␈α∂w␈α␈e␈α
will␈α∞call␈α
this␈α
the
␈βε	␈↓ ↓H␈ε∂sh␈α␈u␈␈ing␈α
problem␈εα,␈α
since␈α
sh␈α␈u␈␈ing␈α
a␈α
deck␈α
of␈α
cards␈α
is␈α
nothing␈α
more␈α
than␈α
subjecting
␈βε4␈↓ ↓H␈εαit␈αto␈αa␈αrandom␈αperm␈α␈utation.
␈βε←␈↓ α␈εαA␈α⊂momen␈α␈t's␈α⊃re⎇ection␈α⊂is␈α⊃enough␈α⊂to␈α⊃con␈α␈vince␈α⊂oneself␈α⊃that␈α⊂the␈α⊂approaches
␈βπ
␈↓ ↓H␈εαpeople␈αλtraditionally␈αλuse␈αλto␈αλsh␈α␈u␈␈e␈αλcards␈αλare␈αλmiserably␈αλinadequate;␈α	there␈αλis␈αλno␈αλhope
␈βπ5␈↓ ↓H␈εαof␈α
obtaining␈α∞each␈α∞of␈α∞the␈↓ ∧U␈ελt␈↓ ∧b␈εα!␈α
perm␈α␈utations␈α∞with␈α∞an␈α␈ywhere␈α∞near␈α∞equal␈α
probability
␈βπa␈↓ ↓H␈εαby␈α
such␈α∞methods.␈α⊂It␈α∞has␈α
been␈α∞said␈α∞that␈α
expert␈α∞bridge␈α
play␈α␈ers␈α∞mak␈α␈e␈α
use␈α∞of␈α
this
␈βλ␈↓ ↓H␈εαfact␈αwhen␈αdeciding␈αwhether␈αor␈αnot␈αto␈α\|nesse."
␈βλ7␈↓ α␈εαIf␈↓ α-␈ελt␈↓ αC␈εαis␈α	small,␈α
w␈α␈e␈α	can␈α	obtain␈α	a␈α	random␈α	perm␈α␈utation␈α	v␈α␈ery␈α	quickly␈α	by␈α	generating
␈βλb␈↓ ↓H␈εαa␈α
random␈αin␈α␈teger␈αbet␈α␈w␈α␈een␈α1␈αand␈↓ ¬G␈ελt␈↓ ¬U␈εα!.␈αFor␈αexample,␈αwhen␈↓ λ+␈ελt␈↓ λB␈εα=␈α
4,␈αa␈αrandom␈α
n␈α␈um␈α␈ber
␈β	
␈↓ ↓H␈εαbet␈α␈w␈α␈een␈α∂1␈α⊂and␈α∂24␈α⊂su}ces␈α∂to␈α⊂select␈α⊂a␈α∂random␈α⊂perm␈α␈utation␈α∂from␈α⊂a␈α∂table␈α⊂of␈α∂all
␈β	9␈↓ ↓H␈εαpossibilities.␈αBut␈α
for␈α	large␈↓ ∧`␈ελt␈↓ ∧m␈εα,␈α
it␈α
is␈α
necessary␈α
to␈α	be␈α
more␈α
careful␈α	if␈α
w␈α␈e␈α
wan␈α␈t␈α
to␈α	claim
␈β	d␈↓ ↓H␈εαthat␈α
each␈α
perm␈α␈utation␈αis␈α
equally␈α
lik␈α␈ely,␈αsince␈↓ π␈ελt␈↓ π→␈εα!␈αis␈α
m␈α␈uch␈α
larger␈αthan␈α
the␈α
accuracy
␈β
∂␈↓ ↓H␈εαof␈αindividual␈αrandom␈αn␈α␈um␈α␈bers.
␈β
:␈↓ α␈εαA␈α	suitable␈α	sh␈α␈u␈␈ing␈αλprocedure␈α	can␈α	be␈αλobtained␈α	by␈α	recalling␈α	Algorithm␈αλ3.3.2P␈↓ "␈εα,
␈β
e␈↓ ↓H␈εαwhich␈α	giv␈α␈es␈α	a␈α	simple␈α	correspondence␈α	bet␈α␈w␈α␈een␈α	each␈α	of␈α	the␈↓ λ:␈ελt␈↓ λG␈εα!␈α	possible␈α	perm␈α␈utations
␈β⊃␈↓ ↓H␈εαand␈αλa␈αλsequence␈αλof␈αλn␈α␈um␈α␈bers␈α	(␈↓ ∧s␈ελc␈↓ ¬∞␈εα,␈↓ ¬≡␈ελc␈↓ ¬9␈εα,␈↓ ¬I␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬y␈εα,␈↓ ε	␈ελc␈↓ εL␈εα)␈αλwith␈αλ0␈ε⊗␈α
∀␈↓ πx␈ελc␈↓ λ≥␈ε⊗∀␈↓ λK␈ελj␈↓ λ[␈εα.␈αIt␈αλis␈αλeasy␈αλto␈αλcompute
␈β≡␈↓ ¬␈ε¬1␈↓ ¬+␈ε¬2␈↓ ε⊗␈εt␈↓ ε!␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ¬␈εj
␈β<␈↓ ↓H␈εαsuch␈α
a␈αset␈αof␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈αat␈αrandom,␈αand␈α
w␈α␈e␈αcan␈αuse␈α
the␈αcorrespondence␈αto␈α
produce
␈βg␈↓ ↓H␈εαa␈αrandom␈αperm␈α␈utation.
␈β(␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈α
P␈εα␈α(␈ε∂Sh␈α␈u␈␈ing␈↓ ∧(␈εα)␈ε∩.␈εα␈α⊗Let␈↓ ¬∃␈ελX␈↓ ¬=␈εα,␈↓ ¬Q␈ελX␈↓ ¬y␈εα,␈↓ ε∞␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε>␈εα,␈↓ εS␈ελX␈↓ π↓␈εαbe␈αa␈α
set␈αof␈↓ λ,␈ελt␈↓ λC␈εαn␈α␈um␈α␈bers␈αto␈αbe␈α
sh␈α␈u␈␈ed.
␈β5␈↓ ¬.␈ε¬1␈↓ ¬j␈ε¬2␈↓ εl␈εt
␈β↑␈↓ ↓N␈ε∩P1.␈↓ α␈εα[Initialize.]␈α→Set␈↓ ∧	␈ελj␈↓ ∧$␈ε⊗ ␈↓ ∧R␈ελt␈↓ ∧←␈εα.
␈β
∀␈↓ ↓N␈ε∩P2.␈↓ α␈εα[Generate␈↓ β-␈ελU␈↓ βK␈εα.]␈α∪Generate␈α	a␈α	random␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈↓ π%␈ελU␈↓ πB␈εα,␈α
uniformly␈α	distributed␈α	bet␈α␈w␈α␈een
␈β
?␈↓ α␈εαzero␈αand␈αone.
␈β
u␈↓ ↓N␈ε∩P3.␈↓ α␈εα[Ex␈α␈change.]␈α↔Set␈↓ ∧∃␈ελk␈↓ ∧1␈ε⊗ ␈α
b␈↓ ∧m␈ελj␈↓ ∧⎇␈ελU␈↓ ¬≠␈ε⊗c␈εα␈απ+␈απ1.␈α↔(No␈α␈w␈↓ εl␈ελk␈↓ π	␈εαis␈αa␈αrandom␈αin␈α␈teger,␈αbet␈α␈w␈α␈een␈α1␈αand
␈β∞ ␈↓ α␈ελj␈↓ α≤␈εα.)␈α~Ex␈α␈change␈↓ βo␈ελX␈↓ ∧ ␈ε⊗$␈↓ ∧N␈ελX␈↓ ∧t␈εα.
␈β∞.␈↓ ∧λ␈εk␈↓ ∧g␈εj
␈β∞V␈↓ ↓N␈ε∩P4.␈↓ α␈εα[Decrease␈↓ β,␈ελj␈↓ β<␈εα.]␈α~Decrease␈↓ ¬␈ελj␈↓ ¬≤␈εαby␈α1.␈αIf␈↓ ε≤␈ελj␈↓ ε6␈εα>␈α
1,␈αreturn␈αto␈αstep␈αP2.
␈β∞[␈↓ 	L␈∧∞[	L≠∂
␈β∂↔␈↓ α␈εαThis␈α∂algorithm␈α∞was␈α∂|rst␈α∞published␈α∂by␈α∞L.␈α∂E.␈α∞Moses␈α∂and␈α∞R.␈α∂V.␈α∞Oakford,␈α∂in
␈β∂B␈↓ ↓H␈ε∂Tables␈α∞of␈α∂Random␈α∞Perm␈α␈utations␈εα␈α∂(Stanford␈α∞Univ␈α␈ersity␈α∂Press,␈α∂1963);␈α∂and␈α∂by␈α∞R.
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαDurstenfeld,␈ε∂␈α
CA␈α␈CM␈ε∩␈α∞7␈εα␈α
(1964),␈α∞420.␈α⊂It␈α∞can␈α
also␈α
be␈α∞modi|ed␈α
to␈α∞obtain␈α
a␈α
random
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαperm␈α␈utation␈αof␈αa␈αrandom␈αcom␈α␈bination␈α(see␈αex␈α␈ercise␈α14).
␈β⊂D␈↓ α␈εαFor␈αa␈αdiscussion␈αof␈α
random␈αcom␈α␈binatorial␈αobjects␈αof␈αother␈αkinds␈α
(e.g.,␈αparti-
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαtions),␈αsee␈α
Section␈α7.2␈α
and/or␈αthe␈α
book␈ε∂␈αCom␈α␈binatorial␈α
Algorithms␈εα␈αby␈αNijenh␈α␈uis
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαand␈αWilf␈α(New␈αYork:␈αAcademic␈αPress,␈α1975).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα138␈↓ α=␈ε∞RA␈α␈NDOM␈α	NUMBERS␈εα␈↓ 
b3.4.2
␈βα(␈↓ ↓H␈ε≥E␈α␈XERCI␈α↓SE␈α␈S
␈ββλ␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ[␈ε	M12␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Exp␈α␈lain␈αEq.␈α(1).
␈ββG␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ[␈ε	20␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈αεtha␈α␈t␈απAlgo␈α␈rithm␈αεS␈αεne␈α␈v␈α␈er␈αεtries␈απto␈αεrea␈α␈d␈αεmore␈αεth␈α␈an␈↓ λE␈ε	N␈↓ λj␈εβrecord␈α␈s␈απo␈α␈f␈απits␈αεi␈α↓n␈α␈pu␈α␈t␈απ|␈α␈le.
␈β∧β␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∧π␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβ[␈ε	22␈↓ α;␈εβ]␈α⊗The␈απ(␈↓ β&␈ε	t␈↓ β5␈εβ+␈αα1)st␈αλitem␈απin␈απAlgorith␈α␈m␈αλS␈αεi␈α↓s␈απselected␈αεw␈α↓ith␈απp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈απ(␈↓ 	H␈ε	n␈↓ 	←␈ε↔␈␈↓ 
β␈ε	m␈↓ 
 ␈εβ)/(␈↓ 
G␈ε	N␈↓ 
h␈ε↔␈␈↓ ␈ε	t␈↓ _␈εβ),
␈β∧.␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ot␈↓ απ␈ε	n␈↓ α≠␈εβ/␈↓ α+␈ε	N␈↓ αJ␈εβ,␈α⊂y␈α␈et␈α∂th␈α␈e␈α∂tex␈α␈t␈α∂claims␈α∂th␈α␈at␈α∂th␈α␈e␈α∂sa␈α␈mple␈α∂is␈α∂u␈α␈n␈α␈b␈α␈i␈α↓a␈α␈sed←so␈α∞each␈α∞item␈α∂sh␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α∞be
␈β∧V␈↓ ↓H␈εβse␈α␈l␈α↓e␈α␈cted␈αwith␈α
the␈ε⊂␈αsa␈α␈me␈εβ␈αpr␈α␈oba␈α␈bili␈α↓t␈α␈y.␈αHo␈α␈w␈αcan␈α
bo␈α␈th␈αof␈αth␈α␈ese␈αstat␈α␈emen␈α}ts␈αbe␈αtru␈α␈e?
␈β¬⊗␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β1␈ε	p␈↓ βB␈εβ(␈↓ βM␈ε	m␈↓ βj␈εβ,␈↓ βy␈ε	t␈↓ ∧¬␈εβ)␈αλb␈α␈e␈αλthe␈αλp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αλth␈α␈at␈αλex␈α␈act␈α␈l␈α↓y␈↓ πW␈ε	m␈↓ π⎇␈εβitem␈α␈s␈αλare␈αλselec␈α␈ted␈αλfro␈α␈m␈αλamo␈α␈ng
␈β¬=␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α|␈α␈rst␈↓ αE␈ε	t␈↓ α\␈εβi␈α↓n␈α
the␈αse␈α␈l␈α↓e␈α␈ction␈αsa␈α␈mpling␈α
tech␈α␈niqu␈α␈e.␈αSh␈α␈o␈α␈w␈αdirectly␈α
from␈αAlgor␈α␈i␈α↓th␈α␈m␈αS␈αth␈α␈at
␈βε⊂␈↓ ∧C␈ε↓∩␈↓ ∧v␈ε↓∪␈↓ ¬␈ε↓∩␈↓ εβ␈ε↓∪␈↓ ε→␈ε↓≡␈↓ ε?␈ε↓∩␈↓ εt␈ε↓∪
␈βε⊗␈↓ ∧a␈ε	t␈↓ ¬%␈ε	N␈↓ ¬K␈ε↔␈␈↓ ¬t␈ε	t␈↓ εU␈ε	N
␈βε,␈↓ β0␈ε	p␈↓ βA␈εβ(␈↓ βL␈ε	m␈↓ βi␈εβ,␈↓ βx␈ε	t␈↓ ∧∧␈εβ)␈α	=␈↓ π
␈εβ,␈↓ πd␈εβfor␈↓ λ_␈εβ0␈ε↔␈α	∀␈↓ λ]␈ε	t␈↓ λr␈ε↔∀␈↓ 	≤␈ε	N␈↓ 	;␈εβ.
␈βεD␈↓ ∧Y␈ε	m␈↓ ¬"␈ε	n␈↓ ¬=␈ε↔␈␈↓ ¬f␈ε	m␈↓ εZ␈ε	n
␈βπ5␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Wha␈α␈t␈α
i␈α↓s␈α
th␈α␈e␈α
av␈α␈e␈α␈rage␈α
v␈α␈alue␈α
o␈α␈f␈↓ ε4␈ε	t␈↓ εM␈εβwh␈α␈en␈α
Algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α
S␈α
ter␈α␈minate␈α␈s?␈α≡(In␈α
o␈α␈the␈α␈r
␈βπ\␈↓ ↓H␈εβw␈α␈o␈α␈rds,␈α
h␈α␈o␈α␈w␈α	ma␈α␈n␈α␈y␈α	o␈α␈f␈α
th␈α␈e␈↓ ∧(␈ε	N␈↓ ∧P␈εβreco␈α␈rds␈α	h␈α␈av␈α␈e␈α	b␈α␈een␈αλpas␈α␈sed,␈α
o␈α␈n␈α	th␈α␈e␈α	av␈α}erage␈α␈,␈α
be␈α␈f␈α↓o␈α␈re␈α	the␈α	s␈α␈amp␈α␈l␈α↓e
␈βλ∧␈↓ ↓H␈εβis␈αco␈α␈mplete␈α␈?)
␈βλC␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Wha␈α␈t␈α⊂is␈α⊂the␈α∂stan␈α␈dar␈α␈d␈α⊂d␈α␈eviatio␈α␈n␈α⊂o␈α␈f␈α⊂the␈α⊂v␈α␈alue␈α∂com␈α␈pu␈α␈ted␈α⊂in␈α∂the␈α∂prev␈α␈iou␈α␈s
␈βλk␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ercise?
␈β	'␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β	+␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t␈αan␈α␈y␈ε⊂␈α
giv␈α␈en␈εβ␈α
ch␈α␈oice␈αof␈↓ ε>␈ε	n␈↓ ε]␈εβreco␈α␈rds␈αfro␈α␈m␈αthe␈αse␈α␈t␈αof␈↓ 	3␈ε	N␈↓ 	]␈εβis␈αo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α␈ed␈α
by
␈β	1␈↓ ¬≡␈ε↓␈␈↓ ¬C␈ε↓↓
␈β	K␈↓ ¬,␈εN
␈β	R␈↓ ↓H␈εβAlgo␈α␈rithm␈αS␈α
wi␈α↓th␈α
pro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈α
1/␈↓ ¬Q␈εβ.␈αTh␈α␈erefo␈α␈re␈αthe␈αsa␈α␈mple␈αis␈αco␈α␈mplete␈α␈l␈α↓y␈α
un␈α}biased␈α␈.
␈β	c␈↓ ¬/␈εn
␈β
∩␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβ[␈ε	M46␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αλS␈αλc␈α␈omp␈α␈utes␈αλo␈α␈ne␈αλu␈α␈niform␈αλd␈α␈ev␈α␈i␈α↓a␈α␈te␈αλfor␈αλeac␈α␈h␈αλinp␈α␈ut␈αλrec␈α␈ord␈αλit␈αλha␈α␈nd␈α␈les.
␈β
:␈↓ ↓H␈εβFind␈α
a␈α
more␈α
e}cien␈α}t␈αway␈α
to␈αd␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈e␈αth␈α␈e␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f␈αinp␈α␈ut␈αre␈α␈cord␈α␈s␈αto␈αsk␈α␈ip␈αb␈α␈efore␈α
the
␈β
a␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈rst␈αis␈αselec␈α␈ted,␈αassu␈α␈ming␈αth␈α␈at␈↓ ¬∂␈ε	N␈↓ ¬.␈εβ/␈↓ ¬>␈ε	n␈↓ ¬↑␈εβi␈α↓s␈αrath␈α␈er␈αlarg␈α␈e.␈α≠(W␈α↓e␈αcou␈α␈ld␈αitera␈α␈te␈αth␈α␈i␈α↓s␈αproc␈α␈ess␈αto
␈β	␈↓ ↓H␈εβse␈α␈l␈α↓e␈α␈ct␈α∂th␈α␈e␈α∂rem␈α␈aining␈↓ ∧α␈ε	n␈↓ ∧ ␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈α∞record␈α␈s,␈α⊂th␈α}us␈α∂re␈α␈du␈α␈cing␈α∞the␈α∞n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α∞of␈α∂n␈α␈ecessa␈α␈ry␈α∞rand␈α␈om
␈β0␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ev␈α␈i␈α↓a␈α␈tes␈αfrom␈αo␈α␈rder␈↓ βp␈ε	N␈↓ ∧~␈εβto␈α
ord␈α␈er␈↓ ¬→␈ε	n␈↓ ¬-␈εβ.␈α↓)
␈βp␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβ[␈ε	12␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β∃␈ε	n␈↓ β2␈εβ=␈α
3␈α␈.␈αIf␈α	Algorith␈α␈m␈α	R␈α	is␈α	ap␈α␈plied␈αλto␈α	a␈αλ|le␈α	c␈α␈on␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈ing␈αλ20␈α	r␈α␈ecord␈α␈s␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ered
␈β_␈↓ ↓H␈εβ1␈α
thru␈α
20,␈αan␈α␈d␈αif␈αthe␈αra␈α␈nd␈α␈om␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈αge␈α␈nera␈α␈ted␈αin␈α
step␈αR3␈α
are␈αresp␈α␈ectiv␈α␈e␈α␈l␈α↓y
␈βq␈↓ ∧→␈εβ4␈α␈,␈αε1,␈α¬6,␈αε7,␈α¬5,␈αε3␈α␈,␈αε5,␈αε1␈α␈1,␈αε1␈α␈1,␈αε3,␈α¬7,␈αε9␈α␈,␈αε3,␈αε1␈α␈1,␈αε4␈α␈,␈αε5,␈αε4␈α␈,
␈β
J␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ich␈αrec␈α␈ord␈α␈s␈αg␈α␈o␈αin␈α␈to␈α
the␈αrese␈α␈rv␈α␈o␈α␈i␈α↓r?␈αWhich␈α
are␈αin␈αt␈α␈he␈α|␈α␈nal␈αsa␈α␈mple?
␈β∞
␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβ[␈ε	15␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Mo␈α␈dify␈α
Algorith␈α␈m␈α
R␈αso␈α
th␈α␈at␈α
the␈α
re␈α␈serv␈α␈o␈α␈i␈α↓r␈α
is␈α
eli␈α↓m␈α␈i␈α↓n␈α␈ated␈α␈,␈αas␈α␈sumin␈α␈g␈α
that␈α
th␈α␈e␈↓ _␈ε	n
␈β∞1␈↓ ↓H␈εβre␈α␈cord␈α␈s␈αof␈αthe␈αc␈α␈urren␈α}t␈αsamp␈α␈le␈αcan␈α
be␈αh␈α␈eld␈αin␈αm␈α␈emory␈α␈.
␈β∞m␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∞q␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β4␈ε	p␈↓ βg␈εβbe␈αth␈α␈e␈αp␈α␈rob␈α␈ability␈αtha␈α␈t␈αex␈α␈actly␈↓ π8␈ε	m␈↓ πa␈εβeleme␈α␈n␈α␈ts␈αare␈αpu␈α␈t␈αin␈α␈to␈αth␈α␈e␈αrese␈α␈r-
␈β∞{␈↓ βD␈εm
␈β∂_␈↓ ↓H␈εβv␈α}oir␈αdu␈α␈ri␈α↓n␈α␈g␈αthe␈α|␈α␈rst␈α
p␈α␈ass␈αof␈αAl␈α↓g␈α␈orithm␈αR␈↓ ε#␈εβ.␈α∂Deter␈α␈mine␈αthe␈αge␈α␈nera␈α␈ting␈αfun␈α␈ction␈↓ 
C␈ε	G␈↓ 
\␈εβ(␈↓ 
g␈ε	z␈↓ 
u␈εβ)␈α=
␈β∂"␈↓ ↓H␈ε↓P
␈β∂<␈↓ α?␈εm
␈β∂@␈↓ α
␈ε	p␈↓ α2␈ε	z␈↓ αW␈εβ,␈α	an␈α␈d␈αλ|n␈α␈d␈αλthe␈αλmea␈α␈n␈αλan␈α␈d␈α	s␈α␈tand␈α␈ard␈αλd␈α␈evia␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.␈α∪(Use␈αλthe␈αλide␈α␈as␈α	o␈α␈f␈α	S␈α␈ection␈αλ1.2.1␈α␈0.)
␈β∂K␈↓ α~␈εm
␈β∂S␈↓ ↓n␈εm
␈β⊂␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβ[␈ε	M26␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Th␈α␈e␈απgist␈απo␈α␈f␈αλAlg␈α␈orithm␈αεP␈αλis␈απth␈α␈at␈απan␈α}y␈απp␈α␈erm␈α␈u␈α␈tation␈↓ λ!␈ε	→␈↓ λ:␈εβcan␈αεbe␈απu␈α␈niq␈α␈uely␈αεw␈α↓r␈α␈i␈α↓tte␈α␈n␈απa␈α␈s
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβa␈απpr␈α␈odu␈α␈ct␈αλo␈α␈f␈αλtran␈α␈spo␈α␈siti␈α↓o␈α␈ns␈απi␈α↓n␈απth␈α␈e␈αλform␈↓ ¬s␈ε	→␈↓ ε∂␈εβ=␈α	(␈↓ εD␈ε	a␈↓ ε↑␈ε	t␈↓ εj␈εβ)␈↓ εz␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π'␈εβ(␈↓ π2␈ε	a␈↓ πN␈εβ3␈α␈)␈α↓(␈↓ πu␈ε	a␈↓ λ⊃␈εβ2␈α␈)␈α↓,␈αλwhere␈απ1␈ε↔␈α	∀␈↓ 	`␈ε	a␈↓ 
∧␈ε↔∀␈↓ 
/␈ε	j␈↓ 
F␈εβfo␈α␈r␈↓ 
v␈ε	t␈↓ ␈ε↔∃
␈β⊂2␈↓ εT␈εt␈↓ πA␈εε3␈↓ λ∧␈εε2␈↓ 	o␈εj
␈β⊂O␈↓ ↓H␈ε	j␈↓ ↓`␈εβ>␈α	1.␈α
P␈α↓r␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈απtha␈α␈t␈αλth␈α␈ere␈απis␈αλa␈α␈l␈α↓so␈απa␈απu␈α␈niqu␈α␈e␈αλre␈α␈prese␈α␈n␈α␈tat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈απof␈αλth␈α␈e␈απform␈↓ λt␈ε	→␈↓ 	⊂␈εβ=␈α
(␈↓ 	F␈ε	b␈↓ 	↑␈εβ2)(␈↓ 
¬␈ε	b␈↓ 
≡␈εβ3␈α␈)␈↓ 
?␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
k␈εβ(␈↓ 
w␈ε	b␈↓ ␈ε	t␈↓ _␈εβ),
␈β⊂Z␈↓ 	R␈εε2␈↓ 
⊃␈εε3␈↓ β␈εt
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈α1␈ε↔␈α
∀␈↓ αn␈ε	b␈↓ β⊂␈ε↔∀␈↓ β;␈ε	j␈↓ βV␈εβfo␈α␈r␈α1␈α	<␈↓ ∧P␈ε	j␈↓ ∧h␈ε↔∀␈↓ ¬∀␈ε	t␈↓ ¬ ␈εβ,␈αand␈αd␈α␈esign␈αa␈α␈n␈αalgor␈α␈i␈α↓th␈α␈m␈αtha␈α␈t␈αco␈α␈mpu␈α␈tes␈αthe␈↓ 
9␈ε	b␈↓ 
F␈εβ'␈α↓s␈αfrom
␈β⊃↓␈↓ αz␈εj
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈↓ α↓␈ε	a␈↓ α⊃␈εβ'␈α↓s␈αin␈↓ αZ␈ε	O␈↓ αr␈εβ(␈↓ α⎇␈ε	t␈↓ β	␈εβ)␈αstep␈α␈s.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα3.4.2␈ε∞␈↓ ε1RANDOM␈α	SA␈α␈MPLING␈α	A␈α␈ND␈α	SHU␈α␈FFLING␈↓ 
v␈εα139
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(S␈α␈.␈α	W.␈α	Go␈α␈l␈α↓o␈α␈m␈α␈b.)␈α∩One␈αλo␈α␈f␈α	th␈α␈e␈αλmost␈αλcom␈α␈mon␈αλwa␈α␈ys␈αλto␈αλsh␈α␈u␈α␈␈␈e␈αλca␈α␈rds␈αλis␈α	to␈αλd␈α␈ivide
␈βαR␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
d␈α␈eck␈αi␈α↓n␈α}to␈α
t␈α␈w␈α␈o␈αparts␈αas␈α
eq␈α␈ual␈α
a␈α␈s␈α
po␈α␈ssi␈α↓b␈α␈le,␈α∞a␈α␈nd␈αto␈α
\r␈α␈i␈α↓␈␈␈α␈e"␈α
th␈α␈em␈α
to␈α␈geth␈α␈er.␈α≥(Se␈α␈e␈α
the
␈βαy␈↓ ↓H␈εβd␈α␈iscussio␈α␈n␈αo␈α␈f␈αcard␈α␈-play␈α␈ing␈α
etiqu␈α␈ette␈αin␈α
Ho␈α␈y␈α␈l␈α↓e's␈α
rules␈αo␈α␈f␈αcard␈α
g␈α␈ames;␈αw␈α␈e␈α
read␈α␈,␈α\A␈αsh␈α}u␈␈e
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α
th␈α␈is␈α
so␈α␈rt␈α
sh␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈αλbe␈α	mad␈α␈e␈α	ab␈α␈out␈α	th␈α␈ree␈α	times␈α	to␈α	mix␈α	the␈α	ca␈α␈rds␈α	tho␈α␈rou␈α␈gh␈α␈l␈α↓y␈α␈.")␈α∃Co␈α␈nside␈α␈r
␈ββI␈↓ ↓H␈εβa␈αd␈α␈eck␈αof␈α2␈↓ αj␈ε	n␈↓ βε␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αc␈α␈ard␈α␈s␈↓ ∧#␈ε	X␈↓ ∧G␈εβ,␈↓ ∧\␈ε	X␈↓ ¬␈εβ,␈↓ ¬∃␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬A␈εβ,␈↓ ¬V␈ε	X␈↓ ε0␈εβ;␈αa␈α\pe␈α␈rfect␈αsh␈α}u␈␈␈α␈e"␈↓ λZ␈ε	s␈↓ λs␈εβdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈αthis␈αd␈α␈eck␈αin␈α␈to
␈ββS␈↓ ∧:␈εε1␈↓ ∧s␈εε2␈↓ ¬m␈εε2␈↓ ¬z␈εn␈↓ ε
␈ε~␈␈εε1
␈ββp␈↓ ↓H␈ε	X␈↓ ↓k␈εβ,␈↓ αα␈ε	X␈↓ α&␈εβ,␈↓ α=␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ αj␈εβ,␈↓ β↓␈ε	X␈↓ β6␈εβa␈α␈nd␈↓ βy␈ε	X␈↓ ∧F␈εβ,␈↓ ∧]␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬	␈εβ,␈↓ ¬!␈ε	X␈↓ ¬z␈εβ,␈α∞then␈α
p␈α␈erfec␈α␈tl␈α↓y␈α
in␈α}terleav␈α}es␈α
them␈α
to␈α
o␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈↓ 
␈␈ε	X␈↓ #␈εβ,
␈ββ{␈↓ ↓←␈εε1␈↓ α~␈εε2␈↓ β_␈εn␈↓ ∧⊂␈εn␈↓ ∧ ␈εε+1␈↓ ¬8␈εε2␈↓ ¬D␈εn␈↓ ¬U␈ε~␈␈εε1␈↓ ↔␈εε1
␈β∧∀␈↓ λ∧␈εj
␈β∧_␈↓ ↓H␈ε	X␈↓ α∃␈εβ,␈↓ α,␈ε	X␈↓ αO␈εβ,␈↓ αf␈ε	X␈↓ β3␈εβ,␈↓ βJ␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ βv␈εβ,␈↓ ∧
␈ε	X␈↓ ∧g␈εβ,␈↓ ∧⎇␈ε	X␈↓ ¬%␈εβ.␈α⊃Th␈α␈e␈α
\␈α␈cut"␈αop␈α␈eration␈↓ πw␈ε	c␈↓ λ≥␈εβch␈α␈ang␈α␈es␈↓ 	≠␈ε	X␈↓ 	?␈εβ,␈↓ 	U␈ε	X␈↓ 	y␈εβ,␈↓ 
⊂␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 
<␈εβ,␈↓ 
S␈ε	X
␈β∧"␈↓ ↓←␈εn␈↓ ↓o␈εε+1␈↓ αC␈εε2␈↓ α⎇␈εn␈↓ β
␈εε+2␈↓ ∧$␈εε2␈↓ ∧0␈εn␈↓ ∧A␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬∀␈εn␈↓ 	2␈εε1␈↓ 	l␈εε2␈↓ 
j␈εε2␈↓ 
v␈εn␈↓ π␈ε~␈␈εε1
␈β∧?␈↓ ↓H␈εβin␈α}to␈↓ α␈ε	X␈↓ αU␈εβ,␈↓ αj␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β↔␈εβ,␈↓ β,␈ε	X␈↓ ∧ε␈εβ,␈↓ ∧≠␈ε	X␈↓ ∧?␈εβ,␈↓ ∧T␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬␈εβ,␈↓ ¬⊗␈ε	X␈↓ ¬9␈εβ.␈α
Sh␈α␈o␈α␈w␈αth␈α␈at␈αb␈α␈y␈αc␈α␈om␈α␈b␈α␈i␈α↓n␈α␈ing␈αperfec␈α␈t␈αsh␈α␈u␈α␈␈␈es␈αa␈α␈nd␈αcu␈α␈ts,
␈β∧J␈↓ α#␈εj␈↓ α/␈εε+1␈↓ βC␈εε2␈↓ βP␈εn␈↓ β`␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧2␈εε1␈↓ ¬-␈εj
␈β∧g␈↓ ↓H␈εβa␈α␈t␈αmost␈α(2␈↓ α]␈ε	n␈↓ αy␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)(2␈↓ βY␈ε	n␈↓ βu␈ε↔␈␈εβ␈απ2)␈αdi{eren␈α}t␈αarran␈α␈gem␈α␈en␈α␈ts␈αo␈α␈f␈αthe␈αd␈α␈eck␈αa␈α␈re␈αpo␈α␈ssible,␈αif␈↓ 
!␈ε	n␈↓ 
>␈εβ>␈α
1␈α␈.
␈β¬∃␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β¬→␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβ[␈ε	30␈↓ α;␈εβ]␈α⊗(Ole-Joh␈α␈an␈α
Da␈α␈hl.)␈α_If␈↓ ¬⊗␈ε	X␈↓ ¬D␈εβ=␈↓ ¬n␈ε	k␈↓ ε	␈εβfor␈α
1␈ε↔␈α	∀␈↓ π␈ε	k␈↓ π~␈ε↔∀␈↓ πE␈ε	t␈↓ π[␈εβa␈α␈t␈αth␈α␈e␈α
start␈α
of␈α
Al␈α↓g␈α␈orithm␈α
P␈↓ 
c␈εβ,␈αa␈α␈nd
␈β¬$␈↓ ¬-␈εk
␈β¬A␈↓ ↓H␈εβif␈αwe␈αterm␈α␈i␈α↓n␈α␈ate␈αth␈α␈at␈αalgorith␈α␈m␈αwhen␈↓ ¬i␈ε	j␈↓ εβ␈εβreac␈α␈hes␈αth␈α␈e␈αv␈α␈alue␈↓ λ␈ε	t␈↓ λ≡␈ε↔␈␈↓ λG␈ε	n␈↓ λ[␈εβ,␈αthe␈αseq␈α␈uen␈α␈ce␈↓ 
3␈ε	X␈↓ #␈εβ,
␈β¬L␈↓ 
J␈εt␈↓ 
T␈ε~␈␈↓ 
m␈εn␈↓ 
⎇␈εε+␈α↓1
␈β¬i␈↓ ↓H␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ↓t␈εβ,␈↓ αλ␈ε	X␈↓ α3␈εβis␈αa␈α
ran␈α␈do␈α␈m␈α
perm␈α}utat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α
of␈αa␈α
ra␈α␈nd␈α␈om␈α
com␈α}bina␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
of␈↓ λC␈ε	n␈↓ λb␈εβelem␈α␈en␈α␈ts.␈αS␈α␈ho␈α␈w␈α
ho␈α}w␈αto
␈β¬s␈↓ α∨␈εt
␈βε⊂␈↓ ↓H␈εβsim␈α␈u␈α␈late␈αth␈α␈e␈αe{ect␈αof␈αth␈α␈i␈α↓s␈αp␈α␈roce␈α␈du␈α␈re␈αusin␈α␈g␈αon␈α␈l␈α↓y␈↓ π␈ε	O␈↓ π_␈εβ(␈↓ π#␈ε	n␈↓ π7␈εβ)␈αc␈α␈ell␈α↓s␈αo␈α␈f␈αm␈α␈emor␈α␈y.
␈βε?␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βεC␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Dev␈α␈ise␈αa␈αway␈α
to␈αcom␈α␈pu␈α␈te␈αa␈αran␈α␈dom␈α
samp␈α␈l␈α↓e␈αo␈α␈f␈↓ λ!␈ε	n␈↓ λ@␈εβrec␈α␈ord␈α␈s␈αfro␈α␈m␈↓ 
α␈ε	N␈↓ 
!␈εβ,␈αg␈α␈iv␈α␈en␈↓ ∞␈ε	N
␈βεj␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αε␈ε	n␈↓ α~␈εβ,␈α
ba␈α␈sed␈α	o␈α␈n␈α	th␈α␈e␈α	idea␈αλof␈α	ha␈α␈shing␈αλ(Sect␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α	6.4␈α␈)␈α↓.␈α
You␈α␈r␈α	meth␈α␈od␈α	sh␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈αλuse␈↓ 	y␈ε	O␈↓ 
∩␈εβ(␈↓ 
≥␈ε	n␈↓ 
1␈εβ)␈α	sto␈α␈rage
␈βπ∩␈↓ ↓H␈εβloc␈α␈ation␈α␈s␈αan␈α␈d␈αa␈α␈n␈αav␈α}erag␈α␈e␈αof␈↓ ∧f␈ε	O␈↓ ∧}␈εβ(␈↓ ¬	␈ε	n␈↓ ¬≥␈εβ)␈αu␈α␈nits␈αof␈αtime␈α␈,␈α
a␈α␈nd␈αi␈α↓t␈αshou␈α␈ld␈αp␈α␈resen␈α}t␈αthe␈αsamp␈α␈l␈α↓e␈αas␈αa
␈βπ9␈↓ ↓H␈εβso␈α␈rted␈αs␈α␈et␈αof␈αin␈α␈teg␈α␈ers␈α1␈ε↔␈α	∀␈↓ ∧F␈ε	X␈↓ ∧s␈εβ<␈↓ ¬≥␈ε	X␈↓ ¬J␈εβ<␈↓ ¬u␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ε%␈εβ<␈↓ εO␈ε	X␈↓ π␈ε↔∀␈↓ π+␈ε	N␈↓ πI␈εβ.
␈βπD␈↓ ∧]␈εε1␈↓ ¬4␈εε2␈↓ εf␈εn
␈β∪(/FONT#1=cmathx[XGP,SYS]=↓∩∪≡ !8:<>PRXZpqrxx/FONT#2=cmr10[XGP,SYS]=α∪!"'()*+,-./0123456789:;<=>?ABCDEFGHIJKLMNOPRSTUVWXY[\]↑←abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|⎇}␈␈/FONT#3=cmr9[XGP,SYS]="'()*+,-./0123456789:;<=>?ABCDEFGHIJLMNOPRSTUWXY[\]↑←abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}␈␈/FONT#4=cmr8[XGP,SYS]="()*+,.0123456789;ACEHINOSVW\abcdefghilmnoprstuvwy||/FONT#5=cmr7[XGP,SYS]=()+,./0123456789cdinoss/FONT#6=cmr6[XGP,SYS]=+/01234566/FONT#7=cmr5[XGP,SYS]=()/01244/FONT#8=cmi10[XGP,SYS]=∩⊗↔→~≠123456CDEFHIKMNPQRSUVXYZabcdefghjkmnpqrstuvxy{{/FONT#9=cmi9[XGP,SYS]=⊗→0123456789ABCDEFGHIMNOPQRSUVXYZabcdefgijkmnpqrstxyzz/FONT#10=cmi8[XGP,SYS]=DEPQSYZajj/FONT#11=cmi7[XGP,SYS]=∩⊗↔KNSXabdeghjkmnrstuvxyy/FONT#12=cmi6[XGP,SYS]=KNaijkmntxx/FONT#13=cmi5[XGP,SYS]=⊗jmstvv/FONT#14=cmsc10[XGP,SYS]=ABCDEFGHILMNOPRSTUU/FONT#15=cms10[XGP,SYS]=-.:ACEFGIJLMNOPRSTUVabcdefghijklmnopqrstuvwxyz|␈␈/FONT#16=cms9[XGP,SYS]=:CHMRSWabcdefghiklmnoprstuvxyy/FONT#18=cmb10[XGP,SYS]=-.0123456789ABCDEFGILMOPRSTabcdefghilmnoprstuvx||/FONT#19=cmb9[XGP,SYS]=.0123456789Fgii/FONT#21=cmtt[XGP,SYS]=01ACDEIKLMNTUVXX/FONT#22=cmsy10[XGP,SYS]=↓β∀∃→ $1bcdefgp⎇⎇/FONT#23=cmsy9[XGP,SYS]=↓∀∃ ↑←bcfghijj/FONT#24=cmsy8[XGP,SYS]=/FONT#25=cmsy7[XGP,SYS]=↓∀∃01fgjj/FONT#26=cmsy6[XGP,SYS]=011/FONT#27=cmsy5[XGP,SYS]=↓↓/FONT#29=cmssb[XGP,SYS]=.1234ACDEFHIMNOPQRSTUXYabcdeghilmnoprstu␈␈